数独算法
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数独算法
数独问题及计算机求解
lscill
数独SuDoku
数独的由来 数独的经典算法 数独的计算机求解 数独的并行求解
什么是Sudoku??数独？？
数独的由来
数独是一种源自18世纪末的瑞士，后在美 国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼 图游戏。拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的 正方形状，每一格又细分为一个九宫格。在每 一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整 个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。
来自百度文库
数独的算法—候选数法
现在需要做的只是对这几种方法进行整合。
唯一候选数法”是最简便、最直接、最有效的 算法 ,因此 ,只要条件成立,就一定要用;搜索算 法具有一定的盲目性 ,但它的实现是无条件的 , 在经过优化后 ,其速度也不慢“;
隐性惟一候选数法”虽然直接 ,但由于其条件 判定较复杂 ,因此它可以作为减少搜索深度的 辅助算法。
数独的计算机算法
回溯法的基本思想下面给出详细的步骤与代码。
(1)按下标的由低到高扫描 fix数组,将值为 0的位置记录进stack数 组,记录的顺序也是由低到高。最后,整型量 max记录下:fix数组中 为 0位置的个数再加 1。
(2)整型量 top初始化为 0,即把 stack看作栈(虽然 stack数组的内 容永远不会变,但 top的增减仍代表了进栈和出栈的操作),top记录 的是栈顶。
(5)flag为假,说明是经过了回退才达到现在这个栈顶的,那么:若 仍然没有可能的数字可以应用在当前栈顶所保存的位置上,那么 继续执行出栈操作,即:fix数组和 sd数组的该位置重设为 0,top减 1;否则将遇到的第一个可能数字应用到该位置,即:再设好 sd数 组和 fix数组,将 top加 1,并将 flag置为真。本轮循环体结束,继续 下一轮的循环。
数独的计算机算法
(4)flag为真,说明栈顶(top)是经过正常的假设而达到的,并非由回 退达到,那么:根据 possible数组以及 beExist函数(参见 3.2节), 对栈顶所保存位置的可能出现的数字进行判断,把遇到的第一个 可能数字设置进 sd数组,并把 fix数组的该位置的值设为 1,并判 断是否已经解出结果,即 top和 max相等否,若相等,则打印结果 并退出死循环;若发现 1-9都不可能应用在栈顶所保存的位置,则 说明前面的假设有错误,此时应当回退,即:fix数组和 sd数组的该 位置重设为 0,top减 1,并将 flag置为假。本轮循环体结束,继续 下一轮的循环。
数独的由来
1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了 一种当时称作“拉丁方块”的游戏，这个游 戏是一个n×n的数字方阵，每一行和每一列 都是由不重复的n个数字或者字母组成的。
用从1开始的n个连续正整数排成n行n列的方 阵，如果每一行和每一列都没有重复的数， 就称为一个n阶拉丁方。因为这样的方阵最早 填充的是拉丁字母，故名。 下面是一个3阶拉丁方
使用直观法时，大部分的时间 应该都在使用基础摒除法，但
有些较困难的数独题目，不时 会出现以基础摒除法将找不到 解的情况，这时就是唯余解法 上场应用的机会
数独的算法—候选数法
数独的解谜技巧，刚开始发展时，以直观式的唯一解 法及摒除法为主，对于一般简易级或中级的数独谜题， 通常已游刃有余。 但是唯一解法及初阶的摒除法在使 用上有其限制，在中、高级的题目中有时将无用武之 地。但高阶的摒除技巧又十分繁难。
基础摒除法>> 唯一解法。 区块摒除法。 唯余解法。 单元摒除法。 矩形摒除法。 余数测试法。
基础摒除法
基础摒除法虽然简单，但在实际应用时，仍然可 分成三个部分：
行摒除：因为同一行不能有两个相同的数字，所以当 某个数字已在某行中出现时，该行再填入该数字的可能性 就应该被摒除掉。
