等腰三角形的分类讨论思想
等腰三角形中的分类讨论思想 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
三、布置作业
1．等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是()
A．80°B．80°或20°
C．80°或50°D．20°
2.等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是( )
A．80°B．80°或20°
让学生了解是哪几种类型需要分类讨论。一个例题对应一种类型，让学生
知一题，懂一类。
方法总结让学生形成知识体系，能达到举一反三的效果。
方法应用，及时巩固，及时反馈。
A.42°B.69° C.69°或84° D.42°或69°
方法总结：在等腰三角形中，如果已知角是直角或钝角，则一定是顶角，如果已知角是锐角时，需要分类讨论.
类型三 与等腰三角形腰上的中线有关时
例3.在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )
附件1
微课教学设计
作 者 信 息
微课设计者
庞玉群
工作单位
广西玉林市玉州区第九初级中学
微课制作者
庞玉群
工作单位
广西玉林市玉州区第九初级中学
微 课 信 息
学科
初中数学
教材版本
人教版
教学内容
八年级数学上册《等腰三角形中的分类讨论思想》
微课主题Байду номын сангаас
《等腰三角形中的分类讨论思想》
选题意图
等腰三角形因为其特殊的性质，在一些题目中需要进行分类讨论的，学生往往会忽略，容易漏解。
微课教学目标
理解并掌握等腰三角形的几种需要分类讨论的情况并学会如何分类讨论。
教学用途
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，也就是说，等腰三角形的两条边边长相等，而另一条边则较短。
等腰三角形可以有不同的形状和性质，下面将对等腰三角形进行分类讨论。
二、等腰三角形的分类1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的一个内角为直角（即90度）。
在等腰直角三角形中，另外两个内角相等，均为45度。
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系为：斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2。
2. 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指两个等腰三角形的顶点角小于90度的三角形。
在等腰锐角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则小于90度。
等腰锐角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
3. 等腰钝角三角形等腰钝角三角形是指两个等腰三角形的顶点角大于90度的三角形。
在等腰钝角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则大于90度。
等腰钝角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
4. 等腰等边三角形等腰等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的三个边全都相等。
等腰等边三角形的三个内角均为60度。
等腰等边三角形具有许多特殊性质，例如：它的三条高线、中线、角平分线和垂直平分线都重合于同一个点；它的外接圆和内切圆都与三个顶点相切。
三、等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，根据顶点角的大小和不同属性，可以进一步分类为等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰等边三角形。
每种分类的等腰三角形都有其特殊的性质和关系，值得我们深入学习和研究。
注意：此文档仅为示例文档，实际写作时请根据需求进行修改和扩展，结合数学知识以及示例文档提供的内容，形成一篇丰富详尽的文档。
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
等腰三角形中的分类讨论思想
等腰三角形中的分类讨论思想烟台牟平实验中学赵希格一、已知等腰三角形的两边，在未指明底边和腰时，求其周长须分两种情况进行讨论；最后务必检验每种情况是否满足三角形的三边关系。
例1：等腰三角形的两边为2和4，求它的周长。
错误答案：（１）、当腰长为 2，底长为 4 时；有 2+2+4=8；其周长为 8；（2）、当腰长为 4，底长为 2 时，有 4+4+2=10；其周长为 10。
∴该等腰三形的周长为 8 或 10正确答案为：（１）、当腰长为 2，底长为 4 时；有 2+2=4；显然不符合三角形的三边关系，（2）、当腰长为 4，底长为 2 时，有 4+4+2=10；其周长为 10。
∴该等腰三形的周长为 10二、已知三角形的一个内角，要讨论所给角分别为等腰三角形的顶角，底角两种情况，而学生往往只考虑到一种情况。
例2、已知等腰三角形的一内角为 50°；求其余两个内角。
错误答案：当顶角为 50°时；其余两底角为 65°，65°；正确答案：（１）、当顶角为 50°时；其余两底角为 65°，65°；（２）、当底角角为 50°时；其余两底角为 50°，80°；∴该等腰三角形其余两角为65°，65°或50°，80°。
而当这一内角为110°时，答案为：35°，35°三、已知等腰三角形的两角关系内，要讨论所给角分别为等腰三角形的顶角，底角的大小关系两种情况，而学生往往只考虑到一种情况。
例4、已知一个等腰三角形的两角之差为60°，求这个等腰三角形的三个内角。
正确答案：（１）、当顶角大于底角时；顶角—底角=60°，顶角+2底角=1800∴该等腰三角形三个内角为100°，40°，40°。
（１）、当底角大于顶角时；底角—顶角=60°，顶角+2底角=1800∴该等腰三角形三个内角为20°，80°，80°例5、等腰三角形上的中线把周长分为15和12两部分，则它的底边长是多少？解:设底边长为x,腰长为y（１）、x+y=12,y+y/2=15 .x=7,y=10（2）、x+y=15,y+y/2=152.x=11,y=8∴该等腰三角形底边长为7或11学生往往根据自己画的图形得出一种情况。
初中数学《等腰三角形分类讨论思想》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
基于学科核心素养的教学设计
课程名称：《等腰三角形分类讨论思想》
姓名
教师姓名
任教学科
数学
学校
学校名称
教龄
5年
教学内容分析
教学内容
对等腰三角形的边角进行分类
教学目标
借助等腰三角形的特点，理解分类讨论思想的应用
教学重点与难点
分类讨论的原因和分类的方法
.......
说明：问题1、2形成对比，体会问题2为什么要进行分类讨论。
........
学生通过分析交流，初步体会分类思想。
......
板书设计
1、等腰三角形中，已知一角（顶角或底角），.......
2、等腰三角形中，已知一边（底边或腰），.........
教学反思
1、复习旧知，点明主题。
2、设计题目有梯度，符合学生认知。
教师活动
预设学生活动
设计意图
一、复习巩固、引入新课
1、△ABC中，AB=AC,∠A=80°，则底角为____________.
2、等腰△ABC中，∠A=80°，则底角为____________.
3、等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则另外两边长为__________.
二、学习新知、提升方法
学科核心素养分析
1、加强数学Biblioteka 维、方法的训练，形成学生数学探究能力。
2、提高分析问题、解决问题的能力以及空间想象能力。
学生学情分析
学生已经对等腰三角形的定义以及边角的性质有了一定的认识和掌握，能够简单地进行等腰三角形的分类计算，但是对于等腰三角形的分类作图没有接触，故在图中准确作图有一定的困难。
动点等腰三角形的分类讨论
动点等腰三角形的分类讨论等腰三角形是指两边长度相等的三角形，动点等腰三角形则是指在等腰三角形中，其中一个顶点在动态变化的情况下，讨论不同情况下的动点等腰三角形的特点和分类。
一、动点在底边上的情况：当动点在底边上时，等腰三角形的另外两个顶点分别位于底边的两侧。
此时，根据动点的位置不同，可以将动点等腰三角形进一步分类。
1. 动点在底边的中点上：当动点在底边的中点上时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧，且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且底角为直角。
2. 动点在底边的延长线上：当动点在底边的延长线上时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上，且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且顶角为直角。
3. 动点在底边的延长线上但不与底边相交：当动点在底边的延长线上但不与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上，且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且顶角为锐角。
二、动点在底边外的情况：当动点在底边外时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
此时，根据动点的位置不同，可以将动点等腰三角形进一步分类。
1. 动点在底边的延长线上但不与底边相交：当动点在底边的延长线上但不与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长不相等，且顶角为锐角。
2. 动点在底边的延长线上且与底边相交：当动点在底边的延长线上且与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长不相等，且顶角为钝角。
动点等腰三角形可以根据动点在底边上或底边外以及动点位置的具体情况进行分类。
不同情况下，等腰三角形的两个等边边长和顶角的大小都会有所不同。
通过对动点等腰三角形的分类讨论，可以更加全面地了解等腰三角形的特点和性质。
分类讨论思想在等腰三角形中的应用
如图等腰三角形△ABC中 边：腰和底边 角：顶角和底角
方法与应用一 遇角需考虑讨论顶角和底角
已知等腰三角形的一个 底内 角是 13000°° ， 则它的顶角是 1210100或200°3000 .
