求二次函数解析式的常用方法

求二次函数解析式的常用方法

二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 一、二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。

3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。

二、求二次函数解析式的方法.

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。

三、探究问题，典例指津：

例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．

分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2

+bx+c (a ≠0)。

解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2

+bx+c (a ≠0)

依题意得：⎪⎩

⎪⎨⎧=++-=-=+-1

45c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪

⎨⎧-===432c b a

∴这个二次函数的解析式为y=2x 2

+3x －4。

例2、已知抛物线c bx ax y ++=2

的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点

)3,0(，求这条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2

的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题

目给出的c bx ax y ++=2

，重新设顶点式y=a(x －h)2

+k (a ≠0)，其中

点(h,k)为顶点。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。∴a(0－4)2－1=3 ∴a=4

1 ∴这个二次函数的解析式为y=

41(x －4)2－1，即y=4

1

x 2－2x+3。 例3 已知A （2，0），B （－1，0），C （1，－3）三个点在抛物线上，求

二次函数的解析式．

分析：由A 、B 两点的纵坐标为0知，这两点是抛物线与x 轴的交点． 解 设二次函数的解析式为),x x )(x x (a y 21--=

).1x )(2x (a y ,1x ,2x 21+-=-==得代入把

再把点C （1，-3）的坐标代入，得－3＝a （1－2）（1＋1），

.

23

a =解得 ).

1x )(2x (23

y +-=故所求解析式为

点评：上述3个例题均可采用二次函数的一般式求解．

练习1：

1、已知抛物线经过A （0，4），B （1，3）和C （2，6）三点，求二次函数的

解析式．

.4x 3x 2y 2

+-=故所求函数解析式为

2、已知抛物线经过三点A (2,-6),B (3,-8),C (6,10),求它的解析式。

y= 2x 2

－12x +10

3、已知抛物线过A （－2，0）、B （1，0）、C （0，2）三点。求这条抛物线的解析式。） y=－(x+2)(x －1)，即y=－x 2

－x+2。 4、 已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函

数的解析式．

.3)2x (2y 2

+--=式为故所求二次函数的解析 5、已知抛物线的顶点坐标为A( 2, 8 ),且经过点B( 5 ,—1 ),求抛物线的

解析式。 y=—x 2

+ 4x + 4

6、已知二次函数的图象与X 轴交于A(－3,0), B(1,0),且经过点C(2,5),求

抛物线的解析式. y=x 2

＋2x ＋2

7、已知抛物线的顶点坐标为)1,2(，与y 轴交于点)5,0(，求这条抛物线的

解析式。 y=(x －2)2+1，即y=x 2

－4x+5。

四、发散思维，提升能力

例4 已知二次函数的图象经过点A （3，—2）和B （1，0），且对称轴是直线x ＝3．求这个二次函数的解析式． 思路启迪一

已知对称轴是直线x ＝3，因对称轴经过顶点，所以这是与顶点有关的问题．

.h 3)-a(x y 12+=设二次函数的解析式为规范解法

把A （3，－2），b （1，0）两点的坐标代入，得

⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-.2h ,

21a .0h )31(a ,2h )33(a 22

解得.2)3x (21y 2

--=故所求解析式为

思路启迪二

由对称轴是直线x ＝3，且点A 的横坐标是3，知点A （3，—2）是抛物线的顶点，可设解析式为顶点式．

23)-a(x y 22-=设二次函数的解析式为规范解法 21

a ,02)31(a ,)0,1(B 2=

=--解得得的坐标代入把点

.

2)3x (21

y 2--=故所求解析式为

思路启迪三

由对称轴是直线x ＝3，可得关于a 、b 的一个方程.3a 2b

=-

又知图象经过

两定点，可设解析式为一般式。

思路启迪四

由点B （1，0）的纵坐标是0知，它是抛物线与x 轴的交点，若能求出抛物线与x 轴的另一个交点，即点B 关于对称轴x ＝3的对称点．则可设解析式为交点式． 思路启迪五

同解法4得到B′（5，0），就具备了图象过三个定点，可设其解析式为一般式．

点评：例4各解法中以解法2最佳．它体现在对点A （3，—2）是所求抛物线的顶点这一隐含条件挖掘得好．因此，我们在解题过程中既要学会一题多思，一题多解，拓开思路；更要注意寻求合理的解题途径，选好突破口． 注 本题还可直接把A 、B 、B′三点坐标代入所设一般式，求a 、b 、c 的值．

例5 已知二次函数的图象经过⎪

⎭⎫ ⎝⎛

-25,0A 和)6,1(--B 两点，且图象与

x 轴的两

个交点间的距离为4．求二次函数的解析式． 思路启迪

已知抛物线与x 轴的两个交点间的距离，不知道它的对称轴，情况就比上述问题要复杂得多．利用A 、B 两点的坐标可以确定两个方程，即

.

6c b a 25

c -=+--=和根据待定系数法的要求，必须设法找到第三个方程，

才能利用二次函数的一般式求得a 、b 、c 的值．

规范解法1 因为抛物线与x 轴交点的横坐标是一元二次方程

0c bx ax 2=++的两个根.x ,x 21方程的求根公式为

,

a 2ac

4b b x 22,1-±-=

.4|x x |21=-可列方程即

.4a 2ac

4b b a 2ac 4b b 22=-----+-.4a

ac

4b 2=-化简得

。

两边平方，得.1642

2

=-a ac

b .a 16a

c 4b 22=-∴ .

,0c b a 25

c 得方程组即可求解联立和把这个方程与程=+--=

规范解法

2 根据一元二次方程根与系数的关系，,

16x x ,a b

x x 2121=-=+

,16)x x (,,4|x x |22121=-=-得两边平方把.16x x 4)x x (21221=-+即

.

a 16ac 4

b ,a c

x x ,a b x x 222121=-=-=+得代入并整理把

点评：以上变形方法应熟练掌握，它们对解决“已知抛物线与x 轴的两个交点间的距离，求二次函数解析式”的问题大有益处． 练习2：

1、已知抛物线经过两点A(—1,—3) , B (1, 5) , 且对称轴是直线x =2,

求抛物线的解析式. y=—x 2

+ 4x +2

已知二次函数的图象与x 轴交于A （-2，0），B （3，0）两点，且函数有最大值为2，求二次函数的解析式。

二次函数y=ax 2

+4ax+c 的最大值为4，且图象经过点（-3，0），求二次函数的解析式。

2、已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距

离为4．求二次函数的解析式．

.

25x 3x 21y 2+-=