列摒除：因为同一列不能有两个相同的数字，所以当 某个数字已在某列中出现时，该列再填入该数字的可能性 就应该被摒除掉。
(3)int possible[82][10];该数组的用途是记录所有未确定数字的所有 可能性 记录方法是 数组各元素的值在初始化时被初始化为与其第 二维的下标一致 即 0-9;中间计算过程中,若发现第一维某位置的某 种可能性已不复存在 则将第一维下标是该位置而第二维下标是该 不再可能的数字的元素值改为-1。
否则 回溯
数独的算法—候选数法
当候选数表的某一个区域(行、列或九宫格)中 某一个数字只存在于一个格中 ,那么那个数字 必应填入此格。这是因为本数字必须出现在这 一区域 ,进而只能出现在这一格中 ,这种解法称 为“隐性唯一候选数法”。
每次尝试只需找到一个使 N[i ,x] = 1 的 i 和 x 表示的区域 ,再找到那个区域中可填入i 的方 格 ,一次计算机模拟的“隐性唯一候选数法” 就完成了。
123 231 312
数独的问题
拉丁方不一定是数独的解 数独问题不可由数学公式推算
数独的人工算法
直观法&摒除法 候选数法 不动点法
数独的算法—直观法
直观法的特性： 不需任何辅助工具就可应用。所以要玩报
章杂志上的数独谜题时，只要有一枝笔就可 以开始了.
数独的算法—直观法
直觀法的主要的技巧：
数独的由来
数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。 数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特 点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横 向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简 单的九个数字不能重复。儒家典籍《易经》 中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫 图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华 文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。
宫摒除：因为同一个九宫格不能有两个相同的数字， 所以当某个数字已在某个九宫格中出现时，该九宫格再填 入该数字的可能性就应该被摒除掉。
唯一解法
唯余解
当数独谜题中的某一个宫格，因为所处的列、行及九宫格 中，合计已出现过不同的8个数字，使得这个宫格所能填 入的数字，就只剩下那个还没出现过的数字时，我们称这 个宫格有唯余解。
唯一候选数法
所以如果在候选 数表中发现某一 个宫格的候选数 仅有1个数字，那 就是表示：不必 再考虑了！这个 宫格就是只能填 入这个数字啦
隐性唯一候选数法
利用「找出某一行、 某一列或某一个九宫 格各个宫格候选数中 只出现一次的数字来， 并将该数字填入出现 这个数字的宫格中」 的方法就叫做隐性唯 一候选数法(Hidden Singles Candidature, unique Candidate)。
编程实例
void preDo() {while(1) {setPb(); if(!fixAll()) break; if(isFull())//若已经推出全部结果 break;} //fixAll返回为假时也可能是推出了所有结果 if(isFull()) printAll();//打印结果}
(4)int stack[82];该数组的用途类似于栈,在核心回溯过程中起到至 关重要的作用。回溯之前,要把所有 fix数组中值为 0的位置依次存 放进stack数组;回溯中,由低到高依次逐渐确定这些位置的数值,无 法确定者(即 1-9的数字都不适合者)则应当回退到前一个位置,修改 其假设值,以此类推,直至 stack数组所存放的所有位置的值都能确 定,或回退到最初点的前一个位置。
唯一候選數法。(Singles Candidature, sole Candidate) 隱性唯一候選數法。(Hidden Singles Candidature,
unique Candidate) 區塊刪減法。(Locked Candidates, Single Sector
