2020年中考试题分类汇编(含解析)直角三角形与勾股定理
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2020中考试题分类汇编 （含答案解析）
一、选择题
直角三角形与勾股定理
1. （2020•湘潭，第7题，3分）以下四个命题正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆 B． 菱形对角线相等 C． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．平行四边形的四条边相等
考 命题与定理 点： 分 利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每 析： 个选项判断后即可确定答案． 解 解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； 答： B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；
评：
3. （2020•泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个
三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（
）
A．1，2，3
B．1，1，
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C．1，1，
D．1，2，
考 解直角三角形 点： 专 新定义． 题： 分 A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定； 析： B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；
= ，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，
故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其
中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
点 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形 评： 的判定，“智慧三角形”的概念． 4. （2020•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N 在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
（第2题图）
考 切线的性质；勾股定理． 点： 分 先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算PA的长． 析： 解 解：∵PA切⊙O于A点， 答： ∴OA⊥PA，
在Rt△OPA中，OP=5，OA=3，
∴PA=
=4．
故答案为4．
点 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
A．3
B．4
（第4题图） C．5
D．6
考 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质 点： 分 过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求 析： 出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，
由OD﹣MD即可求出OM的长． 解 解：过P作PD⊥OB，交OB于点D， 答：
（第5题图）
A．
B．
C．
D． ﹣2
考 全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三角 点： 形；勾股定理 专 计算题． 题： 分 连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理 析： 求得CM的长，
连接MN，过M点作ME⊥ON于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NF=x，表示 出CF，根据勾股定理即可求得MF，然后求得tan∠MCN． 解 解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， 答： ∴AM=AN=2，BM=DN=4， 连接MN，连接AC，
C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定； D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出 判定． 解 解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误； 答： B、∵12+12=（ ）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是
C、正确； D、平行四边形的四条边不一定相等． 故选C． 点 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直 评： 角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般． 2. （2020•湘潭，14题，3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切
⊙O于A点，则PA= 4 ．
=
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴MN=AM=AN=2，
=2 ．
过M点作ME⊥ON于E，设NE=x，则CE=2 ﹣x， ∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2 ）2﹣（2 ﹣x）2，
解得：x= ，
∴EC=2 ﹣ =
，
∴ME=
=
，
∴tan∠MCN= = 故选A． 点 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全 评： 等三角形的判定与性质是解本题的关键． 6. （ 2020•安徽省,第8题4分）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折
在Rt△OPD中，cos60°= = ，OP=12， ∴OD=6， ∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND= MN=1， ∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5． 故选C．
点 此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的
评： 性质是解本题的关键． 5.（2020•扬州，第8题，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD， ∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（ ）
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60° 在Rt△ABC与Rt△ADC中，
， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（LH）
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC= AC， ∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2， 3BC2=AB2，
∴BC=2 ，
在Rt△BMC中，CM=
叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．
B．
C．
4 D． 5
考点： 翻折变换（折叠问题）． 分析： 设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt △ABC中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 解答： 解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x， ∵D是BC的中点， ∴BD=3， 在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2， 解得x=4． 故线段BN的长为4． 故选：C． 点评： 考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方 程思想，综合性较强，但是难度不大． 7. （ 2020•广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E， 且AC=2，AE= ，CE=1．则弧BD的长是（ ）
一、选择题
直角三角形与勾股定理
1. （2020•湘潭，第7题，3分）以下四个命题正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆 B． 菱形对角线相等 C． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．平行四边形的四条边相等
考 命题与定理 点： 分 利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每 析： 个选项判断后即可确定答案． 解 解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； 答： B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；
评：
3. （2020•泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个
三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（
）
A．1，2，3
B．1，1，
Βιβλιοθήκη Baidu
C．1，1，
D．1，2，
考 解直角三角形 点： 专 新定义． 题： 分 A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定； 析： B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；
= ，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，
故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其
中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
点 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形 评： 的判定，“智慧三角形”的概念． 4. （2020•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N 在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
（第2题图）
考 切线的性质；勾股定理． 点： 分 先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算PA的长． 析： 解 解：∵PA切⊙O于A点， 答： ∴OA⊥PA，
在Rt△OPA中，OP=5，OA=3，
∴PA=
=4．
故答案为4．
点 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
A．3
B．4
（第4题图） C．5
D．6
考 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质 点： 分 过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求 析： 出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，
由OD﹣MD即可求出OM的长． 解 解：过P作PD⊥OB，交OB于点D， 答：
（第5题图）
A．
B．
C．
D． ﹣2
考 全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三角 点： 形；勾股定理 专 计算题． 题： 分 连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理 析： 求得CM的长，
连接MN，过M点作ME⊥ON于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NF=x，表示 出CF，根据勾股定理即可求得MF，然后求得tan∠MCN． 解 解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， 答： ∴AM=AN=2，BM=DN=4， 连接MN，连接AC，
C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定； D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出 判定． 解 解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误； 答： B、∵12+12=（ ）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是
C、正确； D、平行四边形的四条边不一定相等． 故选C． 点 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直 评： 角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般． 2. （2020•湘潭，14题，3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切
⊙O于A点，则PA= 4 ．
=
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴MN=AM=AN=2，
=2 ．
过M点作ME⊥ON于E，设NE=x，则CE=2 ﹣x， ∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2 ）2﹣（2 ﹣x）2，
解得：x= ，
∴EC=2 ﹣ =
，
∴ME=
=
，
∴tan∠MCN= = 故选A． 点 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全 评： 等三角形的判定与性质是解本题的关键． 6. （ 2020•安徽省,第8题4分）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折
在Rt△OPD中，cos60°= = ，OP=12， ∴OD=6， ∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND= MN=1， ∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5． 故选C．
点 此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的
评： 性质是解本题的关键． 5.（2020•扬州，第8题，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD， ∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（ ）
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60° 在Rt△ABC与Rt△ADC中，
， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（LH）
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC= AC， ∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2， 3BC2=AB2，
∴BC=2 ，
在Rt△BMC中，CM=
叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．
B．
C．
4 D． 5
考点： 翻折变换（折叠问题）． 分析： 设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt △ABC中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 解答： 解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x， ∵D是BC的中点， ∴BD=3， 在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2， 解得x=4． 故线段BN的长为4． 故选：C． 点评： 考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方 程思想，综合性较强，但是难度不大． 7. （ 2020•广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E， 且AC=2，AE= ，CE=1．则弧BD的长是（ ）