高等代数教案北大版第二章

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高等代数第二章多项式教案

第二章多项式教学目的要求一元多项式在本章中占有突出的重要位置．它对培养、提高学生的数学素质是非常必要的.应着重掌握以下问题：多项式的确切定义、多项式的系数和次数、零多项式零次多项式的意义、整除性问题的理论及方法、多项式与方程的联系与区别、多项式的函数观点、有里数域上多项式的有关问题、实数域上多项式、多元多项式的定义和运算、对称多项式的定义及基本定理等．教学内容及学时分配多项式的定义和运算（2 学时）；多项式的整除性（4 学时）；最大公因式（4 学时）；因式分解定理（4 学时）；重因式（4 学时）；多项式函数及多项式的根（4 学时）；复数域和实数域上的多项式（4 学时）；有理数域上的多项式（4 学时）多元多项式；对称多项式（2 学时）；习题课（2 学时）．重点、难点理解基本概念，掌握一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律；带余除法定理的证明及应用，多项式因式分解的存在唯一性定理，多项式的可约与数域有关，多项式没有重因式的充分必要条件，余数定理，综合除法，代数基本定理，C 、R 、Q 上多项式，多元多项式的字典排列法，初等对称多项式表示对称多项式．教学手段传统教学和多媒体教学相结合．2．1 一元多项式的定义和运算教学目的掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质. 重点、难点一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律．教学过程讲授练习．１.多项式的定义令 R 是一个数环,并且 R 含有数 1,因而 R 含有全体整数.在这一章里,凡是说到数环,都作这样的约定,不再每次重复先讨论R 上一元多项式定义 1 数环 R 上一个文字 x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式n n x a x a x a a ,2210 +++ ，（１）这里 n 是非负整数而n a a a a ,,,,210 都是 R 中的数.在多项式(1)中,0a 叫做零次项或常数项, x a 1 叫做一次项,一般, i i x a 叫做 i 次项, i a 叫做 i 次项的系数.一元多项式常用符号 f(x),g(x),⋯来表示.2. 相等多项式:定义 2 若是数环 R 上两个一元多项式 f(x)和 g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么 f(x)和 g(x)说是相等;f (x)=g(x) 非负整数 n 叫做多项式n n x a x a x a a ,2210 +++ ,( 0≠n a )的次数.系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式.按照定义2,零多项式总可以记为 0.以后谈到多项式 f(x)的次数时,总假定 f(x)≠0.多项式的次数有时就简单地记作()()x f 0∂.3. 多项式的运算:()n n x a x a a x f +++= 10 ()m m x b x b b x g +++= 10是数环 R 上两个多项式，并且设 m ≤n ，多项式 f(x)与 g(x)的和 f(x)+g(x)指的是多项式()()()()n n n m m m x b a x b a x b a b a +++++++++ 1100 这里当 m<n 时,取01===+n m b b多项式 f(x)与 g(x)的积 f(x)g(x)指的是多项式m n m n x c x c c +++++ 10 这里m n k b a b a b a b a c k k k k k +=++++=--,,1,0,011110 我们定义 f(x)和 g(x)的差f(x)-g(x)= f(x)+(-g(x)) 4. 多项式加法和乘法的运算规则① 加法交换律: f(x)+g(x)= g(x) + f(x)；② 加法结合律: (f(x)+g(x))+h(x)= f(x)+(g(x)+h(x)) ; ③ 乘法交换律: f(x)g(x)=g(x)f(x);④ 乘法结合律: (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x));⑤ 乘法对加法的分配律: f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x) 有时候把一个多项式按"降幂"书写是方便的，这时将多项式写成 n n n n a x a x a x a ++++--1110 ⑵ 当00≠a 时，n x a 0叫做多项式⑵的首项 5. 多项式的运算性质定理 2.1.1 设 f(x)和 g(x)是数环 R 上两个多项式,并且 f(x)≠0, g(x)≠0.那么a) 当 f(x)+g(x)≠0 时,()()()()()()()()x g x f x g x f 000,max ∂∂≤+∂ b) ()()()()()()()x g x f x g x f o 00∂+∂=∂ 证：设()()()()m x g n x f =∂=∂00,()0,10≠+++=n n n a x a x a a x f ， ()0,10≠+++=m m m b x b x b b x g ，并且n m ≤.那么()()()()()n n n x b a x b a b a x g x f ++++++=+ 1100， ⑶ ()()()m n m n x b a b a b a b a x g x f +++++= 011000， ⑷由（3），f(x)+g(x)的次数显然不超过 n ，另一方面，由 a n ≠0，b m ≠0 得 a n b m ≠0．所以由(5)得 f(x)g(x)的次数是 n +m.推论 2.1.2 f(x)g(x)=0 必要且只要 f(x)和 g(x)中至少有一个是零多式．证若是 f(x)和 g(x)中有一个是零多项式，那么由多项式乘法定义得f(x)g(x)=０(x)≠0 且 g(x)≠0，那么由上面定理的证明得 f(x)g(x)≠0．推论 2.1.3 若是 f(x)g(x)= f(x)h(x),且 f(x)≠0，那么 h(x)=g(x)证由 f(x)g(x)= f(x)h(x)得 f(x)(g(x)-h(x))=0．f(x)≠0，所以由推论2.1.2 必有 g(x)-h(x)=0,即 g(x)=h(x).由于推论 2.1.3 成立,我们说,多项式的乘法适合消去法。

高等代数第二章

q x , r x F[ x], 使得 f x g x q x r x
这里 r x 0 ，或者 0 r x 0 g x .
并且满足上述条件的 q x 和r ( x) 只有一对。
注1： q x , r x 分别称为 g x 除f ( x )所得的商式和余式注2： g x 0, g x | f x r x 0.
证：先证定理的前一部分——存在性.
（i）若 f x 0 , 或
0 f x 0 g x .
则可以取
q x 0, r x f x 0 0 g x . 把f x 和g ( x) f x , 且（ii）若 f x 0
g x 不能整除 f x ，记为
二、多项式整除性的一些基本性质
（1） h x | g x , g x | f x h x | f x
（2） h x | f x , h x | g x h x | f x g x
f x a 0 a1 x a 2 x 2 a n x n
g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
2
f(x)和g(x)的乘法定义为
f x g x c 0 c1 x c 2 x c n n x
证由 f x g x f x hx 得 f x g x h x 0 。但
f x 0。所以由推论1必有 g x h x 0 ,即
g x h x
例
当 a, b, c 是什么数时，多项式

高中数学第二章《指数函数》第二课时参考教案北师大

2014高中数学第二章《指数函数》第二课时参考教案北师大版必
修1
问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 从图上看x y a =（a ＞1）与x
y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.
问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.
问题3：指数函数x
y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系. 5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[,]x
a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或
（2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x
f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；
指数函数的图象和性质Y=a x
例题分析
例1 比较下列各题中两个数的大小： (1) 3
0.8 , 3
0.7
(2) 0.75
-0.1
, 0.75
0.1
例2 (1)求使4x>32成立的x 的集合； (2)已知a 4/5
>a
2
,
求实数a 的取值范围.
练习p73 1,2
作业p77习题3-3 A 组 4,5
课后反思：。

高等代数【北大版】2

2.三级行列式
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
§2.3 n阶行列式
a11 a12 a13 a11 a12
D a21 a22 a23 a21 a22
2 (3)
(1) 4 2
123 2 1 3 1 18 12 9 4 6 12 321
§2.3 n阶行列式
例2.
1000 0200 0030 0004
(1) (1234) a11a22a33a44
24
1
2
3 4
(1) (654321) a16a25a34a43a52a61
5
6! 720
a31 a32 a33 a31 a32
沙路法
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
对角线法
§2.3 n阶行列式
3.n 级行列式
n 级行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
a a a 1 j1 2 j2
njn
(1)
的代数和，这里 j1 j2 jn 为 1,2, ,n 的排列.
每一项（1）都按下列规则带有符号:
当 j1 j2 jn 为奇排列时（1）带负号；
当 j1 j2 jn 为偶排列时（1）带正号；
§2.3 n阶行列式