Candidates) 數對刪減法。(Naked Pairs) 隱性數對刪減法。(Hidden Pairs) 三鏈數刪減法。(Naked Triples) 隱性三鏈數刪減法。(Hidden Triples) 矩形頂點刪減法。(X-Wing) 三鏈列刪減法。(Swordfish) 關鍵數刪減法。(Colors, Colouring)
数独的算法—候选数法
因为规模不大 ,可以采用最易编写 ,可读性也很强的递归算法。即 当遇到无法找到唯一候选数的情况时 ,对所有可能解一次进行试探 , 若当前情况无解(填充函数返回值为假)时,进行回溯。整个递归过 程伪代码表示如下(递归过程命名为 work) :
过程 work(深度) 如果 深度大于 81 则 输出答案 否则 记录目前数表 如果 有唯一候选数 则如果 填充成功 则 work(深度 +1) 否则 依次遍历候选数 如果 填充成功 则 work(深度 +1)
数独的计算机求解
我们可以知道，直观法等以人的思维构建的方 法由计算机实现起来比较复杂，且效率不高。 所以，引入了候选数表，利用候选数法中的唯 一候选数法和隐性唯一候选数法，可以比较方 便的求解问题。
基于候选数法的可能求解算法
1分枝限界 2回溯
数独的算法—候选数法
如果在某一次填充之后 ,候选数表的某一位置只剩下 一个数 ,那么根据候选数表的定义 ,数盘的此位置一 定要填入这个数 ,这种解法称为“唯一候选数法”。
在实际编程中 ,可以用一个记录类型 ,其中包含两个 域:一个变量 t ,表示该格内可选数的个数 ,当 t=0 时就 找到了唯一解;另一个域为一个包含 9 个布尔型元素 的数组。当第i 个元素为真时就表示数字i 是可以被填 入此格的。经过这样的表示 ,每次尝试只需找到一个 t =0 的方格,再找到那个唯一可填的数 ,一次计算机模 拟的“唯一候选数法”就完成了。
void calculate() {preDo();//预处理以提高速度 if(isFull())return; int top=0; //将所有为 0的位置入栈 for(int i=1;i<82;i++) if(fix[i]==0) stack[top++]=i; int max=top;//记录最大数目加 1 top=0;//指向栈顶 int temp; bool flag=true; //该标志位说明了当前栈顶是正常进入的,还是经过了回退到的
电脑人工智慧已在现代任一项事物中均占有一席之地， 当然不会在数独这项最新流行的益智游戏中缺席了！ 直观式的唯一解法及摒除法，不但在程式编写上也将 十分难以呈现，在执行效率上也将显得十分笨拙、于 是就有了候选数法的产生。
候选数表
将所有可能的值 填入对应的位置 的表。
最多9x9x9项
候选数法分类
这里的最小深度 63 和最多候选个数 2 是为了提高程序效率而设的阈值 ,根据实际情况的不同可以进行修改。
串行回溯法算法
设计程序的流程图
算法的数组定义
(1)int sd[82];该数组的用途是接收题目以及保存最终结果。所有的 9×9个数字被依次存储在该数组中,空白处则初始化为 0。
(2)int fix[82];该数组的用途是：若数组中某位置的数字不为0，则 数组fix相应位置的元素值记录为1,否则记录为0。即数组是用来记 录哪些位置的数字是已经确定下来的。
(3)bool型变量 flag初始化为 true。下面各步骤都将在一个条件始 终为真的死循环中进行,该循环由一条对 flag进行真假判断的 ifelse语句分成两大部分。flag所代表的意义是:若当前栈顶(top)是 经过了回退操作而达到的,则 flag会已被记录为假;否则flag为真。 死循环结束的条件是 top与 max的值相等,即解出最终结果,或者是 无解,最终 top小于 0(无解的情况基本上在最初做题目的合法性检 查时已经排除了)。在死循环中:若 flag为真,进入步骤(4),否则进入 步骤(5)。
数独算法的伪代码
过程 work(深度) 如果 深度大于 81 则 输出 答案 否则 记录目前数表 对数表排序 如果 有唯一候选数 则 如果 填充成功 则 work(深度 +1) 否则 取候选数最少的方格
如果 深度小于63 或 候选数 最少个数大于2 则 如果 有隐性唯一候选数 则 如果 填充成功 则 work(深 度 +1) 否则 依次遍历候选数 如果 填充成功 则 work(深 度 +1) 否则 回溯
