《用向量法求异面直线所成的角》教案
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第一讲：立体几何中的向量方法
——利用空间向量求异面直线所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。
教学目标
1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法；
2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
求解异面直线所成的角的向量法.
教学难点
求解异面直线所成的角的向量法.
教学过程
Ⅰ、复习回顾
一、回顾有关知识：
1、两异直线所成的角：（范围：]2
,
0(π
θ∈）
（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a ´与b ´，那么直线a ´与b ´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角.
（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b ，
问题1： 当a 与b 的夹角不大于90°时，异面直线a 、b 所成
的角θ与a 和b 的夹角的关系？
问题 2：a
与b 的夹角大于90°时，，异面直线a 、b 所成的角
θ与a 和b 的夹角的关系？
两向量数量积的定义：><=⋅b a b a b a ,cos ||||
a
b
α
θ
O
两向量夹角公式：|
|||,cos b a b a b a >=
<
结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|
||||
||,cos |cos b a b a b a ⋅=><=θ
2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）
Ⅱ、典例分析与练习
思考：在正方体1111D C B A ABCD -中，若1E 与1F 分别为11B A 、
11D C 的四等分点，求异面直线1DF 与1BE 的夹角余弦值？
（1）方法总结：①几何法；②向量法
（2）><11,cos BE DF 与>
例1 如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角.
分析：建立空间直角坐标系，转化为向量与向量的夹角问题。
步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。
2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。
解：如图建立空间直角坐标系xyz A -， 则)2,,0(),0,2
1,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A --
∴ )2,21,23(1a a a AC -
=，)2,2
1,23(1a a a CB = 即21
323||||,cos 22
111111==>=