高中数学第二章函数 2.2 对函数的进一步认识 2.2.3 映射教案3 北师大版必修1

2.2.3 映射教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．教学重点：映射的概念．教学难点：理解概念．教学过程：一、复习准备：1. 举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；2. 讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？3. 导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）.二、讲授新课：1. 教学映射概念：①先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意{1,4,9}A=, {3,2,1,1,2,3}B=---，对应法则：开平方；{3,2,1,1,2,3}A=---，{1,4,9}B=，对应法则：平方；{30,45,60} A=︒︒︒,1{}2B=, 对应法则：求正弦；②定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:f A B→为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“:f A B→”关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.③分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？④讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一）一对多是映射吗？举例一一映射的实例（一对一）2.教学例题：①出示例1. 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？A={P | P是数轴上的点}，B=R；A={三角形}，B={圆}；A={P| P是平面直角体系中的点}，{(,)|,}B x y x R y R=∈∈；A={高一某班学生}，B= ？（师生探究从A到B对应关系→辨别是否映射？一一映射？小结：A中任意，B中唯一）②讨论：如果是从B到A呢？③练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则:21f x x→+；*,{0,1}A N B==，对应法则:2f x x→除以得的余数；A N=，{0,1,2}B=，:3f x x→被除所得的余数；设111{1,2,3,4},{1,,,}234X Y==:f x x→取倒数；{|2,},A x x x NB N=>∈=，:f x x→小于的最大质数3. 小结：映射概念.三、巩固练习： 1. 练习：书P33,1、2、3、4题； 2.课堂作业：书P34 3，B组1、2题.1。

高代(北大版) 第二章行列式

2013-8-15 阜师院数科院
在一个n元排列 j1 j2 jn 中，如果交换高对换的定义：某两个数码的位置而别的数码不动，等则称对这个排列施行了一个对换。代如果交换的两个数码是 i 和 j ，就把这个对换记为 i, j 数
假如 jn n ，则由归纳假设知 j1 j2 jn1 可经高等一系列对换变为12…（n-1）。于是经同样代一系列的对换，j1 j2 jn1n 变为12…(n-1)n；数（2）假如 jn n ，设 jk n 1 k n 1 ，于是经 j ,j 一次对换 jk , jn ，得 j1 jk jn j1 jn n
高等代数
§2.3
2
n阶行列式的定义
行列式
2013-8-15 阜师院数科院
高问题：如何定义n阶行列式？等一、二阶与三阶行列式的构造代 a11 a12 j j a11a22 a12 a21 1 a1 j a2 j 数 a21 a22 j j
1 2 1 1 2
行列式
a11a22 a33 a12 a23a31 a13 a21a32 a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32
1
j1 j2 j3
a1 j1 a2 j2 a3 j3
阜师院数科院
2013-8-15
高特点：（1）共有3！项的代数和；（2）每一项是三个元素的乘积，这三个元素等既位于不同的行又位于不同的列，展开代式恰由所有这些可能的乘积组成；数
1 2 3
x1 x2 x3
Dx1 D Dx2 D Dx3 D
是方程组（2.1.2）的公式解。