方法与应用二 遇边需考虑讨论腰和底边
1、已知等腰三角形的两边长分别是 31 和 2 ， 则它的周长是 7或5 8
以10为底边
以10为腰
课堂小结 1、遇边需考虑分类讨论腰和底边 2、遇角需考虑分类讨论顶角和底角 3、遇高线需考虑分类讨论三角形的类别
作业布置
收集用分类讨论思想解决的，与等腰三角 形有关的问题，并按一定的标准对收集的问 题进行归类。
2、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和 12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
方法与应用三 遇高线需考虑讨论三角形的类别
等腰三角形一腰上的高。
RJ DJ
综合应用
为了美化环境，计划在某小区内用草皮铺设一 块面积为30，一边长为10的等腰三角形绿地， 请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
等腰三角形的分类讨论
1100或800
类型三：三角形的形状不明时需分类讨论
例：已知等腰△ABC 腰AB上的高CE 与另一腰AC
的夹角为30°，则其顶角的度数为 _6_0_°_或__1__2_0_°_
A E
B 图1
复习与回顾
1、等腰三角形的性质
①等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角） ； ②等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合.
2、等腰三角形判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形. （等角对等边）.
等腰三角形 分类讨论问题
平顶山市实验中学 孙艳霞
类型一：底和腰不明时需分类讨论
例：已知等腰三角形的两边长为3和7，则 其周长为___1_7__.
类型四：一边确定，确定等腰三角形个数时
练习：如图，已知点A的坐标为（2,2），点P在x轴上， △APO为等腰三角形，则满足 条件的点P的坐标为__（_2__2_，_0）___（__-__2__2_，0_）___（_4_，_0）___（__2_，0_）
类型四：一边确定，确定等腰三角形个数时
练习：如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B 是格点，以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的
个数为（ B ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
方法总结 确定的边可能是等腰三角形的腰，也可能是
等腰三角形的底边，解决此类问题通常用圆规 能做到不重不漏.
课堂小结
类型一：底和腰不明时需分类讨论 类型二：顶角与底角不明时需分类讨论 类型三：三角形的形状不明时需分类讨论 类型四：一边确定，确定等腰三角形个数时
C
等腰三角形ppt课件
5.已知等腰三角形的两内角之比为4：1，则这个
三角形的顶角度数为
；
世上无难事，只要肯登攀
A
∴∠EOB=∠CBO， ∠∵FBOOC、=∠COBC分O别平分∠ABC、∠ACB
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO ∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO
OБайду номын сангаас
E
F
∴BE＝OE，CF=OF
∴ EF=EO+FO＝BE+CF
B
C
若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？
例题讲解
等腰三角形练习 ----分类讨论思想
一、课前热身，知识再现
1.已知等腰三角形的一内角为40°；求其余两个内角的
度数
；
2.已知等腰三角形的两边长为3和4，其周长
为
；
二、自主探究 （关于角的讨论）
1、已知等腰三角形的一外角为100°；则等腰三角形的
顶角的度数为 800或200
（关于等腰三角形边的讨论）
3
∴∠AFD＝∠4 ∵∠AFD＝∠3
4
∴∠3＝∠4 ∴CE＝CF
B
E
C
∴△CEF是等腰三角形
典 例2 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.
例 过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之间的关系.
精 析
解：EF=BE+CF.
∵ EF∥BC
理由如下：
证明：∵△ABC中AB＝AC，D在BC的中点， ∴∠B=∠C，BD=CD
∵DE⊥AB，DF⊥AC． ∴∠BED=∠CFD=9 0在°△BDE和△CDF中，
∠BED=∠CFD ∠B=∠C BD=CD
关于等腰三角形的分类讨论
关于等腰三角形的分类讨论一、形边的分类例如，已知等腰三角形的周长为15，其中一个边长为6，那么它的底边长多少？在解答这个问题的时候，题目当中的关键信息是边长为6的边不确定是腰还是底，这时分类讨论的两种情况分别是：第一种情况是设长为6的边为腰，则另两条边为6，3；第二种情况是设长为6的边为底，则另两条边是4.5，4.5.这时，要验证这样两组边长能不能组成一个三角形，也就是满不满足三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
经验证满足三角形的三边关系定理，所以等腰三角形的底边为6或4.5.例如，当已知等腰三角形的两个边的边长：一边长是6，另一边长是17，求这个三角形的周长时。
很多学生会想到应该分类讨论：第一种情况是设腰为6，底为17时，则三角形的三个边分别是6，6，17，这时要根据三角形的性质进行验证，因为6+6小于17，不符合三角形的性质，这样的三个边组不成三角形，所以这种假设是不成立的。
第二种情况是设腰为17，底为6，则三角形的三个边分别是17，17，6，根据三角形的性质进行验证，经验证符合三角形的性质，所以这个三角形是成立的，则其周长为17+17+6=40.二、形角的分类例如，已知等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，求这个等腰三角形的三个内角大小时。
设一个角是x，另一个角就是2x，这时就要分情况进行讨论了。
第一种情况是x为顶角，则另两个角都是2x，根据三角之和为180°，得x+2x+2x=180°，解得x=36°，则这个等腰三角形的三个内角分别是36°，72°，72°。
第二种情况是当x为底角时，则另两个角是x，2x，得x+2x+x=180°，解得x=45°，则这个等腰三角形三个内角分别是45°，45°，90°。
所以这个等腰三角形的三个内角大小是36°，72°，72°或90°，45°，45°。
等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)--常见几何模型全归纳之模型解读
等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1)无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2)“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A，B两点是定点，找一点C构成等腰△ABC方法：两圆一线具体图解：①当AB=AC时，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，点C在⊙A上(B，C除外)②当AB=BC时，以点B为圆心，AB长为半径作⊙B，点C在⊙B上(A，E除外)③当AC=BC时，作AB的中垂线，点C在该中垂线上(D除外)1(2023秋·河北张家口·八年级统考期末)△ABC是等腰三角形，AB=5,AC=7，则△ABC的周长为()A.12B.12或17C.14或19D.17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当△ABC的腰为5时，△ABC的周长5+5+7=17；当△ABC的腰为7时，△ABC的周长5+7+7=19．故选：D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．2(2023春·四川巴中·七年级统考期末)等腰三角形的周长为32cm，一边长为8cm，则其它两边长是()A.8cm，16cmB.12cm，12cmC.8cm，16cm或12cm，12cmD.12cm，8cm【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质和构成三角形的条件即可得．【详解】解：∵等腰三角形的周长为32cm，一边长为8cm，∴①当底边长为8cm时，其它两边长是32-82=12(cm)，②当腰长为8cm时，其它两边长是8cm或32-2×8=16(cm)，8+8=16，此时三边不能构成三角形，综上，其它两边长是12cm，12cm，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形，构成三角形的条件，解题的关键是掌握这些知识点．3(2023秋·广东八年级课时练习)若△ABC是等腰三角形，∠A=36°，则∠C的度数是()A.72°或108°B.36°或72°C.108°或36°D.36°或72°或108°【答案】D【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论即可得到答案．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=36°，∴当∠A是顶角时，∠C=∠B=180°-36°2=72°；当∠A是底角时，①当∠B=∠A=36°时，则∠C=180°-2×36°=108°；②∠C=∠A=36°；综上所述，∠C的度数是36°或72°或108°，故选：D．【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度，根据等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键．4(2022秋·江苏南通·八年级启东市长江中学校考阶段练习)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为．【答案】30°或150°【分析】根据题意画出图形，分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案．【详解】根据题意得：AB=AC,BD⊥AC，如图(1)所示，∠ABD=60°，则∠A=30°，即顶角为30°；如图(2)所示，∠ABD=60°，则∠DAB=30°，∴∠BAC=150°，即顶角为150°；故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．5(2023秋·江苏·八年级专题练习)在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有()A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰△ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．6(2023·重庆市八年级期中)如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α(0°<α<135°)得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ =90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，∴∠CQP=90°，∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°，∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．