有限元分析温度场和热变形问题专题

x
(kx
T x
)
y
(ky
T y
)
Q
0
若物体内无热源，则方 程退化为二维无热源稳 态热传导方程
在内
T (x, y,t) T (1,t)
在1上
k
T n
(Ta
T)
在2上
9-3 平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
• 函数 y=f(x) 求y 的极值，即求微分，由dy=0 可得。
• 泛函J=J [y(x)] 函数y(x)为自变量，J为函数y的函数，称J为y
(qx qy qz )dxdydzdt x y z
•
代入上式得传入微元体净热量
qx
kx
T x
,
qy
ky
T y
,
qz
kz
T z
为：
[
x
(kx
T x
)
y
(ky
T y
)
z
(kz
T z
)]dxdydzdt
• 设微元体内有热源，其热源密度为Q(x,y,z,t)，则该热源在
dt内所共给的热量为：
Qdxdydzdt
第九章 温度场与热变形问题
9-1 温度场与热变形问题 9-2 温度场问题的基本方程 9-3 平面稳态温度场的有限元法
9-4 热变形的计算
• 2.1 直梁 • 2.1.1梁有限元模型 • 2.1.2节点位移与节点载荷 • 2.1.3单元刚度矩阵 • 2.1.4单元刚度矩阵的叠加 • 2.1.5边界条件 • 2.1.6工程实例
T (x, y, z,t) |1 T (1, t) 在1边界上
k
T n
(Ta
T)
• 1、三维瞬态热传导方程及边界条件
c
T t
x
(kx
T x
)
y
(ky
T y
)
z
(kz
T z
)
Q
0
在内
T (x, y, z,t) T (1,t)
在1上
k
T n
(Ta
T)
在2上
• 2、二维稳态热传导方程及边界条件
条曲线对应一个时间 Ti i 1, 2,...n ，即T
是y(x)函数，即泛函，求变分的极值则可
p
得最速下降曲线
B
y
v
有关泛函的具体构造可参考相关教材
• 2、平面稳态温度场的泛函
• 求满足平面温度场方程及边界条件的温度场T(x,y),设k 为常数
2T x2
2T y2
0
在内
k
T n
(Ta
T)
在1上
• 据热平衡得一般热传导微分方程：
cdxdydz
T t
dt
[ x
(kx
T x
)
y
(ky
T y
)
z
(kz
T z
)]dxdydzdt
Qdxdydzdt
微元体温度升 高所需的热量
三个方向传入微 元体的净热量
微元体内热源 产生的热量
——物体密度 c ——比热，单位质量物体温度升高
一度所需的热量 kx ,ky , kz —— 热传导系数
• 2.2 平面刚架 • 2.2.1有限元法基本思想节点位移与节点载荷 • 2.2.2单元刚度矩阵 • 2.2.3单元刚度矩阵的坐标变换 • 2.2.4总的刚度矩阵叠加 • 2.2.5位移法基本方程
• 2.3工程实例 • 2.2.1有限元法基本思想节点位移与节点载荷 • 2.2.2单元刚度矩阵 • 2.2.3单元刚度矩阵的坐标变换 • 2.2.4总的刚度矩阵叠加 • 2.2.5位移
qx
dz
•Q
物体内任一微元体所积蓄的 热量（即温度升高所需的热 z y
qy
qx
qx x
dx
dy
量）等于传入该微元体的热 量与微元体内热源所产生的
x
dx qz
热量之和。即
• 微元温度
• 升高
=
• 所需热量
传入微元
微元内
的
+ 产生
净热量
的热量
• 设微元在dt内，温度升高为：
T T T dt
• 相应所积蓄的热量为： • 同一时间内，微元体沿x方向
的泛函，求泛函的极值，即求变分， 由 J 0
可得。
• 例：平面上AB两点，连接AB的曲线很多，要求一条曲线使重 物靠自重由A沿此曲线滑到B所需的时间最短，即求最速下降 曲线。
• 显然，AB间直线路径最短，但重物运动的速度增长并不是最
大，即下滑的时间并非最短。
A
x
设AB间有n条曲线 yi (x) i 1, 2,...n ，每
• 图示求解域离散为若干三角形单元，
含有边界的单元，称为边界单元，
任取一个单元i,j,k,如图。
y
• A、温度插值函数
T (x, y) 1 2x 3 y
T (x, y) N Te NiTi N jTj NkTk o
Ni
1 2A (ai
bi x
ci y)
i,j,k轮换
• 在边界线(如ij)上的任一点的温度T， 可用两个端点的节点温度线性插值 表示：
• 据变分原理，此问题等价于求泛函J[T(x,y)]的极值函数，
参考相关教材，可得上述热传导作为欧拉方程的相应泛
函：
J[T(x, y)]
k 2
[(T )2 x
(T )2]dxdy y
(1T 2
2 1
TaT )ds
求解域内部温度 场相应的泛函
求解域边界部分温 度场相应的泛函
• 3、温度场单元分析
• 整理得：
c
T t
x
(kx
T x
)
y
(ky
T y
)
z
(kz
T z
)
Q
0
• 满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真 实的温度场，必须知道物体初始瞬态的温度分布， 即初始条件，称为第一类边界条件
T (x, y, z,t)t0 T (x, y, z)
• 同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换 的规律，即边界条件，称为第二类边界条件。
或环境设计，减少热变形对工作精度的影响。
• 本章介绍：
•
1、温度场问题的基本方程
•
2、平面稳态温度场的有限元法
•
3、热变形的计算
9-2 温度场问题的基本方程
• 一般三维问题，物体各点的 温度是坐标和时间变化的，
qz
qz z
dz
qy
qy y
dy
即 T T (x, y, z,t)
y
• 热平衡原理：任一dt时间内，
9-1 温度场与热变形问题
• 工程中的许多结构在高温条件下工作或由于工作过程中运 动副的摩擦发热，都会导致结构产生温度升高，产生热变形或 温度应力，因此，减少或控制热变形/温度应力是设计中不可 忽视的问题。
•
工程设计中，常期望准确地计算出结构各个部位的温升
或热变形量，分析结构的热平衡状况，从而达到改进结构设计
传出的热量之差，即净
t
cdxdydz T dt
t
热量为：
•
qxdydzdt
类似，y，z方向的净热量：
(qx
qx x
dx)dydzdt
qx x
dxdydzdt
• 即传入微元体的净热量为：
qy dxdydzdt, qz dxdydzdt
y
z
• 由热传导定律：热流密度与温 度梯度成正比，而方向相反， 即：