高等代数教案第二章多项式

⾼等代数教案第⼆章多项式第⼆章多项式⼀综述1. 多项式是中学代数的主要内容之⼀.本章从两个不同的⾓度对⼀元多项式进⾏了讨论；⾸先⽤纯代数的观点,从⼀元多项式的⼀般形式⼊⼿,在⼀般数域上讨论了⼀元多项式,围绕着⼀元多项式的因式分解这⼀中⼼内容,分别讨论了⼀元多项式的概念.运算.整除理论.最⼤公因式和重因式等内容,从⽽建⽴了⼀元多项式的⼀般理论；然后⽤代数的观点进⼀步在具体数域（即,,C R Q ）上讨论了⼀元多项式的根与因式分解问题,从⽽在具体数域上发展了多项式的因式分解理论.在学习⼀元多项式的基础上,鉴于多元多项式的复杂性,仅讨论了多元多项式的基本概念与对称多项式基本定理及应⽤.2. 本章内容学⽣部分熟悉,但如此严格地系统讨论⼀元多项式的整除理论及多项式的因式分解和多项式的根的问题还是初次见到,特别是对于准确地刻化概念.严谨地推导论述,学⽣很不习惯,因此在教学中要注意训练学⽣正确掌握概念.学会推理有理有据,做好⽰范.⼆内容、要求1. 内容：⼀元多项式的定义和运算.多项式的整除性（整除、带余除法）.最⼤公因式（概念.性质.辗转相除法.互素）.唯⼀分解定理.重因式.多项式函数与多项式的根.复数.实数.有理数域上的多项式的因式分解.有理数域上的多项式的可约性及有理根.多元多项式.对称多项式（不讲）.2. 要求：掌握数域上的⼀元多项式的概念.运算.次数定理及应⽤；理解多项式的整除概念和性质,理解和掌握带余除法；掌握最⼤公因式的概念.性质.求法,以及多项式互素的概念和性质；理解不可约多项式的概念,掌握多项式的唯⼀分解定理；理解多项式的导数及重因式的概念,掌握多项式有⽆重因式的判别法；掌握多项式函数及多项式的根的概念；掌握复.实数域上的多项式因式分解定理；熟练掌握有理系数多项式的有理根的求法.2.1 ⼀元多项式的定义和运算⼀教学思考1. 本节纯形式地定义了⼀元多项式的概念及有关运算（加.减.乘）.从中注意⼀元多项式的定义与中学数学中多项式的联系与区别,以及多项式相等的概念分析.另外⼀个重要的结论是所谓的“次数定理”,其本⾝证明易于理解,重要的是应⽤它证明有关问题.2. 本节内容较简,注意概念的准确.严密.⼆教学过程1. 基本概念定义1. 数环R 上⼀个⽂字x 的多项式或⼀元多项式指的是形式表达式：2012n n a a x a x a x ++++ （1）其中,(1,2,,)i n N a R i n ∈∈=.定义2. 若数环R 上两个⼀元多项式(),()f x g x 具有完全相同的项,或者仅差⼀些系数为0的项,则称()f x 和()g x 相等.记作()()f x g x =.定义 3. 若2012()n n f x a a x a x a x =++++ (0)n a ≠,n n a x 叫做()f x 的最⾼次项,⾮负整数n 叫做()f x 的次数,记作(())f x ??.（即(()))f x n ??=.定义4. 设2012()n n f x a a x a x a x =++++,2012()m m g x b b x b x b x =++++是数环R 上两个多项式,且m n ≤；（1）()f x 与()g x 的和（记为）()()f x g x +指的是多项式：0011()()()()m n m m n n a b a b x a b x a b x +++++++++,这⾥m n <时,取10m n b b +===.（2）()f x 与()g x 的积（记为）()()f x g x 指的是多项式： 2012m n m n c c x c x c x ++++++,其中011110k k k k k c a b a b a b a b --=++++,(0,1,2,,)k m n =+.（3）由多项式运算的定义,数环R 上两个多项式(),()f x g x 的和.差.积的系数可由(),()f x g x 的系数的和.差.积表⽰,由于(),()f x g x的系数属于R ,因⽽它们的和.差.积也属于R ,所以数环R 上两个多项式的和差积仍是数环R 上的多项式,故可类于数环的概念：我们⽤[]R x 表⽰数环R 上⽂字x 的多项式的全体,且把其中如上定义了加法和乘法的[]R x 叫做数环R 上的⼀元多项式环.2. 基本定理多项式的加法和乘法满⾜如下算律：设(),()f x g x ,()h x ∈[]R x ,A ）()()()(),()()()()f x g x g x f x f x g x g x f x +=+=；（交换律）B ）(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++,(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x =；（结合律）C ）()(()())()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+；（分配律）TH2.1.1（次数定理）设(),()f x g x ∈[]R x ,且()0f x ≠,()0g x ≠；则（1）当()()0f x g x +≠时,{}000(()())max (()),(())f x g x f x g x ?+≤??；（2）000(()())(())(())f x g x f x g x ?=?+?.Cor2.1.2 ()()0()0,()0f x g x f x g x =?==⾄少有⼀个成⽴.Cor2.1.3 （乘法消去律）若()()()()f x g x f x h x =⽽()0f x ≠,则()()g x h x =.2．2多项式的整除性⼀教学思考1. 在[]R x 内,除法不是永远可以施⾏的,因此关于多项式的整除性的研究,也就是⼀个多项式能否除尽另⼀个多项式的研究,在多项式理论中占有重要地位.本节限于数域F 上讨论多项式的整除性,其与整数的整除性类似,注意对照学习.2. 多项式的整除性是多项式之间的⼀种关系（等价关系）,为加深对此概念的理解,需掌握⼀些特殊多项式（零多项式,零次多项式）间的整除关系及整除的性质.3. 数域F 上任意两个多项式总有带余除法结论成⽴,其证法思想是在中学代数中多项式的长除法的运算表⽰实质的⼀般化,唯⼀性⽤同⼀法.4. 证明()|()f x g x 的思想可从定义.带余除法得到的充要条件以及将()g x 分解成两项之和⽽每⼀项能被()f x 整除,或将()g x 分离出()f x 作为⼀个因⼦来考虑.5. 整除性不随数域扩⼤⽽改变是由带余除法得到的⼀个⾮显⽽易见的结论.⼆内容、重点.要求1. 内容：⼀元多项式整除的定义.性质,带余除法.2. 重点：整除的定义.带余除法定理（它是判断整除.最⼤公因式及多项式的根的基础）.3. 要求：正确理解掌握整除概念.性质,掌握带余除法定理.三.教学过程1. 多项式的整除及性质定义1. 设(),()[],f x g x F x ∈若()[]h x F x ?∈使得 ()()()g x f x h x = （1）则称()f x 整除（除尽）()g x ；⽤符号()|()f x g x 表⽰.⽤符号()|()f x g x 表⽰()f x 不整除()g x ,（即对()[]h x F x ?∈都有()()()g x f x h x ≠）.当()|()f x g x 时,称()f x 是()g x 的⼀个因式,()g x 是()f x 的⼀个倍式.A ）若()|()f x g x .()|()g x h x ,则()|()f x h x ；（传递性）B ）若()|()h x f x .()|()h x g x ,则()|(()())h x f x g x ±；C ）若()|()f x g x ,则对()[]h x F x ?∈有()|()()f x g x h x ；特别2()|()f x f x ,()|(),()n f x f x n N ∈；D ）由B.C 若()|(),(1,2,,)i f x g x i n =,则对 ()[],(1,2,,)i h x F x i n ?∈=,有1()|()()n i i i f x g x h x =∑；E ）零次多项式整除任⼀多项式；F ）对()[]f x F x ∈,有()|(),,0cf x f x c F c ∈≠；特别()|()f x f x ；G ）若()|()f x g x .()|()g x f x ,则()(),,0f x cg x c F c =∈≠.2. 带余除法TH2.2.1（带余除法）设(),()[]f x g x F x ∈,且()0g x ≠,则（1）(),()[]q x r x F x ?∈使得()()()()f x g x q x r x =+；（*）其中()0r x =或00(())(())r x g x ?（2）满⾜（*）式及条件的(),()q x r x 只有⼀对.Cor1.设(),()[]f x g x F x ∈,（1）()0,()|()()0g x g x f x f x =?=；（2）()0,()|()()g x g x f x g x ≠?除()f x 的余式为0.Cor2. 设,F F 是两个数域,且F F ?,若(),()[]f x g x F x ∈,且在[]F x 内()|()g x f x ,则在[]F x 内()|()g x f x .（即多项式的整除性不随数域的扩⼤⽽改变.）2．3 多项式的最⼤公因式⼀教学思考1. 本节讨论了最⼤公因式的概念、性质（包括个数之间关系）及求法,互素的概念及性质.从内容上看与整数的整除性的有关内容是平⾏的,不难理解,但须注意其不同的特征.2. 为理解最⼤公因式,讨论⼀下两个零多项式及零多项式与⼀个⾮零多项式的最⼤公因式的问题、最⼤公因式的存在性.个数定理包含了最⼤公因式理论的所有问题,其中个数及之间关系由定义不难证明,重要的是存在性,其证明过程实质上是⼀种求法——辗转相除法.3. 互素是⽤最⼤公因式（为1）来定义的,此可解释其中的含义（仅有零次公因式）,这有利于验证性质；定义本⾝也包含了证明互素的⽅法（求最⼤公因式）.4. 由于最⼤公因式的求法——辗转相除法,实质是重复实施带余除法,所以由带余除法的特性（唯⼀性）可证多项式的最⼤公因式不随数域的扩⼤⽽改变.⼆内容、重点.要求1. 内容：最⼤公因式的概念、性质（包括个数.之间关系）及求法,互素的概念.性质及判定.2. 重点：最⼤公因式的概念、性质及求法.3. 要求：理解掌握上述有关概念、性质,掌握辗转相除法.三教学过程1. 多项式的最⼤公因式（1）定义1. 设(),(),()[]f x g x h x F x ∈,若()|(),()|()h x f x h x g x ,则称()h x 是()f x 与()g x 的⼀个公因式.定义2. 设(),(),()[]f x g x d x F x ∈,若()d x 满⾜：A ）()|(),()|()d x f x d x g x ；（()d x 是()f x 与()g x 的⼀个公因式）B ）对()[]h x F x ?∈,若()|(),()|()h x f x h x g x ,则有()|()h x d x .则称()d x 是()f x 与()g x 的⼀个最⼤公因式.（2）最⼤公因式的存在性、求法TH2.3.1 []F x 中任意两个多项式()f x 与()g x ⼀定有最⼤公因式.除⼀个零次因式外,不全为0的()f x 与()g x 的最⼤公因式是唯⼀的；即若()d x 是()f x 与()g x 的⼀个最⼤公因式,则对当()f x 与()g x 不全为0时,0,,()c c F cd x ?≠∈也是()f x 与()g x 的最⼤公因式,且只有这样的乘积才是()f x 与()g x 的最⼤公因式.例1. 设43232()2443,()2543[]f x x x x x g x x x x Q x =--+-=--+∈求（()f x ,()g x ）. 解： 322543x x x --+ | 4322443x x x x --+- |2|x - 32615129x x x --+ 43224886x x x x --+- | x3262830x x x -+ 4322543x x x x --+213429x x -+ 32456x x x -+--13 23912627x x -+ 32281012x x x -+-| 1239182195x x -+ 322543x x x --+56168x - 231415x x -+-|3x -3x - 239x x -+515x - | 5515x - ((),()3f x g x x ∴=-. 