7(2022秋·江苏徐州·八年级校考期中)如图，∠AOB=70°，点C是边OB上的一个定点，点P在角的另一边OA上运动，当△COP是等腰三角形，∠OCP=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC=PC，②当PO=PC，③当OP=OC，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，①当OC=PC时，∴∠COP=∠CPO=70°∴∠OCP=180°-∠OPC-∠COP=40°．②当PO=PC时，∠OCP=∠COP=70°；③当OP=OC时，∠OCP=180°-∠AOB2=55°；综上所述，∠OCP的度数为70°或40°或55°．故答案为：70或40或55．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．8(2023·安徽阜阳·八年级统考期末)在平面直角坐标系中，若点A0,4，B3,0，则AB=5.请在x轴上找一点C，使ΔABC是以AB为腰的等腰三角形，点C的坐标为.【答案】-3,0、-2,0或8,0【分析】分两种情况求解：①AB=AC，②AB=BC．【详解】解：①当AB=AC时，∵AO⊥BC,∴OC=BO=3，∴C(-3，0);②当AB=BC=5时，若点C在B点左侧，CO=BC-BO=2，此时点C的坐标为(-2，0);若点C在B点右侧，CO=BO+BC=8，此时点C的坐标为(8,0).综上所述，满足条件的点C有3个.故答案为：-3,0、-2,0或8,0．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质以及分类讨论，做题时需注意两点，一是注意点C 必须位于x轴上，二是注意不能漏解，应分AB=AC与AB=BC两种情况分别解答，难度适中．9(2023·江苏苏州·八年级校考期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t秒(t>0)．(1)若点P 在BC 上，且满足PA =PB ，求此时t 的值；(2)若点P 恰好在∠ABC 的角平分线上，求此时t 的值：(3)在运动过程中，当t 为何值时，△ACP 为等腰三角形．【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或95或3【分析】(1)设PB =PA =xcm ，则PC =4-x cm ，利用勾股定理求出AC =3cm ，在Rt △ACP 中，依据AC 2+PC 2=AP 2，列方程求解即可得到t 的值．(2)如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD ⊥AB 于D ，设PD =PC =ycm ，则AP =3-y cm ，在Rt △ADP 中，依据AD 2+PD 2=AP 2，列方程求解即可得到t 的值．当点P 与点B 重合时，点P 也在∠ABC 的角平分线上，此时，t =AB 2=52．(3)分四种情况：当P 在AB 上且AP =CP 时，当P 在AB 上且AP =CA =3cm 时，当P 在AB 上且AC =PC 时，当P 在BC上且AC =PC =3cm 时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t 的值．【详解】(1)解：如图，设PB =PA =xcm ，则PC =4-x cm ，∵∠ACB =90°，AB =5cm ，BC =4cm ，∴AC =AB 2-BC 2=3cm ，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AC 2+PC 2=AP 2，∴32+4-x 2=x 2，解得x =258，∴BP =258，∴t =AB +BP 2=5+2582=6516；(2)解：如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD ⊥AB 于D ，∵BP 平分∠ABC ，∠C =90°，PD ⊥AB ∴PD =PC ，∠DBP =∠CBP ，在△BCP 与△BDP 中，∠BDP =∠BCP∠DBP =∠CBP BP =BP，∴△BDP ≌△BCP AAS∴BC =BD =4cm ，∴AD =5-4=1cm ，设PD =PC =ycm ，则AP =3-y cm ，在Rt △ADP 中，由勾股定理得AD 2+PD 2=AP 2，∴12+y2=3-y2，解得y=43，∴CP=43，∴t=AB+BC+CP2=5+4+432=316，当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t=AB2=52．综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为316或52．(3)解：分四种情况：①如图，当P在AB上且AP=CP时，∴∠A=∠ACP，∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，∴∠B=∠BCP，∴CP=BP=AP，∴P是AB的中点，即AP=12AB=52cm，∴t=AP2=54．②如图，当P在AB上且AP=CA=3cm时，∴t=AP2=32．③如图，当P在AB上且AC=PC时，过C作CD⊥AB于D，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=125cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=AC2-CD2=32-1252=95cm，∴AP=2AD=185cm，∴t=AP2=95．④如图，当P在BC上且AC=PC=3cm时，则BP=4-3=1cm，∴t=AB+BP2=62=3．综上所述，当t的值为54或32或95或3时，△ACP为等腰三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第(3)题的关键．10(2022春·四川成都·八年级校考期中)如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A-2，6的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27(1)求直线AB的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段AB上(不与点A、B重合)，过点P 作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y y≠0，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值范围；(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x+4，D-5，0(2)y=32m+3，-2<m<4(3)存在，点F的坐标为25,0或-165,0或-87,0【分析】(1)据直线AB交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，设直线AB解析式为y=-x+n，把A的坐标代入求得n的值，从而求得B的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD 的值，从而求出D点的坐标；(2)直接根据待定系数法求出AD的解析式，先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的纵坐标，将P的纵坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；(3)要使△PEF为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出(2)中m的值，就可以求出F点的坐标．【详解】(1)解：∵OB=OC，∴设直线AB的解析式为y=-x+n，∵直线AB经过A-2，6，∴2+n=6，∴n=4，∴直线AB的解析式为y=-x+4，∴B4，0，∴OB=4，∵△ABD的面积为27，A-2，6，∴S△ABD=12×BD×6=27，∴BD=9，∴OD=5，∴D-5，0，∴直线AB的解析式为y=-x+4，D-5，0(2)解：设直线AD的解析式为y=ax+b，∵A-2，6，D-5，0∴-2a+b=6-5a+b=0，解得a=2b=10．∴直线AD的解析式为y=2x+10；∵点P在AB上，且横坐标为m，∴P m，-m+4，∵PE∥x轴，∴E的纵坐标为-m+4，代入y=2x+10得，-m+4=2x+10，解得x=-m-62，∴E-m-62,-m+4，∴PE的长y=m--m-62=3m2+3；即y=32m+3，-2<m<4；(3)解：在x轴上存在点F，使△PEF为等腰直角三角形，①当∠FPE=90°时，如图①，有PF=PE，PF=-m+4，PE=32m+3，∴-m+4=32m+3，解得m=25，此时F25,0；②当∠PEF=90°时，如图②，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标，∴EF=-m+4，∴-m+4=32m+3，解得：m=25，∴点E的横坐标为x=-m-62=-165，∴F-165,0；③当∠PFE=90°时，如图③，有FP=FE，∴∠FPE=∠FEP．∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，∴∠FPE=∠FEP=45°．作FR⊥PE，点R为垂足，∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，∴∠PFR=∠RPF，∴FR=PR．同理FR=ER，∴FR= 12PE．∵点R与点E的纵坐标相同，∴FR=-m+4，∴-m+4=1232m+3，解得：m=107，∴PR=FR=-m+4=-107+4=187，∴点F的横坐标为107-187=-87，∴F-87,0．综上，在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为25,0或-165,0或-87,0．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练1(2023春·四川成都·七年级统考期末)等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则这个三角形的周长为()A.22cmB.17cm或13cmC.13cmD.17cm或22cm【答案】A【分析】分4cm是腰长与底边长两种情况讨论求解．【详解】解：①4cm是腰长时，三角形的三边分别为4cm、4cm、9cm，因为4+4<9,故不能组成三角形；②4cm是底边长时，三角形的三边分别为4cm、9cm、9cm，能组成三角形，周长=4+9+9=22cm，综上所述，这个等腰三角形的周长是22cm．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．