(完整版)三角恒等变换-知识点+例题+练习(2),推荐文档

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2

两角和与差的正弦、余弦和正切

基础梳理

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)： cos(α

－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；

(2)C (α＋β)： cos(α＋β)＝

cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)： sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)： sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；

tan α＋tan β

(5) T (α＋β)：tan(α＋β)＝1－tan αtan

β； tan α－tan β

(6) T (α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2) C 2α：cos 2α＝cos 2

α－sin 2

α＝2cos 2

α－1＝1－2sin 2

α；

2tan α

(3) T 2α：tan 2α＝1－tan2α. 3．有关公式的逆用、变形等

(1) tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；

1＋cos 2α 1－cos 2α (2) cos 2

α＝ 2 ，sin 2α＝ 2 ；

(3) 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,

1－sin 2α＝(sin α－cos α)2

，

π

(α

±

)

sin α±cos α＝ sin 4 .

4．函数 f (α)＝a cos

α＋b sin

α(a ，b 为常数)，可以化为 f (α)

＝ a 2＋b 2sin(α＋φ)或 f (α)＝ a 2＋b 2cos(α－φ)，其中 φ 可由 a ，b 的值唯一确定．

两个技巧

(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝

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α＋β α－β α－β (

α＋

β

) (

α

＋β)

2 － 2

； 2 ＝

2 － 2 .

(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、“升幂与降幂”等．

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．

双基自测

1

1．(人教 A 版教材习题改编)下列各式的值为4的是(

)．

π A ．2cos 2

12－1

B ．1－2sin 275°

2tan 22.5°

C.1－tan222.5° D ．sin 15°cos 15°

sin 2α

2．(2011·福建)若 tan α＝3，则 cos2α 的值等于( )．

2

3．已知 sin α＝3，则 cos(π－2α)等于(

)．

π 1

4．(2011·辽宁)设 sin ( 4

＋

θ)

＝3，则 sin 2θ＝(

)．

5．tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20° tan 40°＝

.

考向一 三角函数式的化简

1

2cos4x －2cos2x ＋

π π

2 【例 1】►化简2tan ( 4 －x )sin2( 4 ＋x )

.

[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式．

β 1 α 2

三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．

sin α＋cos α－1

sin α－cos α＋1

【训练 1】 化简：

sin 2α

.

考向二 三角函数式的求值

π

【例 2】►已知 0＜β＜ 2 ＜α＜π，且

(α－ ) (

－β

)

cos

2 ＝－9，sin 2 ＝3，求 cos(α＋β)的值．

【训练 2】 已知 α，β

∈

( )

三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：

(1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．

(2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关

系．

π

4 1

(0，

2 )

，sin α＝5，tan(α－β)＝－3，求 cos

β 的值．

考向三 三角函数的求角问题

1 13 π

【例 3】►已知 cos α＝7，cos(α－β)＝14，且 0＜β＜α＜ 2 ，求 β.

通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：

①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；

0， π

若角的范围是 2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；

π π (－ 2 ，

2 )

若角的范围为 ，选正弦较好． π π

(

－ ，

)

【训练3】 已知 α，β∈ 2 2 ，且tan

α，tan β 是方程

x 2＋3 3x ＋4＝0 的两个根，求 α＋β 的值．