0（3）性质：1）任意两个多项式的最⼤公因式不因数域的扩⼤⽽改变.2）TH2.3.2. 若()d x 是(),()[]f x g x F x ∈的⼀个最⼤公因式,则在[]F x ⾥可以求得多项式(),()u x v x 使得：()()()()()d x f x u x g x v x =+.例2. 设43232()421659,()254[}f x x x x x g x x x x Q x =--++=--+∈,求((),())f x g x ,且求相应的(),()u x v x .分析：本题不仅求((),())f x g x ,且求相应的(),()u x v x ,⽽由定理2中证知(),()u x v x 不仅与余式有关,且与商式有关,因⽽在辗转相除中不允许系数变化,将所得的等式逐步代回整理即可.（解略）2. 多项式的互素及其性质1）定义. 设(),()[]f x g x F x ∈,若(),()f x g x 在[]F x 内除零次公因式外不再有其它公因式,则称()f x 与()g x 互素.2）互素的充要条件TH2.3.3 ()f x 与()g x 互素((),())1f x g x ?=.TH2.3.3 设(),()[]f x g x F x ∈, ()f x 与()g x 互素(),()[]u x v x F x ??∈使得()()()()1f x u x g x v x +=.3）性质（1）若()f x ,()g x 都与()h x 互素,则()f x ()g x 与()h x 互素.（2）若()h x |()f x ()g x ,⽽()h x 与()g x 互素,则()h x |()g x .（3）若()g x 与()h x 都有：()g x |()f x ,()h x |()f x ,⽽()g x 与()h x 互素,则()g x ()h x |()f x .3. 最⼤公因式及互素概念的推⼴1）(2)n ≥个多项式的最⼤公因式定义. 设()[],(1,2,,),()[]i f x F x i n d x F x ∈=∈,若（1）()|(),(1,2,,)i d x f x i n =；（2）(),()|(),(1,2,,)i h x h x f x i n ?=,有()|()h x d x . 则称()d x 为()(1,2,,)i f x i n =的⼀个最⼤公因式. 2）(2)n ≥个多项式互素定义. 若11(),,()n f x f x -,()n f x 除零次公因式外没有其它公因式,称这⼀组多项式互素.2．4 多项式的分解⼀教学思考1. 多项式的分解是多项式理论的⼀个核⼼问题,在前⼏节的基础上,本节解决了多项式“不能再分”及“分解唯⼀性”等理论问题,这对中学相关内容有直接的指导作⽤.2. 从内容上讲本节内容简洁完整（⼀个概念.两个结论）,但需注意概念（不可约）与数域有关,其性质与“互素”类似；“唯⼀分解定理”的理论证明是运⽤数学归纳法结合消去律,也不难理解,但需指出的是：3. “唯⼀分解定理”没有给出因式分解的⽅法,因⽽具体对多项式进⾏因式分解需具体问题具体分析,需⽤中学学过的具体⽅法进⾏尝试（没有⼀般⽅法）,同时指出的是由“典型分解式”可得求两个多项式的公因式与最⼤公因式,⽽其前提是当知“典型分解式”时,但分解因式没有⼀般⽅法,所以此不能代替前述的具体⽅法——辗转相除法；⽽其中蕴涵着下节得出的⼀个分解因式的思路——分离重因式法.⼆内容、要求1. 内容：不可约多项式的概念及性质.唯⼀分解定理.2. 要求：掌握不可约多项式的概念及性质,会⽤性质推证某些命题；掌握唯⼀分解定理,它是多项式整除性理论的⼀个重要定理,在许多有关多项式理论的推导中很有作⽤,会⽤其推证有关问题.三教学过程（⼀）概念1. 多项式的平凡因式.⾮平凡因式定义1. 对()[],,0f x F x c F c ?∈?∈≠有|(),()|()c f x cf x f x ；称c 与(),(0)cf x c ≠为()f x 的平凡因式.若()(0)f x ≠除c 与(),(0)cf x c ≠之外还有其它因式,称为()f x 的⾮平凡因式.2. 不可约多项式.可约多项式1）定义2. 设()[]f x F x ∈,且0(())0f x ?>；若()f x 在[]F x 中只有平凡因式,则称()f x 是数域F 上的⼀个不可约多项式；若()f x 除平凡因式外,在[]F x 中还有其它因式,则称()f x 是数域F 上的⼀个可约多项式.结合定义1及注定义2等价为：定义2. 若[]F x 的⼀个(0)n >次多项式()f x 能分解为两个次数都⼩于n 的多项式()g x 与()h x 的乘积：()f x ()g x =()h x （1）则称()f x 在数域F 上可约；若()f x 在[]F x 中的任⼀形如（1）的分解总含有⼀个零次因式,则称()f x 在数域F 上不可约.2）性质设F 为数域（1）若()p x 不可约,则对,0,()c F c cp x ?∈≠也不可约.（2）设()p x 不可约,对()[]f x F x ?∈,则或者((),())1p x f x =,或者()|()p x f x .（3）设()p x 不可约,且()|()()p x f x g x ,则()|()p x f x ,()|()p x g x ⾄少有⼀个成⽴.（⼆）定理1. 两个定理TH2.4.1 []F x 中每⼀个(0)n >次多项式()f x 都能分解为[]F x 的不可约多项式的乘积.TH2.4.2 令0()[],(())0f x F x f x n ∈?=>,且()f x 可分解为 1212()()()()()()()r s f x p x p x p x q x q x q x ==,其中每个()i p x ,()i q x 都是[]F x 中的不可约多项式.则1）r s =；2）适当调整()i q x 的次序后可使()(),(,0,1,2,,)i i i i i q x c p x c F c i r =∈≠=.换句话说：若不计零次因式的差异,多项式分解成不可约因式的乘积的分解式是唯⼀的.2. 多项式的典型分解式（标准分解式）及其应⽤1）典型分解式：在多项式()f x 的分解式中：a ）把每个不可约多项式（因式）的最⾼次项系数提出来,使它们成为⾸项系数为1的多项式；b ）再把分解式中相同的不可约多项式合并在⼀起（写成⽅幂的形式）.则()f x 的分解式可写为：1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x =.其中a 是()f x 的⾸项系数,()(1,2,,)i p x i r =是不同的最⾼次项系数为1的不可约多项式,001(1,2,,),(())(())ri i i k i r N f x k p x =∈?=?∑.这种分解式叫做()f x 的典型分解式（标准分解式）. 2）典型分解式的应⽤A ）若()f x 有典型分解式1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x = （0(())0f x ?>）,则()g x 是()f x 的因式的充要条件是：()g x 有以下典型分解式1212()()()()r m m m r g x bp x p x p x =,其中b 为()g x 的⾸项系数,0(1,2,,)i i m k i r ≤≤=（注i m 可为0,此时0()1i p x =,即()g x 不⼀定全含()f x 的不可约因式）.B ）求（(),()f x g x ）若121121()()()()()()s r r k k k k k r r s f x ap x p x p x q x q x ++=,112121()()()()()()r tr l l l l l r r t g x bp x p x p x q x q x ++=,其中 (),(1,,)i q x i r s =+与(),(1,,)j q x j r t =+互不相同,令{}min ,,(1,,)i i i m k l i r ==；则（11(),())()()()r m m r f x g x p x p x d x ==.2.5 重因式⼀教学思考1. 本节引⼊重因式的概念,讨论重因式的有关问题.2. 当知道多项式()f x 的典型分解式（建⽴⼀般分解式基础之上的）时,很容易观察到()f x 有那些重因式.且⼏重,以及有⽆重因式.但由于1中所述原因,需另辟道路来解决此问题,为此形式地引⼊了多项式的导数的概念（与分析中定义不同,结果⼀致）,且通过典型分解式,很容易得到()f x 的重因式与()f x '的重因式之间的关系,由此得到()f x 没有重因式的充要条件.3. 本节内容简洁完整,从中注意的是：⼀是()f x 有⽆重因式()f x ?与()f x '是否互素,⽽互素不因数域的扩⼤⽽改变,所以()f x 在[] ([])F x F x ?中⽆重因式,则在[]F x 中也⽆重因式；⼆是判断()f x 有⽆重因式有规范的⽅法；三是通过分析()f x 与()f x '以及((),())f x f x ',还有()f x 除以((),())f x f x '所得商间的关系,可得将()f x 因式分解的⼀种思想——分离重因式法,其中把⽅法步骤规范化（五步）.⼆内容、要求1. 内容：k 重因式.重因式.导数.没有重因式的充要条件.2. 要求：掌握有关概念及定理1-2,以及分离重因式法.四教学过程1. 概念定义 1. 在()[]f x F x ∈的分解式中,若不可约多项式()p x 出现且只出现k 次,则称()p x 为()f x 的⼀个k 重因式.当1k =时,称()p x 为()f x 的单因式；当1k >时,称()p x 为()f x 的重因式；当0k =时,即()p x 在()f x 的分解式中不出现,()p x 不是()f x 的因式,称()p x 为()f x 的零重因式.定义1补. 若不可约多项式()p x 满⾜：()|()k p x f x ,⽽1()|()k p x f x +,则称()p x 为()f x 的⼀个k 重因式（其中k 为⾮负整数）.当1k =时,称()p x 为()f x 的单因式；当1k >时,称()p x 为()f x 的重因式；当0k =时,即()p x 在()f x 的分解式中不出现,()p x 不是()f x 的因式,称()p x 为()f x 的零重因式.定义2. 设01()[]n n f x a a x a x F x =+++∈,称1122n n a a x na x -+++为()f x 的（⼀阶）导数,记为()f x '.即()f x '=1122n n a a x na x -+++. 2. 定理TH2.5.1设()[]p x F x ∈不可约,若()p x 为()f x 的⼀个(1)k ≥重因式,则()p x 为()f x '的⼀个1k -重因式；特别()f x 的单因式不是()f x '的因式.TH2.5.2 (0)n >次多项式()f x 没有重因式()f x '?与()f x 互素.最后：讨论因式分解的⼀种思想⽅法——分离重因式法设0(())0f x ?>,()f x 有典型分解式1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x =若((),())1f x f x '≠,有1211112()()()()()r k k k r f x p x p x p x g x ---'=且()|()i p x g x (1,2,,)i r =,从⽽（(),())f x f x '=1211112()()()r k k k r p x p x p x ---,则可令()((),())()f x f x f x q x '=；⽐较上述有关式⼦可知1()()()r q x p x p x =. 上述意思是：若⽤()f x 除以((),())f x f x ',则得商()q x 是⼀个与()f x 具有完全相同的不可约因式⽽没有重因式的多项式.