2(2023·浙江·八年级课堂例题)如图，P是射线ON上一动点，∠AON=30°，当△AOP为等腰三角形时，∠OAP的度数一定不可能是()A.120°B.75°C.60°D.30°【答案】C【分析】分AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，①当AO=AP时，则有∠O=∠APO=30°，故∠A=120°；②当AO=OP时，则∠A=∠APO=12180°-30°=75°；③当OP=AP时，则∠A=∠AON=30°，综上可知：∠A不可能为60°；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3(2023·福建龙岩·八年级校考期中)在平面直角坐标系xOy中，点A2,0，B0,2，若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】分为AB=AC、BC=BA，CB=CA三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB=AC时，符合条件的点有2个；当BC=BA时，符合条件的点有1个；当CB=CA，即当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C共有4个．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4(2023·江苏八年级期中)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点(小正方形的顶点叫做格点)，若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有()A.0个B.2个C.4个D.8个【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，∴满足条件的格点C有4个，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键5(2023·山东日照·八年级统考期末)如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是()A.3B.4C.5D.6【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定即可得到结论．【详解】解：如图所示，使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．6(2022·山东青岛·统考二模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为1,3，若M为x 轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】A【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为2．故选A．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7(2022·安徽淮北·九年级阶段练习)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6．若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P有( )．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【分析】根据勾股定理求出AB，分为三种情况：①AB=AP，②AB=BP，③AP=BP，得出即可．【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC=8，AC=6，由勾股定理的：AC=AC2+BC2=62+82=10，如图，以点A为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点B和点P1；以点B为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点P2和P3；作线段AB的垂直平分线交直线BC与一点，即点P4；即共4个点，故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8(2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为1,1，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，OA=12+12=2，当AO=OP1，AO=OP3时，P1(-2，0)，P3(2，0)，当AP2=OP2时，P2(1，0)，当AO=AP4时，P4(2，0)，故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9(2022·四川广元·八年级期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有()A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】C【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(简称：在同一三角形中，等边对等角)”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，(此时AB=AM)；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6(此时BM=BA)．③AB的垂直平分线交AC一点M7(MA=MB)，交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．10(2023春·山东泰安·七年级统考期末)等腰三角形的一角为30°，则其顶角的大小是．【答案】120°或30°【分析】等腰三角形的一个内角是30°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意讨论即可．【详解】解：分两种情况：当30°的角是底角时，180°-30°×2=120°，则顶角度数为120°；当30°的角是顶角时，则顶角为30°；故答案为：120°或30°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11(2023·四川凉山·八年级校考期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则底角是．【答案】27°或63°【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形的内部、三角形的边上、三角形的外部，根据条件可知第二种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论即可得解．【详解】解：①当高在三角形内部时，如图：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=36°，∴∠A=90°-∠ABD=54°，∴∠ABC=∠C=12180°-54°=63°；②当高在三角形外部时，如图：∵BD ⊥AC ，∴∠ADB =90°，∵∠ABD =36°，∴∠DAB =90°-36°=54°，∴∠ABC =∠C =12∠DAB =12×54°=27°．∴综上所述，底角是27°或63°．故答案是：27°或63°．【点睛】本题主要考查了与三角形的高有关的计算、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质三角形的分类以及等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键．12(2023春·四川达州·八年级校考阶段练习)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k ．若k =2，则该等腰三角形的顶角为度．【答案】90【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：∵k =2，∴设顶角=2α，则底角=α，∴α+α+2α=180°，∴α=45°，∴该等腰三角形的顶角为90°，故答案为：90．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．13(2023春·四川达州·八年级校考阶段练习)如果等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，那么这个等腰三角形的腰和底的长分别是．【答案】6，9或8，5【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是12-9=3，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：12-9=3，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为x +3，由题意可得，x +3+2x =12+9，解得：x =6，x +3=6+3=9，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为x -3，由题意可得，x -3+2x =12+9，解得：x =8，x -3=8-3=5，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14(2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，2)，在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点(O 除外)；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15(2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习)如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AB =10cm ，AC =8cm ，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A -C -B -A 运动，设运动时间为t 秒t >0 ，当点P 在边AB 上，当t =s 时，△BCP 是等腰三角形．【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵∠ACB =90°，AB =10cm ，AC =8cm ，∴由勾股定理得：BC =AB 2-AC 2=102-82=36=6(cm )，当P 在BA 上时，①当BC =BP =6cm 时，如图，∴t =8+6+6 ÷1=20s ；②当BC =CP =6cm 时，过CD ⊥PB 于点D ，如图，∴BD =DP =12BP ，∵S △ABC =12AC ∙BC =12AB ∙CD ，∴CD =AC ∙BC AB=6×810=4.8，在Rt △CBD 中，由勾股定理得：BD =BC 2-CD 2=62-4.82=3.6cm ，∴BP =2BD =2×3.6=7.2cm ，∴t =8+6+7.2 ÷1=21.2s ，③当BP =CP ，如图，∵∠ACB =90°，BP =CP ∴CP =BP =12AB =5cm ∴t =8+6+5 ÷1=19s 综上可知：t 的值为：19或20或21.2．，故答案为：19或20或21.2．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，解题时需要作辅助线构造直角三角形以及等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．16(2022秋·江苏扬州·八年级统考阶段练习)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1cm/s 的速度运动，设运动时间为ts ，当t =s 时，△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形．