独立重复试验模型及二项分布

32
11
A.81
B.27
65
16
C.81
D.81
解析：选 B.因为随机变量 ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又 P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－
p
)
2
＝
5 9
，
解
得
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p＝13，所以
η～B(4，13)，则
P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－
1－134－C14×1－133×13＝2117.
＝(AB)∪(－A B)∪(A －B )．
所以 P(C)＝P(AB)＋P(－A B)＋P(A
－ B)
＝0.2P＋0.8P＋0.2(1－P)＝0.44，解得 P＝0.3.
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专题六 计数原理与古典概率
14
2．(2019·温州十五校联合体期末联考)王先生家住 A 小区，他工作在 B 科技园区，从家 开车到公司上班路上有 L1，L2 两条路线(如图)，L1 路线上有 A1，A2，A3 三个路口，各 路口遇到红灯的概率均为12；L2 路线上有 B1，B2 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次 为34，35.若走 L1 路线，王先生最多遇到 1 次红灯的概率为________；若走 L2 路线，王先 生遇到红灯次数 X 的数学期望为________．
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专题六 计数原理与古典概率
所以，随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
P
1 4
11 24
1 4
所以 E(X)＝0×14＋1×2114＋2×14＋3×214＝1132.
故填14和1132.
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6
3 1 24
专题六 计数原理与古典概率
7
(2)记 E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知 P(E)＝23，P(－E ) ＝13，P(F)＝35，P(－F )＝25，且事件 E 与 F，E 与－F ，－E 与 F，－E 与－F 都相互独立． ①记 H＝{至少有一种新产品研发成功}， 则－H ＝－E －F ， 于是 P(－H )＝P(－E )P(－F )＝13×25＝125， 故所求的概率为 P(H)＝1－P(－H )＝1－125＝1135.
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专题六 计数原理与古典概率
15
解析：走 L1 路线最多遇到 1 次红灯的概率为 C03×(12)3＋C13×12×(12)2＝12；
依题意 X 的可能取值为 0，1，2，则由题意 P(X＝0)＝(1－34)(1－35)＝110，
P(X＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)·35＝290，P(X＝2)＝34·35＝290，所以 E(X)＝0×110＋1×290＋
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专题六 计数原理与古典概率
5
【解】 (1)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3. 又 P(X＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14， P(X＝0)＝1－12×1－13×1－14＝14， P(X＝1)＝12×1－13 ×1－14 ＋1－12 ×13×1－14 ＋1－12 ×1－13 ×14＝2114， P(X＝3)＝12×13×14＝214.
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专题六 计数原理与古典概率
29
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专题六 计数原理与古典概率
25
2．某风沙盐碱地为了摆脱经济不发达的困扰，决定种植一片环保林，已知在一年中， 该环保林在当地每季度遭受自然灾害的概率为12，且每次受灾与否互不影响．若在 1 年 内，没有受灾，地方经济可增加 100 万元；受灾一次，仍可增加 40 万元；受灾 2 次， 经济可增加 10 万元；若受灾 3 次或 3 次以上，地方经济不但没有增加反而减少 10 万元．求 该地种植环保林后在 1 年内的经济增加值 X 的分布列和数学期望．
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专题六 计数原理与古典概率
13
[对点训练]
1．天气预报，在元旦假期甲地降雨的概率为 0.2，乙地降雨的概率为 P，若至少一个地
方降雨的概率为 0.44，则 P 的值为( )
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
解析：选 C.设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则至少一个地方降雨的事件 C
10
(1)正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积， 然后利用相关公式进行计算． (2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性． (3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发 生”的情况，可结合对立事件的概率求解． 与相互独立事件 A，B 有关的概率的计算公式如下表：
23
(2)二项分布的判断 ①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的． ③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数．
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专题六 计数原理与古典概率
24
[对点训练]
1．设随机变量 ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若 P(ξ≥1)＝59，则 P(η≥2)的值为( )
－2(舍去)或 a＝1，所以 E(X)＝12.
(2)①X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，X～B(6，23)，P(X＝k)＝
Ck6·(23)k·(13)6－k(k＝0，1，2，3，4，5，6)．
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专题六 计数原理与古典概率
21
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
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专题六 计数原理与古典概率
26
解：依题意：X 的可能取值为 100，40，10，－10. 且 P(X＝100)＝C04120×124＝116， P(X＝40)＝C14121×123＝14， P(X＝10)＝C24122×122＝38， P(X＝－10)＝C34123×121＋C44124×120＝156.