由此得思想：若将()q x 能分解的话,便知()f x 的不可约因式,再确定每个不可约多项式在()f x 中的重数（作带余除法直⾄不能整除）.例：在[]Q x 中分解432()5648f x x x x x =++--解：第⼀步：求()f x ' 32()415124f x x x x '=++-第⼆步：求((),())f x f x ' 2((),())44f x f x x x '=+-第三步：由带余除法得：()f x =22(44)(2)x x x x +-+-第四步：分解()q x ： ()(1)(2)q x x x =-+第五步：确定每个因式的重数：2(1)|(),(1)|()x f x x f x --3()(1)(2)f x x x ∴=-+2.6多项式函数.多项式的根⼀教学思考1. 本节在另⼀观点下——函数观点,重新审视⼀下多项式,且以此重新认识⼀下多项式相等以及引⼊⼀个新的问题——多项式的根（当然多项式的根与多项式整除理论仍密切相关）.事实上,多项式的形式观点与函数观点在中学数学中曾经常⽤到,如在做多项式的加.减.乘运算时,通常运⽤形式观点,有时也理解为函数观点,此⼆者是统⼀的（在⽆限域上）.注意这种认识做到⼼中有数,在教学内容和教学过程中使学⽣逐步建⽴.2. 建⽴多项式的函数观点的关键是引导学⽣真正理解函数的实质——数集间的映射.3. 从内容上看余数定理.多项式的根及因式定理不难理解,其中需要注意的是本节在数环（含1）中讨论,则需要注意余数定理⽤带余除法证之成⽴的条件（除式⾸项系数为1）.根的概念实质与代数⽅程的根没有本质区别,根与（⼀次）因式的关系即与整除密切相关.其中有⼀附带结果——确定满⾜某些条件拉格朗⽇插值公式,只是该⼈给出的⼀种⽅法,可引导学⽣试想其如何⽽来,还有⽆它法.⼆内容、要求1. 内容：多项式函数.余数定理.多项式的根.因式定理.综合除法.拉格朗⽇插值公式,以及将多项式表为()x a -的幂.2. 要求：掌握上述概念与定理.三教学过程注：本节在数环R 中讨论,且设1R ∈,从⽽R Z ?.1. 多项式函数（1）定义. 给定01()[],()n n f x a a x a x R x =+++∈* 对c R ?∈,在()*中以c 代x 便得⼀个确定的数：01n n a a c a c R +++∈.称之为当x c =时()f x 的值,记为()f c .这样就得到R 到R 的⼀个映射,这个映射是由多项式()f x 确定的（:,()f R R c f c →→）,叫做R 上⼀个多项式函数.（2）性质. 由定义求()f c 可⽤c 代替()f x 中的x 直接计算,但有TH2.6.1（余式定理）设()[]f x R x ∈,c R ∈；⽤x c -除()f x 所得的余式等于x c =时()f x 的值()f c .综合除法：设1011(),()n n n n f x a x a x a x a g x x c --=++++=-；⽤()g x 对()f x 作带余除法,可设()()()f x x c q x r =-+ ()*其中120121()n n n n q x b xb x b x b ----=++++；将()f x ,()q x 代⼊()*式,由多项式相等,⽐较同次项系数得： 00110221,1121,,,,n n n n n a b a b cb a b cb a b cb a r cb ----==-=-=-=-得 001012121211,,,,,n n n n n b a b cb a b cb a b cb a r cb a ----==+=+=+=+即欲求k b ,须把前⼀项系数1k b -乘以c 再加上对应系数k a ,r 也可以如此写出.此算法可由下表写出：c | 0a 1a 2a1n a - n a + 0cb 1cb2n cb - 1n cb - 0b 1b 2b1n b - r 例：⽤3x +除42()49f x x x x =++-,求商式和余式.（解略）2. 多项式的根多项式的研究与⽅程的研究有密切的关系,如中学代数中⼀元⼆次⽅程的根与⼆次多项式的因式分解是⼀回事.（1）定义. 设()[],f x R X c R ∈∈,若当x c =时()f x 的值()0f c =,则称c 为()f x 在数环R 中的⼀个根.（2）性质：TH2.6.2(因式定理) 数c 为()f x 的根|()x c f x ?-.TH2.6.3 设()[]f x R X ∈,0(())0f x n ?=≥,则()f x 在R 中⾄多有n 个根（重根按重数计）. TH2.6.4设(),()[]f x g x R X ∈,且0((),())f x g x n ?≤,若以R 中1n +个不同的数来代替x ,每次所得的()f x 与()g x 的值都相等,则()f x =()g x .TH2.6.5 (),()[]f x g x R X ∈,()f x =()g x ?它们定义的R 上的多项式函数相等.2.7 复数域.实数域上的多项式⼀教学思考1. 本节在常⽤的三个数域上将某些结论进⼀步具体化,主要研究在这三个数域上进⼀步明确⼀元多项式的根的情况及因式分解即不可约多项式的形式.2. 在复数域上,所有的结论（不可约多项式的形式.根的情况）是建⽴在代数基本定理的基础上,由此结合上节定理3便得有关结论.代数基本定理证法很多,但鉴于⽬前知识所限暂不作证明.在复数域上另外的结论是根与系数的关系及根号解介绍,其中由根与系数的关系可得的引深问题（⽅程及其变换）可作附注处理.3. 在实数域上的结论是建⽴在其⾮实复根是成对出现这⼀性质之上的,有关结论简洁明了,只须补充⼀些例⼦和说明⼀些结论.⼆内容、要求1. 内容：代数基本定理,复数域上不可约多项式及典型分解式,根与系数的关系；实数域上的多项式的根的性质及不可约多项式的形式.2. 要求：掌握有关定理和结论.三教学过程1.复数域上的多项式（1）TH2.7.1（代数基本定理）设0()[],(())0f x C x f x n ∈?=>,则()f x 在C 内⾄少有⼀个根. TH2.7.2 设0()[],(())0f x C x f x n ∈? =>,则()f x 在C 内有n 个根（重根按重数计）.（2）根与系数的关系（Vieta 定理）⾸先设111()[]n n n n f x x a x a x a C x --=++++∈,令12,,,n ααα为()f x 的n 个复根；则()f x 12()()()n x x x ααα=---. 由多项式相等得：根与系数的关系为：112()n a ααα=-+++ 212131231n n n a αααααααααα-=++++++31231241223421(n n n n a ααααααααααααααα--=-++++++）……12321(1)()k k k n k n n n a αααααααα---=-++…… 123(1)n n n a αααα=-.⼀般地：设1011()[]n n n n f x a x a x a x a C x --=++++∈,令12,,,n ααα为()f x 的n 个复根,则()f x 012()()()n a x x x ααα=---,同理⽐较系数得：1120()n a a ααα=-+++ 2121312310n n n a a αααααααααα-=++++++312312412234210(n n n n a a ααααααααααααααα--=-++++++）(123210)(1)()k k k n k n n n a a αααααααα---=-++(1230)(1)n n n a a αααα=-.2.实数域上的多项式 TH2.7.3设0()[],(())0f x R x f x n ∈?=>;若C α∈是()f x 的⼀个⾮实的复数根,则α的共轭α也是()f x 的根,且α与α有同⼀重数.（即实系数多项式的⾮实复根是以共轭的形式成对出现的.）TH2.7.4实数域上不可约多项式除⼀次多项式外,只有含⾮实共轭复根的⼆次多项式,即22(40)ax bx c b ac ++-<.TH2.7.5设0()[],(())0f x R x f x n ∈?=>,则()f x 的典型分解式为: 12122121122()()()()()()s r l k k k l r f x a x x x x p x q x p x q ααα=---++++其中a 是()f x 的⾸项系数,,i j k l N ∈,40(1,,)i i p q i s -<=,112r si j i j k l n ==+=∑∑.另外：实数域上的多项式的根（实根）的情况⽐较复杂（可有可⽆）,但是,1）实系数奇次多项式⾄少有⼀个实根；2）实系数⾮零多项式的实根个数与多项式的次数有相同的奇偶性.例：1）设6()1f x x =-,求()f x 在[]C x .[]R x 的典型分解式.2）求有单根1-及⼆重根1的次数最低的复系数及实系数多项式.2.8 有理数域上的多项式⼀教学思考1. 本节进⼀步在有理数域上讨论多项式的可约性及有理根的求法.关于这两个问题是转化为整系数多项式在整数环上的可约性及整系数多项式的有理根的求法⽽解决的.对于第⼀个问题,结论是有理数域上存在任意次的不可约多项式,且给出了⼀个判断不可约的充分条件（Eisenstein 判别法）,对于第⼆个问题给出了⼀个较规范的求整系数多项式的有理根的⽅法.2. 关于有理数域上多项式的可约性等价于整系数多项式在整数环上的可约性,体现了（等价）转化思想,为实现这种转化,引⼊了本原多项式的概念和Gauss 引理,其中化法很规范；有了此,只须讨论整系数多项式在整数环上的可约性问题,结果由苛朗奈克给出有⼀般⽅法,鉴于较繁不作介绍,实⽤中给出了⼀个判断整系数多项式在有理数域（整数环）上不可约的充分条件——Eisenstein 判别法.但需注意条件是充分⾮必要的,且有时不能直接使⽤,需对原多项式进⾏变形.3. 关于有理根的求法是在分析了整系数多项式的有理根的性质的基础上⾃然得到的.⼆内容、要求1. 内容：本原多项式.Gauss 引理.Eisenstein 判别法.整系数多项式的有理根的性质与求法2. 要求：掌握Gauss 引理,Eisenstein 判别法.有理根的求法三教学过程（⼀）有理数域上多项式的可约性1.有理系数多项式在有理数域上的可约性与整系数多项式在整数环上的可约性设()[]f x Q x ∈,若()f x 的系数不为整数,则以()f x 的系数的公分母的⼀个整数倍k 乘以()f x 得()[]kf x Z x ∈；显然()f x 与()kf x 在有理数域上具有相同的可约性.这样讨论有理数域上多项式的可约性只须讨论整系数多项式在有理数域上的可约性.问题：能否转化为讨论整系数多项式在整数环上的可约性？此问题的⼀⾯是成⽴的,即整系数多项式在整数环上可约,则其在有理数域上也⼀定可约.关键是问题的另⼀⾯,即整系数多项式在有理数域上可约,则其在整数环上是否也⼀定可约？为此,引⼊：（1）本原多项式及其性质A ）定义. 设()[]f x Z x ∈,若()f x 的系数互素,则称()f x 为⼀个本原多项式.B ）性质：Gauss 引理：两个本原多项式的积仍是⼀个本原多项式.（2）整系数多项式在有理数域上的可约性与在整数环上的可约性的⼀致性TH2.8.2设()[]f x Z x ∈,0(())0f x n ?=>,若()f x 在[]Q x 上可约,则()f x 在[]Z x 上也可约.2.整系数多项式在有理数域上不可约的⼀个充分条件——Eisenstein 判别法TH2.8.3设2012()[]n n f x a a x a x a x Z x =++++∈,若存在⼀个素数p 使得：1）|n p a ；2）|(0,1,,1)i p a i n =-；3）20|p a .则()f x 在有理数域上不可约.例：证明542()2631215f x x x x x =++-+在[]Q x 上不可约.（⼆）有理系数多项式的有理根TH2.8.4设101()[]n n n f x a x a x a Z x -=++++∈,0(())0f x n ?=>,若有理数u v是()f x 的⼀个根（这⾥,,(,)1u v Z u v ∈=）.则1）0|v a ,|n u a ；2）()()(),()[]u f x x g x g x Z x v =-∈.。