【答案】5或8【分析】△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当AB =BP 时；②当AB =AP 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，∴BC =AB 2-AC 2=52-32=4cm ，①当AB =BP 时，如图1，则t =5；②当AB =AP 时，BP =2BC =8cm ，t =8故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．17(2022·河南平顶山·八年级期末)如图，△ABC 中，∠C =90°，BC =6，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD =BD ，点E 是线段AB 上的动点(与A 、B 不重合)，连接DE ，当△BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为．【答案】4或43##43或4【分析】现根据已知条件得出∠CBD=∠ABD=∠BAD=30°，再根据BC=6，分别求出AB、AC、BD、AD、CD的长，然后分类讨论即可．【详解】解：∵△ABC中BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∵BD=AD，∴∠ABD=∠BAD，∴∠CBD=∠ABD=∠BAD，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ABD+∠BAD=90°，∴∠CBD=∠ABD=∠BAD=30°,∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC=AB2-BC2=122-62=63，∵∠CBD=30°，且BC=6，∴BD=2CD，∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，∴CD=23，BD=2CD=2×23=43=AD；(1)当BE=BD=43时，如图：(2)当BE=DE，如图：∵BE=DE，∴∠EDB=∠ABD=30°，∴∠AED=∠EDB+∠ABD=60°，∴∠ADE=180°-∠AED-∠A=180°-60°-30°=90°，∴△ADE为直角三角形，又∵∠A=30°且AD=43，∴DE=4，∴BE=4；(3)当BD=DE，时，点E与A重合，不符合题意；综上所述，BE为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，30°直角三角形的性质的应用，按三种不同的情况进行讨论是解题的关键．18(2023·上虞市初二月考)在如图所示的三角形中，∠A=30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有个．【答案】7【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB =BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．19(2022·浙江·八年级专题练习)已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ΔACP为等腰三角形．(利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹)【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点P1、P2、P3即为所求．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意△ACP是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．20(2022·山东·周村二中八年级期中)在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．(1)如图，求作△ABC的巧妙点P(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．(2)如图，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．(3)等边三角形的巧妙点的个数有()A.2个B.6个C.10个D.12个【答案】(1)见解析；(2)6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；(3)C．【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质，作AB、AC的垂直平分线，交点P即为所求；(2)分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，根据等腰三角形的性质分别求出∠BPC的度数即可得答案；(3)根据(2)中作图方法画出图形，即可得答案．【详解】(1)点P为所求，(2)如图：分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，共6个，∵∠BAC=80°，AB=AC，P1P6是BC的垂直平分线，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=50°，∠BP1A=∠CP1A，∠BAP5=12∵AP1=AB，∴∠P1BA=∠BP1A，∴∠BAP5=2∠P1BA=40°∴∠P1BA=20°，∴∠BP1C=2∠P1BA=40°，∵AP2=AC，BP2=BC，∴∠AP2C=∠ACP2，∠BP2C=∠BCP2，∴∠AP2C+∠BP2C=∠ACP2+∠BCP2，∴∠BP2A=∠BCA=50°，∴∠ABP2=∠ABC=50°，∴∠P2BC=100°，(180°-∠P2BC)=40°，同理可得：∠BP3C=40°，∴∠BP2C=12∵∠BAP5=40°，AP5=BP5，∴∠ABP5=∠BAP5=40°∵∠ABP5=∠BAP5=40°，∴∠P5BC=∠ABC-∠ABP5=10°，∵BP5=CP5，∴∠BPC=180°-2∠P5BC=160°，∵AC=AP4，∠CAP4=40°，∴∠APC=70°，∴∠BPC=2∠APC=140°，∵AC=CP6，∴∠AP6C=∠CAP6=40°，∴∠BP6C=2∠AP6C=80°．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．(3)如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．21(2022·黑龙江密山·八年级期末)如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，OA-6+OB-82=0．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为245，求线段AB的长；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A(0，6)，B(8，0)；(2)AB=10；(3)存在，(-8，0)、(-2，0)、(18，0)．【分析】(1)由非负数的性质知OA=6，OB=8，据此可得点A和点B的坐标；(2)根据S△OAB=12AB∙d=1 2∙OA∙OB求解可得；(3)先设点P(a，0)，根据A(0，6)，B(8，0)得PA2=a2+62，PB2=a-82，AB2=102=100，再分PA=AB和AB=PB两种情况分别求解可得．(1)∵OA-6+OB-82=0∴OA-6=0OB-8=0∴OA=6OB=8则A点的坐标为A(0，6)，B点的坐标为(8，0)(2)∵S△OAB=12AB∙d=12∙OA∙OB，d=245∴AB=OA∙OBd=6×8245=10(3)存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形设点P(a，0)，根据A(0，6)，B(8，0)得PA2=a2+62，PB2=a-82，AB2=102=100①若PA=AB，则PA2=AB2，即a2+62=100，解得a=8(舍)或a=-8，此时点P(-8，0)；②若AB=PB，即AB2=PB2，即100=a-82解得a=18或a=-2，此时点P(18，0)或(-2，0)；综上，存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，其坐标为(-8，0)或(18，0)或(-2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键。
等腰三角形中的分类讨论思想
3．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个 三角形的各个内角的度数．
解：设在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D. (1)若高与底边的夹角为25°，高一定在△ABC的内部，如 图①所示． ∵∠DBC＝25°， ∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°. ∴∠ABC＝∠C＝65°. ∴∠A＝180°－2×65°＝50°. (2)若高与另一腰的夹角为25°，如图②，当高在△ABC的 内部时，
4．△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线 相交所得的锐角为40°.求∠B的度数．
解：此题分两种情况讨论： (1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D， ∠ADE＝40°，则∠A＝50°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝(180°－50°)÷2＝65°.
(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D， ∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝(180°－130°)÷2＝25°. 故∠B的度数为65°或25°.
5．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD 把其周长分为差为3 cm的两部分，求腰长．
解：∵BD为△ABC的AC边上的中线， ∴AD＝CD. (1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，AB－BC＝3 cm. ∵BC＝5 cm， ∴AB＝5＋3＝8(cm)．
(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，BC－AB＝3 cm. ∵BC＝5 cm， ∴AB＝5－3＝2(cm)． 但是当AB＝2 cm时，三边长分别为 2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不合题意，应舍去． 故腰长为8 cm.
又∵∠OBE＝180°－60°＝120°，∴∠OBE＝∠OMF. ∴△OMF≌△OBE(ASA)． ∴BE＝MF. ∵AF＝1，∴FM＝1. ∴BE＝1. (2)当点F在线段DA的延长线上时，如图②，作OM∥AB交 AD于点M，同(1)可得△OMF≌△OBE，DM＝2，AD＝4， ∴BE＝FM. ∵AF＝1，∴FM＝3.∴BE＝3. 综上所述，BE的长为1或3.