数独问题及计算机求解
lscill
数独SuDoku
数独的由来 数独的经典算法 数独的计算机求解 数独的并行求解
什么是Sudoku??数独？？
数独的由来
数独是一种源自18世纪末的瑞士，后在美 国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼 图游戏。拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的 正方形状，每一格又细分为一个九宫格。在每 一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整 个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。
来自百度文库
数独的算法—候选数法
现在需要做的只是对这几种方法进行整合。
唯一候选数法”是最简便、最直接、最有效的 算法 ,因此 ,只要条件成立,就一定要用;搜索算 法具有一定的盲目性 ,但它的实现是无条件的 , 在经过优化后 ,其速度也不慢“;
隐性惟一候选数法”虽然直接 ,但由于其条件 判定较复杂 ,因此它可以作为减少搜索深度的 辅助算法。
数独的计算机算法
回溯法的基本思想下面给出详细的步骤与代码。
(1)按下标的由低到高扫描 fix数组,将值为 0的位置记录进stack数 组,记录的顺序也是由低到高。最后,整型量 max记录下:fix数组中 为 0位置的个数再加 1。
(2)整型量 top初始化为 0,即把 stack看作栈(虽然 stack数组的内 容永远不会变,但 top的增减仍代表了进栈和出栈的操作),top记录 的是栈顶。
(5)flag为假,说明是经过了回退才达到现在这个栈顶的,那么:若 仍然没有可能的数字可以应用在当前栈顶所保存的位置上,那么 继续执行出栈操作,即:fix数组和 sd数组的该位置重设为 0,top减 1;否则将遇到的第一个可能数字应用到该位置,即:再设好 sd数 组和 fix数组,将 top加 1,并将 flag置为真。本轮循环体结束,继续 下一轮的循环。
数独的计算机算法
(4)flag为真,说明栈顶(top)是经过正常的假设而达到的,并非由回 退达到,那么:根据 possible数组以及 beExist函数(参见 3.2节), 对栈顶所保存位置的可能出现的数字进行判断,把遇到的第一个 可能数字设置进 sd数组,并把 fix数组的该位置的值设为 1,并判 断是否已经解出结果,即 top和 max相等否,若相等,则打印结果 并退出死循环;若发现 1-9都不可能应用在栈顶所保存的位置,则 说明前面的假设有错误,此时应当回退,即:fix数组和 sd数组的该 位置重设为 0,top减 1,并将 flag置为假。本轮循环体结束,继续 下一轮的循环。
数独的由来
1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了 一种当时称作“拉丁方块”的游戏，这个游 戏是一个n×n的数字方阵，每一行和每一列 都是由不重复的n个数字或者字母组成的。
用从1开始的n个连续正整数排成n行n列的方 阵，如果每一行和每一列都没有重复的数， 就称为一个n阶拉丁方。因为这样的方阵最早 填充的是拉丁字母，故名。 下面是一个3阶拉丁方
使用直观法时，大部分的时间 应该都在使用基础摒除法，但
有些较困难的数独题目，不时 会出现以基础摒除法将找不到 解的情况，这时就是唯余解法 上场应用的机会
数独的算法—候选数法
数独的解谜技巧，刚开始发展时，以直观式的唯一解 法及摒除法为主，对于一般简易级或中级的数独谜题， 通常已游刃有余。 但是唯一解法及初阶的摒除法在使 用上有其限制，在中、高级的题目中有时将无用武之 地。但高阶的摒除技巧又十分繁难。
基础摒除法>> 唯一解法。 区块摒除法。 唯余解法。 单元摒除法。 矩形摒除法。 余数测试法。
基础摒除法
基础摒除法虽然简单，但在实际应用时，仍然可 分成三个部分：
行摒除：因为同一行不能有两个相同的数字，所以当 某个数字已在某行中出现时，该行再填入该数字的可能性 就应该被摒除掉。
列摒除：因为同一列不能有两个相同的数字，所以当 某个数字已在某列中出现时，该列再填入该数字的可能性 就应该被摒除掉。