高等代数教案(北大版)第二章行列式

类似记分析二级、三级行列式的结构： 1．项的组成。 2．项的符号。
§2
排列
一．排列定义：由 1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列注：所有不同 n 级排列的总数是 n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ (n − 1)n = Pn 如所有的 3 级排列是 123，132，213，231，312，321． ——共 6=3！个。二、逆序逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为自然顺序。在一个排列中，如果一对数的前后位置，与自然顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．注： 1) 排列 123…n 称为自然排列，其逆序数为 0; 2) 排列j1 j2…jn的逆序数常记为τ(j1 j2…jn); 3) τ(j1 j2…jn) = j1后面比j1小的数的个数+ j2后面比j2小的数的个数 +…+ jn-1后面比jn-1小的数的个数。或者 =j2前面比j2大的数的个数＋j3前面比j3大的数的个数＋…+jn前面比jn大的数的个数例1 例2 排列 31542 中，逆序有那些？求 n 级排列 135…(2n−1)(2n) (2n−2)…42 的逆序数。
三、奇排列、偶排列定义：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列；注：自然排列 123…n 为偶排列．练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性． 1) n(n−1)…321 2) (2n)1(2n−1)2(2n−2)3…。(n+1)n n(n − 1) key: 1) τ(n(n−1)…321) = ; 2) τ ((2n)1(2n−1)2(2n−2)3…。(n+1)n)=n2 2 四、对换定义：把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理 1 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．证明 1) 特殊情形：作相邻对换对换a与b → a1 al ba b1 bm 设排列为 a1 al ab b1 bm ⎯⎯⎯⎯ 除 a, b 外，其它元素所成逆序不改变，当 a<b 时，经对换后 a 的逆序增加 1 个, b 所成逆序不变；当 a>b 时，经对换后 b 的逆序减少 1 个, a 所成逆序不变因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。 2) 一般情形设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn ，对换 a 与 b， a1 al ab1 bm bc1 al ab1

高中数学第二章函数章末复习课教案北师大版必修1-北师大版高一必修1数学教案

第二章函数章末复习课一．三维目标：1.知识与技能:总结《函数》的知识结构，会结合所学知识解决与“集合”相关的问题；2.过程与方法：通过对知识结构的完善，体会分类讨论、数形结合的思想在数学中的应用。

3.情感态度与价值观：体会函数在实际生活中的应用。

二．教学重难点教学重点：函数知识的总结与应用教学难点：函数知识的综合应用三．教学方法:讲练结合法四．教学过程一．画一画知识结构二．学习要求一、对函数的进一步认识1．函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．它的三要素是定义域、值域和对应法则．函数的值域是由定义域和对应法则所确定的．2．研究函数要遵从“定义域优先”的原则，表示函数的定义域和值域时，要写成集合的形式，也可用区间表示．3．函数的表示方法有三种：解析法、图像法和列表法．在解决问题时，根据不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的．4．分段函数是一种函数模型，它是一个函数而并非几个函数．5．函数与映射是不同的概念，函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像．二、函数的单调性1．函数的单调性是函数的一个重要性质．它具有突出的地位和作用，它从定义域或定义域的部分区间上反映了函数值的变化趋势．2．有些函数在整个定义域上是增函数或减函数，有些函数是在定义域的某个子集上是增加的或减少的．要能从图像上写出函数的单调区间，更要能从定义理解上证明或判断函数的单调性．三、二次函数性质的再研究1．二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中(－h，k)为顶点；(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中(x1,0)，(x2,0)是函数的图像与x轴的两个交点坐标．并且只有抛物线与x轴有交点时才可写出两根式．四、简单的幂函数1．幂函数是形式定义，只有具备形式y＝xα的函数才是幂函数．即三个特征：①幂底数为自变量x；②幂指数为常数α；③只有一项且系数为1.2．函数的奇偶性是函数的另一重要性质，它从定义域整体上反映了函数的性质 .3．判断函数的奇偶性首先观察定义域是否关于原点对称，若不对称，则称为非奇非偶函数．若对称，再通过研究f(－x)与f(x)的关系作出判断．4．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．三．典例精讲题型一函数的概念及表示法[例1] 已知函数f(x)的定义域为[－1,3]，在同一坐标系下，函数y＝f(x)的图像与直线x＝1的交点个数为()A．0B．1C．2 D．0或1题型二求函数最值(值域)的方法1.直接法求基本初等函数(正、反比例函数，一次、二次函数)的最值，应用基本初等函数的最值结论，直接写出其最值．[例2] 函数f(x)＝x2－4x＋3在[0,3]上的值域是()A．[0,3] B．[－1,0]C．[0,2] D．[－1,3]2．观察法当函数的解析式中仅含有x2或|x|或x时，通常利用常见的结论x2≥0，|x|≥0，x≥0等，直接观察写出函数的最值．[例3] 求下列函数的值域．(1)y＝3x－1，x∈{1,2,3,4}；(2)y＝|x|＋1.3．配方法当函数的解式中出现二次式的结构时，常用配方法求值域．[例4] 求函数y＝5＋4x－x2的值域．4．换元法求形如函数y＝ax2m＋bx m＋c(ab≠0)或y＝ax＋bx＋c(ab≠0)的最值时，设x m＝t或bx＋c＝t，利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题，这种求最值的方法称为换元法．此时要注意换元后函数的定义域．[例5] 求函数y＝x＋1－2x的最大值．5．图像法画出函数图像，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．[例6] 函数y＝|x＋1|－|x－1|的最大值是________．四．课堂小结本节课我们有什么收获？五．布置作业练习册单元测试题。

高等代数教案(北大版)--行列式计算方法

行列式计算方法1. 利用行列式的定义直接计算：适用于行列式中零比较多的情形．2. 化行列式为三角形行列式——初等变换法1）保留某行（列）不动，将其它的行（列）分别乘上常数加到这一行（列）上。