等腰三角形中的分类讨论问题
关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。
对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形〞一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。
下面举例简要论述这两类问题：一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论例1、〔1〕已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。
〔2〕等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。
分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰〞，哪条边是“底〞不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。
解〔1〕因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形；当腰长为8时，周长为8+8+10=26；当腰长为10时，周长为10+10+8=28；故这个三角形的周长为26cm或28cm。
解〔2〕当腰长为3时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形；当腰长为7时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为17cm。
注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。
二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数；分析：题目没有指明“顶角是底角的4倍〞，还是“底角是顶角的4倍〞因此必须进行分类讨论。
解：〔1〕当底角是顶角的4倍时，设顶角为x ，则底角为4x ，∴ 4x+4x+x=1800， ∴ x=200， ∴ 4x=800，于是三角形的各个内角的度数为：200，800，800。
分类讨论思想在_等腰三角形_问题中的应用_黄苏华
这 条已 知 边 可 知等 腰 三角 形 的一 条 边， 运 用 分 类 讨 论 思想 可以 知道 ： 以是等腰三角形的底边， 也可以是腰。 应该在OA的垂直平分线上， 做 OA的垂直 的第三个顶点为顶角的顶点， 要 找 的 等 腰 三角 形 如 图5， 当 已 知 边 OA为等 腰 三角 形 的 底 边 时 ，
例3 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30毅， 底边长为a， 则
还是在形外， 无法确定 ， 所 简析 此等腰三角形 的高在形内、 边上， 边上及在 形外， 显然要排除第 以在这里要考虑三种情形， 即高在形内、 二种情形。 姨 3 a。 2 a 援 2 （如图1） 可 得腰上的高是 当高在形内时 ， 此三角 形是锐角三角形， （如图 2） 可 得腰上的高是 当高在形外时 ， 此三角 形是钝角三角形， 故此等腰三角形腰上的高是 姨 3 a或 a 。 2 2 三、 找等腰三角形的顶点时 坐标轴上确定点P， 使得吟AOP成为等腰三角形。 例6 在 平面直 角 坐 标系内 ， 已知点A （2， 1） ， O为 坐 标 原 点， 请你在 已 简 析 此 类 找 等 腰 三角 形 的 第 三 个 顶 点 问题 都 有一个 共同点 ： 图4
顶角 和 底 总 之 ,在 探 讨 有关 等 腰 三角 形 问题的 时 候 ,由 于 腰 和 底、
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图8
则蚁B=180毅-2伊40毅=100毅。 蚁A=40毅， 若蚁B是顶角， 二、 与等腰三角形重要的线 （段） 有关时 其腰上的高是 。 综上可知， 蚁B的度数应该是70毅、 40毅或100毅。
如 果 此 时 蚁 B是 底 角 ， 则蚁B= 所以在这里我们 需要把蚁B再 分为两类，
那 么 蚁B 究 竟 是 顶 角 还 是 底 角 ， 这 又 是不 确定 的， 若 蚁A是 底 角 ，
等腰三角形中的分类讨论问题归类
等腰三角形中的分类讨论问题归类等腰三角形是高中几何学中的重要概念之一，它具有一些特殊的性质和分类方法。
本文将对等腰三角形进行分类讨论，并归类相关问题。
通过对等腰三角形的深入了解，我们能够更全面地掌握它的性质和应用。
一、定义与性质等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
根据这个定义，我们可以推导出等腰三角形的一些性质。
首先，等腰三角形的底角（底边所对的角）是两条边所对应的顶角的一半。
其次，等腰三角形的高线（从顶点到底边之间的线段）也是它的中线和中线所在的高线相等。
此外，等腰三角形的角平分线也是高线和中线。
这些性质在解决等腰三角形相关问题时非常有用。
二、基于边长的分类根据等腰三角形底边和两边的长度关系，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形：当两边的长度小于底边时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形：当两边的长度等于底边时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形：当两边的长度大于底边时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。
三、基于角度的分类根据等腰三角形底边所对应的顶角的大小，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形：当底角小于90度时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形：当底角等于90度时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形：当底角大于90度时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。
四、应用与推广了解等腰三角形的分类讨论有助于我们在解决相关几何问题时快速准确地判断和运用。
例如，当我们需要证明一个三角形是等腰三角形时，可以根据其边长关系或角度关系进行分类讨论。
特殊三角形中的分类讨论模型—2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读(全国通用)(解析版)
三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型 模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）【答案】C【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m 、n 的值，再根据m 、n 分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【详解】解：()2350m n −+−=，30m −≥，()250n −≥，30m ∴−=，50n −=，解得：3m =，5n =，当3m =作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：33511++=，当5n =作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：35513++=，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求m 、n 的值，再根据m 或n 作为腰，分类求解． 例2．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm ，且一边长是4cm ，则它的腰长为（ ）A ．4cmB ．7cmC ．4cm 或7cmD ．全不对【答案】B【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可．【详解】解：当4cm 为腰长时，则底边长为182410−⨯=cm ，∵4410+<，不符合题意；∴4cm 为底边长，∴等腰三角形的腰长为：()11847cm 2⨯−=；故选B ． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形．例3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是80︒，则它顶角的度数是（ ）A ．80︒B ．80︒或20︒C ．80︒或30︒D ．20︒【答案】B【分析】根据三角形的内角和为180︒，进行分类讨论即可【详解】解：①当底角为80︒时，顶角18080220=︒−︒⨯=︒，②当顶角为80︒时，顶角度数80=︒，综上：顶角度数为80︒或20︒；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和为180︒，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容． 例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为100︒，则它的底角为（ ）A ．55︒B ．80︒C ．55︒或80︒D ．以上都不是 【答案】D【分析】等腰三角形的一个外角等于100︒，则等腰三角形的一个内角为80︒，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．【详解】∵等腰三角形的一个外角等于100︒，∴等腰三角形的一个内角为80︒，①当80︒为顶角时，其他两角都为50︒、50︒，②当80︒为底角时，其他两角为80︒、20︒，所以等腰三角形的底角可以是50︒，也可以是80︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错． 例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70︒，则等腰三角形的顶角度数为 ．