两条异面直线所成的角教学设计

两条异面直线所成的角教学设计

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．两异面直线所成角的定义及两异面直线互相垂直的概念；

2．两异面直线所成角的求法。

（二）能力训练点

利用转化的思想，化归的方法掌握两异面直线所成角的定义及取值范围，并体现了定义的合理性。

（三）德育渗透点

进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：两异面直线所成角的定义；两异面直线所成角的求法。

2．教学难点：两异面直线所成角的求法。

3．教学疑点：因为两条异面直线既不相交，但又有所成的角，这对于初学立体几何的学生来说是难以理解的。讲解时，首先使学生明了学习异面直线所成角的概念的必要性。

三、教与学的过程设计

（一）复习回顾引入课题

（从数学美学的角度，展示数学之美开题）由数学之美：分形几何的美丽（图片）指出数学之美无处不在，几何图形能给人带来美的享受，看似枯燥的数学蕴涵无限诗意，进入复习回顾（由描写异面直线的现代诗进行复习）：我们是两条异面直线/我与你不平行/因为我们没有并行着走向无尽的远方/我与你也不相交/因为我们没有那让人心动的交点/当然，我们更没有重合/虽然我时时都把它企盼/我与你根本就不在一个平面/我们只是空间的两条异面直线/但我们现在那么近/也许，把现在的你我相连/能得到一条垂直于你我的线段/。

（出示教具）结合诗文，指出：两条异面直线有一个相对角，相对两相交直线，两条异面直线有一个相对距离。

由数学的实用价值（解决高架桥的准确定位问题），引出新课。

师：那么要准确定位两条异面直线之间相互位置的不同状况，就需要通过角和距离来描述。例如要表示高架桥上下层汽车行驶方向间的关系，就要用到两条异面直线所成角的概念。

（二）异面直线所成的角的定义

师：怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？(教师拿出两根小棍做异面直线状，通过变换角度演示给学生看，使其观察如何给异面直线所成的角下定义)。

生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示．如图1－47，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′、b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。

师：在定义中，由“a′、b′所成的锐角（或直角）”

指出：⑴两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]；

⑵若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异

面直线互相垂直；

⑶“垂直”=“相交垂直”+“异面垂直”。

师：针对定义中的“在空间中任取一点O”，提出如下思考：

问题：这样定义两条异而直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？

答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的．若在空间中，再取一点O′，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等。即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．

指出：异面直线所成角的大小与点o的位置无关，点o常取在两条异面直线中的一条上。

师：由定义中的“过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′、b′所成的锐角（或直角）”，可知异面直线所成的角是通过相交直线所成的角定义的，把空间角转化为平面角充分体现了转化与化归的数学思想，空间问题平面化是解决立体几何问题的本质思路。同时，由定义可知一组平行线和同一条线所成的角相等，提出如下思考：

学生活动—思考讨论：一直线与正方体的12条棱所成的角都相等，则所成角的余弦是多少？

（三）两条异面直线所成的角的求法

学生活动—思考讨论：如何求异面直线所成的角呢？

结论：求角的基本步骤：

①选点平移（点通常取在其中一条线上）；②定角（注意说法的准确性）；③算角（解三角形）；④验角（注意角的范围）；即一作二证三计算四检验。

（四）举例与练习

例1、AC、BD为空间四边形ABCD的两条对角线，且AB=BC=CD=DA=AC=BD，E、F分别是边BC、AD的中点，在图形中适当选取一点作异面直线DE、CF所成的角，并指出DE、CF所成的角。

（本例为便于学生参于特意在课件中设置了几种常见答案形式的“热键”，可根据学生回答进行演示）这里给出了五种找法，详见课件。

指出：平移法找异面直线所成角的规律：

①寻找一个平面（过其中一条线与另一条线相交）；或寻找两个平面（分别过两直线的相交平面，再在交线上选点，常取中点）；

②常见形式有中位线平移、补形（体）平移。

练习：1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是BB1、CC1的中点，试作出异面直线AE、BF所成的角。

（本练习为便于学生参于，同样特意在课件中设置了几种常见答案形式的“热键”，可根据学生回答进行演示）这里给出了三种找法，详见课件。

例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。

（旨在通过此例给学生一个完整的解答过程，加强过程意识，同时给出了“补体法”求角的过程）解答过程见课件。

练习2、在正方体AC1中，求异面直线A1B和B1C所成的角？

答案：所成的角为60°

思考：和A1B成角为60°的面对角线共有几条？

练习3、在正方体AC1中，求异面直线D1B和B1C所成的角？

答案：所成的角为90°，即二者垂直。

思考：和D1B垂直的面对角线共有几条？

（五）小结：

1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想。

2、求角的基本步骤：

①选点平移；②定角（注意说法的准确性）；③算角（解三角形）；④验角（注意所成角的范围）。

常用方法有：中位线平移、补形（体）平移。

本节课我们学习了两条异面直线所成的角，并学会如何求两条异面直线所成角，懂得将其转化为平面几何问题来解决．

（六）作业

课本：

第14页第4题、第15页第7题

课外思考：

已知异面直线a、b所成的角为60°，则过空间一点o与a、b所成的角均为60°的直线有几条？

（七）板书设计