2）将某行（列）的倍数分别加到其它各行（列） 3）逐行（列）相加4）加边法——在原行列式的边上增加一行一列，使行列式级数增加1，但值不变。

例1 计算行列式121212n n n n a m a a a a m a D a a a m++=+3. 利用行列式展开定理。

适用于某行（列）有较多零的行列式．4. 其他方法（一）析因子法——利用多项式的性质例：计算221123122323152319x D x -=-解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =，1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0,2D x =∴=±为D 的根．故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +-+- 设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+-+-令0,x =则 112312231223152319D ==-，即，1(1)2(2)12.a ⋅⋅-⋅⋅-=- 3.a ∴=-3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=-+-+-（二）箭形行列式012111220000,0,1,2,3.0n n i nna b b b c a D c a a i n c a +=≠=解：把所有的第1i +列(1,2)i n =的iic a -倍加到第1列，得：11201()ni in n i ib c D a a a a a +==-∑可转为箭形行列式的行列式：121111111)111na a a +++ 122)na x x xa x xxa（第2至第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式()(1)1(1)11)(1)(1)1a bb a n b b b b b b a b a n b a b a b a n b b baa nb baba+-+-==+-+-()111(1,2)00()(1)0i n b b r r i n a b a b a n b a b--=-=-+--121231123123411341(1)2)211321132122211221nn n n n nnn n c c c n n n n n n n n n n n n --++++---------112211231*********(1)(1)11112201111111101111n n n n r r r r r r n n n nn n n n n n n n ---------++=----11111(2,31)00(1)200in r r i n n nn n n n--=--+-11211100(1)2n n n n n c c c nn--++++-()(2)(1)3211(1)1220(1)(1)(1)(1)(1)(1)()22n n n n n n n n nn n n n n nnτ--+-+----++=--=----(2)(#)(1)112122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n -----++=--=-．（四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，可转为箭形行列式的行列式——加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）1）1121221212,0n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a ab ++=≠+2）121212121200,00n nn n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++=≠++解：1)12112122121100n n n n n nn a a a a b a a D a a b a a a a b++=++121121100(2,31)10010n i na a ab r r i n b b --=+-- 111211111(1).00(1,21)ni ni ini n i i iina a ab a b b b bc b c i n b b =+=+=++=+∑∑2)21121211111222122121111010(2,31)100100n n n i n nnnnn n n n a a a a a a a a a a a a a r r i n D a a a a a a a a a a a a a a ++++---=+=--++--++1212111111222222122100001011101011120011020(3,42)112n n i n nnnnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a c c i n a a a a a a ++-------=-----=+----12(3,42)1(1,2)2i j jc c i n c c j n a +=+-=11211211111122112200200000200002n i i ni n i nn a n a a a a a a a ==--------∑∑122112,1111122(2)(2)[(2)]1122n ni i nn in n ni j ji i n a a a a a a a n a n a =-==-=-=----∑∑∑（五）三角型行列式——递推公式法1）9500495049000950049n D = 解：1112150049594920,549nn n n n c D D D D -----=-按展开即有 11254(5)n n n n D D D D ----=-,or 11245(4)n n n n DD D D ----=- 于是有 2221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D ------=-==-=(6145)n -= 同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D ------=-==-=-=即 1111545445n n n n n n nn n D D D D D -++-⎫-=⎪⇒=-⎬-=⎪⎭（先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值）00010001002.00001n a b ab a b ab a b D a b ab a b+++=++）解：21211221c ()()()n nn n n n n n D a b D abD D aD b D aD b D aD ------+--=-==-1按展开同理 211221()().n n n n n D bD a D bD a D bD -----=-==-而 2221,D a ab b D a b =++=+22221();n n n n D aD b a ab b a ab b --∴-=++--=22221().n n n n D bD a a ab b a ab a ---=++--= 由以上两式解得11(1)n n n n a b a b D a bn a a b++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩（六）拆项法（主对角线上，下元素相同）121)n na x a a a a x a D aaax ++=+解：1112221100000000n n n nnx a a x a a a x a a x a a a x a a a x a D x D x a aaax aaa a--++++=+=+1211n n n x x x a x D --=+1122121232.n n n n n n n D x x x ax D x x x a x D -------=+=+ 继续下去，可得111221*********.n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D -----=+++++（21212D ax ax x x =++）121211221323()n n n n n n x x x a x x x x x x x x x x x x x --=+++++1212110(1)nn n n i ix x x D x x x a x =≠=+∑当时,1）也可以用加边法做：1111010010n nna a a a a x a x D aa x x +-==+-，111101,2,000ni ii n na a a x x i n D x x =+≠==∑当时, 2）n ab b b ca b b D cc a b ccca= 解：1101()0101n n nc b b b a c b b b b b b c a b b a b b a b bD c a c D cc a b c a b c a b cccaccacca--=+=+-11000()000n n b b b a b c a c D c b a b c b c b a b --=+------11()()n n c a b a c D --=-+- ①000n bb b b a b cab bc a b b D cc a b c c a b c c ca ccca-=+又11111()n c a b bb a b D cc a b ccca-=+- 11()()n n b a c a b D --=-+- ②a b a c ⨯-⨯-①（）-②()，得 ()()n n n c b D c a b b a c -=---()．1[()()]/[(1)]()n n n n n c b D c a b b a c c b c b D a n b a b -≠=----==+--当时，当时，（七）数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法）1）（用数学归纳法）证明：12121111111(1)111n n ina a D a a a a a ++==++∑证：当1n =时，111111(1)D a a a =+=+，结论成立．假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i iD a a a a ==+∑，对1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得112211111011111110111101111011111111111111k kkk a a a a D a a a ++++++=+++ 121110110111011111k k k a a a D a +=+121k k k a a a a D +=+121121211111(1)(1)kkk k k k i i iia a a a a a a a a a a a ++===+⋅+=+∑∑所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．2）证明：cos 10012cos cos 2cos 112cos n D n ααααα==证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立．假设n k ≤时，结论成立．当1n k =+时，1k D +按第1k +行展开得111cos 1012cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D D αααααα+++-=+-=-由归纳假设12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=--=-2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=-+ cos cos sin sin k k αααβ=+cos(1)k α=+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．（八）范德蒙行列式1）12222122221212111nnn n n n n nn n nx x x x x x D x x x x x x ---=解：考察1n +阶范德蒙行列式12222212121111112121111()()()()()n nn i j j i nn n n n n nn n nnx x x xx x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----==----∏显然D 就是行列式()f x 中元素1n x -的余子式.1n n M +，即,1,1n n n n n D M A ++==- （,1n n A +为代数余子式）又由()f x 的表达式（及根与系数的关系）知，()f x 中1n x -的系数为121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤-+++-∏即， ,1121()()n n n i j j i nA x x x x x +≤<≤=-+++-∏121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤∴=+++-∏2）2221212111nn nn n nx x x D x x x =解：考虑1n +级范德蒙行列式12222212111112121111()n nn n n n n nn n nnx x x xx x x x g x x x x x x x x x ----=121()()()()n ijj i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏显然n D 就是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++==-，由()f x 的表达式知，x 的系数为23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x -≤<≤-+++-∏即2,123121211()()()n n n n i j j i nA f x x x x x x x x x x x x x +-≤<≤-++++-∏2312121(1)()()n n n n n ijj i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤∴=-+++-∏电厂分散控制系统故障分析与处理作者：单位：摘要：归纳、分析了电厂DCS系统出现的故障原因，对故障处理的过程及注意事项进行了说明。

高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式

惠州学院数学系
定义 1
令f x 和 gx是F [x]的两个多项式，若是F [x]的一个多项式 hx同时整除 f x和 gx ，那么hx 叫做
f x与 gx的一个公因式.
定义 2
设dx是多项式 f x 与 gx的一个公因式.若是 dx 能被 f x 与 gx的每一个公因式整除,那么 dx叫做 f x与gx的一个最大公因式.
（3）乘法交换律: f xgx gx f x （4）乘法结合律: f xgxhx f xgxhx
（5）乘法对加法的分配律: f xgx hx f xgx f xhx
注意：要把一个多项式按“降幂”书写
an x n an1x n1 a1x a0 当 an 0 时，an xn叫做多项式的首项.
那么由上面定理的证明得 f xgx 0
推论2 f xgx f xhx, f x 0 gx hx
证由 f xgx f xhx得 f xgx hx 。但 f x 0
所以由推论1必有 gx hx 0 ,即
gx hx
惠州学院数学系
例当 a,b, c 是什么数时，多项式
f x ax3 bx2 c b x3 x2
这里当m < n 时，bm1 bn 0
惠州学院数学系
多项式的乘法
给定数环R上两个多项式
f x a0 a1x a2 x2 an xn gx b0 b1x b2 x2 bm xm
f (x) 和g (x) 的乘法定义为
f xgx c0 c1x c2 x2 cnn xnm
2.1.1 认识多项式
多项式
令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或
一元多项式指的是形式表达式
a0 a1x a2 x2 an xn