【答案】20︒或160︒【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB AC =，70ACD ∠=︒，CD 为高，即90ADC ∠=︒，此时180A ACD ADC ∠+∠+∠=︒，∴180907020A =︒−︒−︒=︒，若三角形为钝角三角形时，如图，AB AC =，70ACD ∠=︒，CD 为高，即90ADC ∠=︒，此时9070160BAC D ACD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，综上，等腰三角形的顶角的度数为20︒或160︒．故答案为：20︒或160︒． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行5⨯列的长方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得ABC 是等腰直角三角形，则满足条件的格点C 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB 为等腰直角ABC 底边；②AB 为等腰直角ABC 其中的一条腰．【详解】如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角ABC 底边时，符合条件的格点C 点有2个；②AB 为等腰直角ABC 其中的一条腰时，符合条件的格点C 点有3个．故共有5个点，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．例6．（2023·北京·八年级期中）Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为____．【答案】4或【分析】根据题意分类讨论，①90CAD ∠=︒，②90ACD ∠=︒，③90ADC ∠=︒，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．【详解】解：①如图，当90CAD ∠=︒时，902BAC AB AC ∠=︒==，，ACD △是等腰直角三角形，2AC AD AB ∴===,180BAD BAC CAD ∠=∠+∠=︒，224BD AB AD ∴=+=+=；②如图，当90ACD ∠=︒时，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，902BAC AB AC ∠=︒==，，ACD △，ABC 是等腰直角三角形，2CD AC AB ∴===，18045DCE ACD ACB ∠=︒−∠−∠=︒， 又DE BC ⊥，∴DEC 是等腰直角三角形，DE CE ∴=，在Rt DEC △中，22222DC CE DE DE =+=，∴2DE DC ==在Rt ABC 中，BC 在Rt BDE 中，BD =③如图，当90ADC ∠=︒时，902BAC AB AC ∠=︒==，ACD △，ABC 是等腰直角三角形， 2CD AD AC ∴===在Rt ABC 中，BC ==Rt BDC 中，BD =综上所述，BD 的长为：4或4或．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC 的关于点B 的二分割线．如图1，Rt △ABC 中，显然直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．在图2的△ABC 中，∠ABC ＝110°，若直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，则∠CDB 的度数是 ．【答案】40°或90°或140°【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，∵AD=BD ，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；②如图，当∠BDC=90°，AD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，；③如图，当∠ABD=90°，CD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD ，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．综上所述：当∠BDC 的度数是40°或90°或140°时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键． 且ABP 为等腰三角形，则点【答案】(2,0)或(2,0)−或(64+或(6−【分析】根据等腰三角形的判定，分①AB=BP ；②AB=AP ；③AP=BP 三种情况求解即可．【详解】∵ABP 为等腰三角形，①当AB BP =时，如图①，∵AB ==∴BP =∵(6,0)B ，∴(6P +或(6P −；②当AB AP =时，如图② 作AC BP ⊥于C 点，则(2,0)C ，∵AB AP =，∴BC CP =，∵624BC =−=，∴4CP =，∴(2,0)P −．③当AP BP =时，如图③，作AP BP ⊥，∴4AP BP ==，∴(2,0)P ．综上所述：点P 的坐标为(2,0)或(2,0)−或(6+或(6−，故答案为：(2,0)或(2,0)−或(6+或(6−．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键． 八年级校考期中）如图，ABC 中，A 【答案】(1)16(2)6或2(3)4或2或95或3【分析】（1）设cm PB PA x ==，则()4cm PC x =−，利用勾股定理求出3cm AC =，在Rt ACP 中，依据222AC PC AP +=，列方程求解即可得到t 的值．（2）如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD AB ⊥于D ，设cm PD PC y ==，则()3cm AP y =−，在Rt ADP 中，依据222AD PD AP +=，列方程求解即可得到t 的值．当点P 与点B 重合时，点P 也在ABC ∠的角平分线上，此时，522AB t ==．（3）分四种情况：当P 在AB 上且AP CP =时，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，当P 在AB 上且AC PC =时，当P 在BC 上且3cm AC PC ==时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t 的值．【详解】（1）解：如图，设cm PB PA x ==，则()4cm PC x =−，90ACB ∠=︒，5cm AB =，4cm BC =，3cm AC ∴，在Rt ACP 中，由勾股定理得222AC PC AP +=，()22234x x ∴+−=，解得258x =，258BP ∴=，2556582216AB BP t ++∴===；（2）解：如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD AB ⊥于D ，BP 平分ABC ∠，90C ∠=︒，PD AB ⊥PD PC ∴=，DBP CBP ∠=∠，在BCP 与BDP △中，BDP BCP DBP CBP BP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS BDP BCP ∴≌4cm BC BD ∴==，541cm AD ∴=−=，设cm PD PC y ==，则()3cm AP y =−，在Rt ADP 中，由勾股定理得222AD PD AP +=，()22213y y ∴+=−，解得43y =，43CP \=，454313226AB BC CP t ++++∴===，当点P 与点B 重合时，点P 也在ABC ∠的角平分线上，此时，522AB t ==． 综上所述，点P 恰好在ABC ∠的角平分线上，t 的值为316或52．（3）解：分四种情况：①如图，当P 在AB 上且AP CP =时，∴A ACP ∠=∠，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴==． ②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==． ③如图，当P 在AB 上且AC PC =时，过C 作CD AB ⊥于D ， ∵1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅，∴12cm 5AC BC CD AB ⋅==，在Rt ACD △中，由勾股定理得9cm 5AD =，182cm 5AP AD ∴==，925AP t ∴==． ④如图，当P 在BC 上且3cm AC PC ==时，则431cm BP =−=，6322AB BP t +∴===． 综上所述，当t 的值为54或32或95或3时，ACP △为等腰三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 例10．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过()26A−，的直线交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C OB OC =，，直线AD 交x 轴负半轴于点D ，若ABD △的面积为27(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A B 、重合），过点P 作x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =−+−，，(2)()33242y m m =+−<<，(3)存在，点F 的坐标为2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭或16,05⎛⎫− ⎪⎝⎭或8,07⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】（1）据直线AB 交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C ，OB OC =，设直线AB 解析式为y x n =−+，把A 的坐标代入求得n 的值，从而求得B 的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD 的值，求出OD 的值，从而求出D 点的坐标； （2）直接根据待定系数法求出AD 的解析式，先根据B A 、的坐标求出直线AB 的解析式，将P 点的横坐标代入直线AB 的解析式，求出P 的纵坐标，将P 的纵坐标代入直线AD 的解析式就可以求出E 的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使PEF !