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专题六 计数原理与古典概率
3．两点分布与二项分布的均值、方差
X
X 服从两点分布
E(X)
p(p 为成功概率)
D(X)
p(1－p)
18
X～B(n, p) np
np(1－p)
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专题六 计数原理与古典概率
[典型例题]
(1)若离散型随机变量 X 的分布列为
X
0
P
a 2
第2部分 高考热点 专题突破
专题六 计数原理与古典概率 第3讲 独立重复试验模型及二项分布
数学
专题六 计数原理与古典概率
1
01
考点1
02
考点2
04
专题强化训练
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专题六 计数原理与古典概率
2
相互独立事件
[核心提炼] 相互独立事件 (1)对于事件 A、B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A、B 是相互独立事件． (2)若 A 与 B 相互独立，则 A 与－B ，－A 与 B，－A 与－B 也都相互独立． (3)若 P(AB)＝P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立．
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专题六 计数原理与古典概率
9
故所求 X 的分布列为
X
0
100
120
220
P
2 15
1 5
4 15
2 5
数学期望为 E(X)＝0×125＋100×135＋120×145＋220×165＝300＋48105＋1 320＝2 11500＝
140.
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专题六 计数原理与古典概率
3
4
5
6
P
1
4
20
160
80
64
64
729
243
243
729
243
243
729
因为 X～B(6，23)，所以 E(X)＝6×23＝4.
D(X)＝6×23×13＝43.
②设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A，
则 P(A)＝C24·(13)2·(23)4＋C14·13·(23)5＋(23)6＝3821，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3821.
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专题六 计数原理与古典概率
8
②设企业可获利润为 X 万元，则 X 的可能取值为 0，100，120，220.因为 P(X＝0)＝ P(－E －F )＝13×25＝125， P(X＝100)＝P(－E F)＝13×35＝135， P(X＝120)＝P(E－F )＝23×25＝145， P(X＝220)＝P(EF)＝23×35＝165，
则 X 的数学期望 E(X)＝( )
A．2
B．2 或12
C．12
D．1
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19
1 a2 2
专题六 计数原理与古典概率
20
(2)在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后 2
个球都投进者获奖；否则不获奖，已知教师甲投进每个球的概率都是23. ①记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望和方差； ②求教师甲在一场比赛中获奖的概率． 【解】 (1)选 C.因为分布列中概率和为 1，所以a2＋a22＝1，即 a2＋a－2＝0，解得 a＝
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专题六 计数原理与古典概率
所以 X 的分布列为
X
100
40
10
P
1 16
1 4
3 8
所以 E(X)＝100×116＋40×14＋10×38＋(－10)×156＝1385.
27
－10 5 16
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28
word部分：
请做：专题强化训练
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专题六 计数原理与古典概率
事件 A，B 相互独立 A，B 同时发生 A，B 同时 不发生
A，B 至少有一个不发生
11
概率计算公式 P(AB)＝P(A)P(B) P(－A －B )＝P(－A )P(－B ) ＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B) P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)
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专题六 计数原理与古典概率
22
(1)独立重复试验满足的条件 独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种 试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试 验中发生的概率都是一样的．
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专题六 计数原理与古典概率
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专题六 计数原理与古典概率
事件 A，B 相互独立 A，B 至少有一个发生
A，B 恰有一个发生
12
概率计算公式 P＝1－P(－A －B )＝1－P(－A )P(－B )
＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B) P＝P(A－B ＋－A B)
＝P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)
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专题六 计数原理与古典概率
4
(2)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组 研发新产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立． ①求至少有一种新产品研发成功的概率； ②若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企 业可获利润 100 万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
2×290＝2270.
答案：12
27 20
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专题六 计数原理与古典概率
两点分布、二项分布
[核心提炼]
1．两点分布
若随机变量 X 服从两点分布，则其分布列为
X
0
P
1－p
其中 p＝P(X＝1)称为成功概率．
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16
1 p
专题六 计数原理与古典概率
17
2．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在 这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发 生的概率都是一样的． (2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的 概率为 p，则 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量 X 服从二 项分布，记为 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率．
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专题六 计数原理与古典概率
3
[典型例题] (1)(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)小明喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根 据他的游玩经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通过的概率分别为12，13， 14(这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡， 但玩该游戏的得分会有影响)，则小明在开启一个新的游戏时，他能够通过两个关卡的 概率为________，设 X 表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量 X 的数学期 望为________．