高中数学第二章函数2.2对函数的进一步认识2.2.3映射教案北师大版必修1(2021年整理)

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§2.3 映射一．三维目标：1．知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法;（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．2．过程与方法：(1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合;（2）通过实例进一步理解映射的概念；(3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．3．情态与价值：映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．二．教学重难点教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念三．学法与教学方法1．学法：通过丰富的实例,学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的教学目标；2．教学方法：探究交流法。

四．教学过程（一)创设情景,揭示课题复习初中常见的对应关系:1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(,x y）和它对应；3．对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应;4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5．函数的概念．(二)研探新知1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合"，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．2．先看几个例子，两个集合A 、B 的元素之间的一些对应关系：（1）开平方；（2）求正弦;(3)求平方；（4）乘以2．归纳引出映射概念：一般地,设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f ：A →B ” 说明：(1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具体的对应法则,可以用多种形式表述．（2)“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个;二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思． (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维例1．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1)A=｛|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={|P P 是平面直角坐标中的点｝，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A=｛|x x 是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．思考：将(3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；(4)中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f ：B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗？例2．在下图中，图(1)，（2),（3），（4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则,是不是映射？是不是函数关系？A 开平方B A 求正弦 B（1）（2）A 求平方B A 乘以2 B（3）（4)（四）巩固深化，反馈矫正1、画图表示集合A 到集合B 的对应（集合A,B 各取4个元素）已知：(1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==,对应法则是“乘以2”； (2）A={|x x ＞}0，B=R,对应法则是“求算术平方根”；94 13 －3 2 －2 1 －1300 450 600 90012223211 －1 2－2 3－3 1 2 31 2 3 4 5 61 4 9（3）{}|0,A x x B R =≠=，对应法则是“求倒数"；（4){0|0A α=∠＜}}{090,|1,B x x α∠≤=≤对应法则是“求余弦”． 2．在下图中的映射中，A 中元素600的象是什么？B 中元素2的原象是什么？ A 求正弦 B（五）归纳小结提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射,你能归纳出几个“标准”呢？师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有象,但B 中元素未必要有原象；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．（六)设置问题，留下悬念．1．由学生举出生活中两个有关映射的实例．2．已知f 是集合A 上的任一个映射，试问在值域f (A ）中的任一个元素的原象，是否都是唯一的？为什么？3．已知集合}{}{,,1,0,1,A a b B ==-从集合A 到集合B 的映射，试问能构造出多少映射？4. 设集合A=｛a,b ，c}，B=｛0，1} ，试问：从A 到B 的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。

高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式

2.2.3 多项式旳带余除法定理
2.2.4 系数所在范围对整除性旳影响
二、教学目旳
1．掌握一元多项式整除旳概念及其性质。
2．熟练利用带余除法。
三、要点、难点
多项式旳整除概念，带余除法定理
2.2.1 多项式旳整除概念
设F是一种数域. F [x]是F上一元多项式环.
2.2.2 多项式整除性旳某些基本性质
证设f (x) = g (x) 那么它们有完全相同旳项, 因而对R旳任何c都有f (c) = g (c)这就是说, f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.反过来设f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.令 u (x) = f (x) – g (x)那么对R旳任何c都有u (c) = f (c) – g (c) = 0这就是说, R中旳每一种数都是多项式u (x)旳根. 但R有无穷多种数, 所以u (x)有无穷多种根.根据定理2.6.3只有零多项式才有这个性质.所以有 u (x) = f (x) – g (x) = 0 , f (x) = g (x) .
f (c)与它相应. 于是就得到R到R旳一种映射. 这个映射是由多项式f (x)所拟定旳,叫做R上一种多项式函数.
综合除法
由此得出
表中旳加号一般略去不写.
例1
用x + 3除
作综合除法:
所以商式是
而余式是
证
假如f (x)是零次多项式,那么f (x)是R中一种不等于零旳数, 所以没有根. 所以定理对于n = 0成立.于是我们能够对n作数学归纳法来证明这一定理.设c∈R是f (x)旳一种根.那么 f (x) = (x – c) g (x)这里g (x) ∈R [x]是一种n – 1次多项式.假如d∈R是f (x)另一种根, d≠c那么 0 = f (d) = (d – c) g (d)因为d – c≠0 , 所以g (d) = 0. 因为g (x)旳次数是 n – 1 ,由归纳法假设, g (x)在R内至多有n – 1个不同旳根.所以f (x)在R中至多有n个不同旳根.

高等代数教案北大版第二章

例1计算行列式
例2行列式
(8)
称为级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明对任意的，级范德蒙德行列式等于这个数的所有可能的差的乘积.
用连乘号，这个结果可以简写为.
.
由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充要条件是这个数中至少有两个相等.
例3证明
.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零，则称这样的矩阵为阶梯形矩阵.
可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵.
现在回过来讨论行列式的计算问题.一个级行列式可看成是由一个级方阵决定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质2，6，7正是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵总可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵 .由行列式性质2，6，7，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是
二、行列式的性质
在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这些元素的次序是可以任意写的，一般地，级行列式中的项可以写成
, （11）
其中是两个级排列.利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于
(12)
按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成
排列的逆序数记为
例：排列53214的逆序数7
定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。
应该指出，我们同样可以考虑由任意个不同的自然数所组成的排列，一般也称为级排列。对这样一般的级排列，同样可以定义上面这些概念。

高等代数备课教案北大版第二章

.
于是上述解可以用二级行列式叙述为：
当二级行列式
时，该方程组有唯一解，即
.
二、对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组
称代数式为三级行列式，用符号表示为：
.
当三级行列式
时，上述三元线性方程组有唯一解，解为
其中
.
三、元线性方程组
是否也有类似的结论呢？为此，首先给出级行列式的定义并讨论它的性质，最后来解决这一问题，这是本章的主要内容.
(1)
其中代表那些含有的项在提出公因子之后的代数和(至于究竟是哪一些项的和暂且不管，到§6 再来讨论).从以上讨论可以知道，中不再含有第行的元素，也就是全与行列式中第行的元素无关.由此即得.
授课内容
第二章行列式第一讲引言、排列
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目标
使学生了解行列式的背景，要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则，掌握有关排列的基本概念、并能熟练掌握排列逆序数的计算与奇偶性的确定。
教学重点
二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则，有关排列的基本概念、排列的奇偶性。
(1)
(2)
从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成
(3)
其中是1，2，3的一个排列.可以看出，当是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当是奇排列时带有负号.
定理1对换改变排列的奇偶性.
这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.

高等代数课件(北大版)第二章-行列式§2

方法二
（2） 1 2 n (n 1) (n 2)
n(n 1) n(n 1) n2
2
2
当 k 为偶数时为偶排列，
21
当 k 为奇数时为奇排列.
§2.2 2024/10/5 排列
数学与计算科学学院
四、对换
定义把一个排列中某两个数的位置互换, 而
其余的数不动, 得到另一个排列, 这一变换称为一个对换. 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.
数学与计算科学学院
注:
① 排列 123 n 称为标准排列，其逆序数为０．
② 排列 j1 j2 jn 的逆序数常记为 ( j1 j2 jn ).
③ ( j1 j2 jn ) j1 后面比 j1小的数的个数方法一
j2 后面比 j2 小的数的个数
jn1 后面比 jn1 小的数的个数.
或 ( j1 j2 jn ) j2 前面比 j2大的数的个数方法二
§2.2 2024/10/5 排列
数学与计算科学学院
推论
所有 n 级排列中，奇、偶排列各半，均为 n! 个. 2
证明设在全部 n 阶排列中，有 s 个奇排列， t 个
偶排列，下证．s t
将 s 个奇排列的前两个数对换，则这 s 个奇排列
全变成偶排列，并且它们彼此不同， s t.
同理，将 t 个偶排列的前两个数对换，则这 t 个
（1） n(n 1) 321 （2） (2n)1(2n 1)2(2n 2)3 (n 1)n
§2.2 2024/10/5 排列
数学与计算科学学院
答案:
方法一
(1) (n 1) (n 2) 2 1 n(n 1)
2 当 n 4k, 4k 1 时为偶排列；

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