为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P E F 、、为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中m 的值，就可以求出F 点的坐标．【详解】（1）解：OB OC =，∴设直线AB 的解析式为y x n =−+，∵直线AB 经过()26A −，，26n ∴+=，4n ∴=，∴直线AB 的解析式为4y x =−+，()40B ∴，，4OB ∴=，ABD 的面积为()2726A −，，，16272ABD S BD =⨯⨯=，9BD ∴=，5OD ∴=，()50D ∴−，，∴直线AB 的解析式为()450y x D =−+−，，（2）解：设直线AD 的解析式为y ax b =+，()26A −，，()50D −，∴2650a b a b −+=⎧⎨−+=⎩，解得210a b =⎧⎨=⎩．∴直线AD 的解析式为210y x =+；∵点P 在AB 上，且横坐标为m ，()4P m m ∴−+，，PE x ∥轴，∴E 的纵坐标为4m −+，代入210y x =+得，4=210m x −++，解得62m x −−=，6,42m E m −−⎛⎫∴−+ ⎪⎝⎭， PE ∴的长63322m m y m −−=−=+；即332y m =+，()24m −<<；（3）解：在x 轴上存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形，①当90FPE ∠=︒时，如图①，有PF PE =，4PF m =−+，332PE m =+，3432m m ∴−+=+，解得25m =，此时2,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②当90PEF ∠=︒时，如图②，有EP EF =，EF 的长等于点E 的纵坐标，4EF m ∴=−+，3432m m ∴−+=+，解得：25m =， ∴点E 的横坐标为61625m x −−==−，∴16,05F ⎛⎫− ⎪⎝⎭；③当90PFE ∠=︒时，如图③，有FP FE =，FPE FEP ∴∠=∠．180FPE EFP FEP ∠+∠+∠=︒，45FPE FEP ∴∠=∠=︒．作FR PE ⊥，点R 为垂足，18045PFR FPE PRF ∴∠=︒−∠−∠=︒，=PFR RPF ∴∠∠，=FR PR ∴．同理=FR ER ，12FR PE ∴=．∵点R 与点E 的纵坐标相同，4FR m ∴=−+，∴134322m m ⎛⎫−+=+ ⎪⎝⎭，解得：107m =， 10184477PR FR m ∴==−+=−+=，∴点F 的横坐标为10188777−=−，8,07F ⎛⎫∴− ⎪⎝⎭． 综上，在x 轴上存在点F 使PEF !为等腰直角三角形，点F 的坐标为2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭或16,05⎛⎫− ⎪⎝⎭或8,07⎛⎫− ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式 模型2、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
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等腰三角形问题中的分类讨论思想教学设计
西安市远东第一中学罗天马
年级:七年级所属学科: 数学
学情分析 | 教学目标 | 教学过程 | 小结 | 反思
学情分析:
课本上已经在七下第五章《生活中的轴对称》第3小节第1课时完成了对等腰三角形性质的学习,但是学生对等腰三角形性质的应用和等腰三角形与高线、中线、垂直平分线等知识相结合的一些综合题型并没有明确的认识,无法熟练运用所学知识解决问题。
这节课将对不同等腰三角形与这些知识的结合加以补充，使学生对等腰三角形的分类讨论思想有明确和深刻的认识。
教学目标：
1．通过自学、讨论学习，解决等腰三角形的遇边、遇角的讨论问题。
2．深入学习分类讨论的思想，学会将等腰三角形分成锐角和钝角三角形进行分类、讨论。
3.经历、体验、探索等腰三角形性质的过程，渗透从一般到特殊、类比的数学思想，培养学生归纳和初步的分类讨论能力。
教学重点:
学会将等腰三角形分成锐角和钝角三深入学习分类讨论的思想，
角形进行分类、讨论。
教学难点:
学会将等腰三角形分成锐角和钝角三角形进行分类、讨论。
教学过程：
一、自主学习、合作交流
本环节是考查学生对等腰三角形性质的基本应用能力,通过对等腰三角形边和角的位置进行分类讨论,让学生明白等腰三角形需要讨论的原因是边和角位置的不确定性。
只有确定了边和角的位置，才能确定正确答案。
（一）遇边讨论
（1）已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，则它的周长为
（2）若一个等腰三角形两边的长为4cm、6cm，则该等腰三角形的周长为
注意：在讨论边的位置关系的同时还应提醒学生考虑三边关系，确认能否围成三角形，中等生和学困生容易忽略这个问题。
（二）遇角讨论
（3）已知等腰三角形的一个内角为75°，则该等腰三角形顶角的度数为。
（4）如果等腰三角形的两个内角的度数之比为1：4，那么这个三角形三个内角各是多少度？
让学生通过自主学习对等腰三角形为什么需本环节的设计意图：
然后通要讨论有一个初步认识，在自主学习的过程中形成自然讨论。
小组长订正小组成员的答案并负责对本小组学困生的答过小组讨论，合作交流的过程中，疑解惑完成自主学习。
教师在学生完成自主学习、本环节结束后进行提来到各小组了解学生的学习情况，并参与讨论。
问： 4道题的答案分别是多少？提问一：这提问二：答案为什么不是唯一的？是什么原因导致的？二、精讲精练（三）遇中线讨论：边上ACAB=AC，周长为27cm ，且在等腰三角形ABC中，已知各边的的两个三角形，求△ABCABC的中线BD把△分成周长差为3cm 长。
A
D
A
D
C
B
B
C
2
1
设计意图：这类题型学生有所接触，但都比较简单。
大部分学生知道周长之差是由AB-BC的差得到的。
本题在出示时先出示图1，暂不出示图2，所以学生在做题时可能没有考虑AB边和BC边的大小关系对本题的影响，即没有考虑锐角等腰三角形和钝角等腰三角形对本通过
对本题的讲解要让学生开始关注锐角的等腰三角题答案的影响。
．
形和钝角的等腰三角形对答案的影响。
提问三：在这道题中是什么原因导致本题的多解?
本题的解题方法要用到二元一次方程组的解题方法，适当引入带入消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程解题。
用带入法解二元一次方程组的方法在以前的教学中已经有所渗透，所以学生在解题上不存在理解问题。
（四）遇高讨论：
若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°,求这个三角形
各内角的度数。
A
D
A
D
B
C
C
B
2
1 图图通过对中线问题的讨论学生对分类讨论的主要原因应设计意图：有了初步认识，所以在本题中大部分同学会想到要将等腰三角形分成锐角的等腰三角形和钝角的等腰三角形来进行讨论。
但对夹角的位置可能认识不清，需进一步明确夹角在什么位置。
题中图2涉及到的∠BAC的求法可以用邻补角去求，也可以利用∠DAB是等腰三角形ABC的外角去求∠C从而求出各内角的度数。
使学生对等腰三角形的分类方法和分类的目的更加明确。
注：外角的性质在讲等腰三角形的性质时已补充。
三、推广探究．
（五）遇中垂线讨论
在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，求∠B的度数。
设计意图：此时学生已经明确等腰三角形除了对边和角的位置需要讨论外，还要重视对锐角和钝角的等腰三角形的讨论。
所以在本题的计算中学生会重视这个问题。
但对图形的画法和夹角的位置可能还存在不能确定的问题，需加以引导。
尤其是钝角的等腰三角形中垂线和一边夹角的画法要引导。
A
D
A
E
E
D
C
B
C
B
2 图图1
四、当堂检测，求，且腰长是底边长的12cm1．若等腰三角形一边长为
这个三角形的周长。
）2x-22．已知一个等腰三角形的两个内角分别为（°和求这个等腰三角形各内角的度数。
3x-5（）°,五、交流反思，回顾小结小结时可以让学生们畅所欲言，除了总结知识点之外，他们还只要他们表会总结自己的小错误，这个时候我也会适当提问学困生，达出本节有收获，我就鼓励支持，恭喜他！并给予美好的祝愿。
有能
力的同学可以给予更深刻更有高度的引导并严格要求他，包括一些小结论希望他们能够理解并记住。
在这样“以生为本”的民主氛围中培养学生归纳、概括能力和语言表达能力，同时引导学生反思过程，从而帮助学生在头脑中将知识系统化。
我希望在课堂上不同的学生从不同的角度有不同的收获，这样也能不断给他们信心。
我们班级的学生个体差异很大，虽然参差不齐，但我
最欣慰的是都没有放弃数学学习，我想只要都能坚持学习最后都会取得一个令自己满意的成绩。
六、布置作业：（针对学生的情况采取分层次作业。
）
必做题：全品练习册第94页第12题
选做题：全品练习册第94页第14题
七、课后反思：
本节课我采用启发式、探究式等多种教学方法，创设各种教学环境，引导学生质疑、探究，合作、交流；主要让学生动手操作发现问题、解决问题，这是新课程改革的要求，也是学生进行数学研究性学习与自主学习的重要手段与途径。
通过动手操作、自主学习与合作交流探讨，不但突破了重点难点，学生学习方式也有了新的改变，学生更加体会学习的乐趣，学生的自主性、实践性、创造性得到锻炼与提高，从而完成了教学目标和过程目标。
新课程强调对学生的评价要多元化，全面化，方法多样化。
不仅关注学习结果，更要关注过程，通过练习，发现问题，针对学生的情况及时给予帮助或鼓励，完成本节课的情感目标。
本节课，不同的学．
生要有不同的标准和希望：比如我们班级，学困生通过小组活动由组内学习好的同学给予帮助,使它们也能进行判断和计算。
对于逻辑推理书写规范问题，通过课后作业留一些基础题加以巩固，慢慢练习；对于中等生掌握知识点以外，能较快完成简单计算，能较有逻辑的写出推理过程，即使很罗嗦麻烦，也要鼓励完成，课后通过作业批改，
课堂讲解等机会再规范书写，提高思维能力；对于尖子生，要求就更高更严，本节课不但要掌握等腰三角形的性质，还要灵活运用，包括一些小规律小结论。
完成基础题和计算要看速度和准确程度，推理过程不但要有逻辑，而且要规范，精炼，课后通过作业详批详改，上课板演讲解难题可以锻炼他们的逻辑思维的严密性和规范性。
无论哪类学生，都要帮助学生认识自我，建立信心，从而提高他们的数学能力。