(3)int possible[82][10];该数组的用途是记录所有未确定数字的所有 可能性 记录方法是 数组各元素的值在初始化时被初始化为与其第 二维的下标一致 即 0-9;中间计算过程中,若发现第一维某位置的某 种可能性已不复存在 则将第一维下标是该位置而第二维下标是该 不再可能的数字的元素值改为-1。
否则 回溯
数独的算法—候选数法
当候选数表的某一个区域(行、列或九宫格)中 某一个数字只存在于一个格中 ,那么那个数字 必应填入此格。这是因为本数字必须出现在这 一区域 ,进而只能出现在这一格中 ,这种解法称 为“隐性唯一候选数法”。
每次尝试只需找到一个使 N[i ,x] = 1 的 i 和 x 表示的区域 ,再找到那个区域中可填入i 的方 格 ,一次计算机模拟的“隐性唯一候选数法” 就完成了。
123 231 312
数独的问题
拉丁方不一定是数独的解 数独问题不可由数学公式推算
数独的人工算法
直观法&摒除法 候选数法 不动点法
数独的算法—直观法
直观法的特性： 不需任何辅助工具就可应用。所以要玩报
章杂志上的数独谜题时，只要有一枝笔就可 以开始了.
数独的算法—直观法
直觀法的主要的技巧：
数独的由来
数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。 数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特 点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横 向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简 单的九个数字不能重复。儒家典籍《易经》 中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫 图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华 文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。
宫摒除：因为同一个九宫格不能有两个相同的数字， 所以当某个数字已在某个九宫格中出现时，该九宫格再填 入该数字的可能性就应该被摒除掉。
唯一解法
唯余解
当数独谜题中的某一个宫格，因为所处的列、行及九宫格 中，合计已出现过不同的8个数字，使得这个宫格所能填 入的数字，就只剩下那个还没出现过的数字时，我们称这 个宫格有唯余解。
唯一候选数法
所以如果在候选 数表中发现某一 个宫格的候选数 仅有1个数字，那 就是表示：不必 再考虑了！这个 宫格就是只能填 入这个数字啦
隐性唯一候选数法
利用「找出某一行、 某一列或某一个九宫 格各个宫格候选数中 只出现一次的数字来， 并将该数字填入出现 这个数字的宫格中」 的方法就叫做隐性唯 一候选数法(Hidden Singles Candidature, unique Candidate)。
编程实例
void preDo() {while(1) {setPb(); if(!fixAll()) break; if(isFull())//若已经推出全部结果 break;} //fixAll返回为假时也可能是推出了所有结果 if(isFull()) printAll();//打印结果}
(4)int stack[82];该数组的用途类似于栈,在核心回溯过程中起到至 关重要的作用。回溯之前,要把所有 fix数组中值为 0的位置依次存 放进stack数组;回溯中,由低到高依次逐渐确定这些位置的数值,无 法确定者(即 1-9的数字都不适合者)则应当回退到前一个位置,修改 其假设值,以此类推,直至 stack数组所存放的所有位置的值都能确 定,或回退到最初点的前一个位置。
唯一候選數法。(Singles Candidature, sole Candidate) 隱性唯一候選數法。(Hidden Singles Candidature,
unique Candidate) 區塊刪減法。(Locked Candidates, Single Sector
Candidates) 數對刪減法。(Naked Pairs) 隱性數對刪減法。(Hidden Pairs) 三鏈數刪減法。(Naked Triples) 隱性三鏈數刪減法。(Hidden Triples) 矩形頂點刪減法。(X-Wing) 三鏈列刪減法。(Swordfish) 關鍵數刪減法。(Colors, Colouring)
数独的算法—候选数法
因为规模不大 ,可以采用最易编写 ,可读性也很强的递归算法。即 当遇到无法找到唯一候选数的情况时 ,对所有可能解一次进行试探 , 若当前情况无解(填充函数返回值为假)时,进行回溯。整个递归过 程伪代码表示如下(递归过程命名为 work) :
过程 work(深度) 如果 深度大于 81 则 输出答案 否则 记录目前数表 如果 有唯一候选数 则如果 填充成功 则 work(深度 +1) 否则 依次遍历候选数 如果 填充成功 则 work(深度 +1)
数独的计算机求解
我们可以知道，直观法等以人的思维构建的方 法由计算机实现起来比较复杂，且效率不高。 所以，引入了候选数表，利用候选数法中的唯 一候选数法和隐性唯一候选数法，可以比较方 便的求解问题。
基于候选数法的可能求解算法
1分枝限界 2回溯
数独的算法—候选数法
如果在某一次填充之后 ,候选数表的某一位置只剩下 一个数 ,那么根据候选数表的定义 ,数盘的此位置一 定要填入这个数 ,这种解法称为“唯一候选数法”。
在实际编程中 ,可以用一个记录类型 ,其中包含两个 域:一个变量 t ,表示该格内可选数的个数 ,当 t=0 时就 找到了唯一解;另一个域为一个包含 9 个布尔型元素 的数组。当第i 个元素为真时就表示数字i 是可以被填 入此格的。经过这样的表示 ,每次尝试只需找到一个 t =0 的方格,再找到那个唯一可填的数 ,一次计算机模 拟的“唯一候选数法”就完成了。
void calculate() {preDo();//预处理以提高速度 if(isFull())return; int top=0; //将所有为 0的位置入栈 for(int i=1;i<82;i++) if(fix[i]==0) stack[top++]=i; int max=top;//记录最大数目加 1 top=0;//指向栈顶 int temp; bool flag=true; //该标志位说明了当前栈顶是正常进入的,还是经过了回退到的
电脑人工智慧已在现代任一项事物中均占有一席之地， 当然不会在数独这项最新流行的益智游戏中缺席了！ 直观式的唯一解法及摒除法，不但在程式编写上也将 十分难以呈现，在执行效率上也将显得十分笨拙、于 是就有了候选数法的产生。
候选数表
将所有可能的值 填入对应的位置 的表。
最多9x9x9项
候选数法分类
这里的最小深度 63 和最多候选个数 2 是为了提高程序效率而设的阈值 ,根据实际情况的不同可以进行修改。
串行回溯法算法
设计程序的流程图
算法的数组定义
(1)int sd[82];该数组的用途是接收题目以及保存最终结果。所有的 9×9个数字被依次存储在该数组中,空白处则初始化为 0。
(2)int fix[82];该数组的用途是：若数组中某位置的数字不为0，则 数组fix相应位置的元素值记录为1,否则记录为0。即数组是用来记 录哪些位置的数字是已经确定下来的。
(3)bool型变量 flag初始化为 true。下面各步骤都将在一个条件始 终为真的死循环中进行,该循环由一条对 flag进行真假判断的 ifelse语句分成两大部分。flag所代表的意义是:若当前栈顶(top)是 经过了回退操作而达到的,则 flag会已被记录为假;否则flag为真。 死循环结束的条件是 top与 max的值相等,即解出最终结果,或者是 无解,最终 top小于 0(无解的情况基本上在最初做题目的合法性检 查时已经排除了)。在死循环中:若 flag为真,进入步骤(4),否则进入 步骤(5)。
数独算法的伪代码
过程 work(深度) 如果 深度大于 81 则 输出 答案 否则 记录目前数表 对数表排序 如果 有唯一候选数 则 如果 填充成功 则 work(深度 +1) 否则 取候选数最少的方格
如果 深度小于63 或 候选数 最少个数大于2 则 如果 有隐性唯一候选数 则 如果 填充成功 则 work(深 度 +1) 否则 依次遍历候选数 如果 填充成功 则 work(深 度 +1) 否则 回溯