变力做功问题具体求解
求解变力做功的四种方法
联立解得 d′＝( 2－1)d. [归纳提升] 当力为变力，应用平均值法求功时，
F
＝F1＋ F2
2
只能用于 F 与位移 l 成线性关系的情况，不能用于 F 与时间 t
成线性关系的情况 ．
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栏目 导引
图象法求变力做功
第七章 机械能守恒定律*
• 变力做旳功W可用F－l图线与l轴所围成旳面积 表达．l轴上方旳面积表达力对物体做正功旳多 少，l轴下方旳面积表达力对物体做负功旳多少 ．
第七章 机械能守恒定律*
• 1．做功旳两个必要原因 • (1)作用在物体上旳力． • (2)物体在力方向上旳位移． • 2．功旳体现式：W＝Flcos α，α为力F与位移l旳
夹角． • (1)α<90°时，W>0. • (2)α>90°时，W<0. • (3)α＝90°时，W＝0.
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栏目 导引
第七章 机械能守恒定律*
• [答案] 50 J
• [易错提醒] F做功旳位移等于左边绳旳变短旳部分，而 不等于物体旳位移．
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[解析] (1)将圆弧 AB 分成很多小段 l1、l2、…、ln，拉力在每 小段上做的功为 W1、W2、…、Wn，因拉力 F 大小不变，方向 始终与物体所在位置的切线方向成 37°角，所以： W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°， 所以 WF＝ W1＋ W2＋…＋Wn ＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln) ＝Fcos 37°·π3R＝20π J＝62.8 J. (2)重力 mg 做的功 WG＝－m gR(1－cos 60°)＝－50 J. (3)物体受的支持力 FN 始终与物体的运动方向垂直，所以 WFN ＝ 0.
如何求变力做功
F 图1如何求变力做功在高中阶段求变力做功的问题是很常见的。
既可以运用公式W=FScos α来求解，又可以运用动能定理、功能原理等来求解。
对于具体问题要具体分析。
为此笔者在教学中总结了以下几种方法。
一、运用公式W=FScos α求解在不知物体初、末位置的速度时，就无法运用动能定理或功能原理求解，只有将变力转化为恒力，依据功的定义式W=FScos α求解。
例1 如图1所示，某个力F 作用于半径为R 的圆盘， 力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的圆盘的切线 一致，则转动圆盘一周该力做多少功。
分析与解 在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向（切线方向），既F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆s 同向。
这样，无数瞬时的极小位移∆s 1，∆s 2，∆s 3…∆s n 都与当时的F 方向同向。
因而在转动一周过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和。
即W=F ∆s 1+F ∆s 2+…F ∆s n= F(∆s 1+∆s 2+∆s 3+…∆s n )=F 2πR当变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W=FScos α计算功，而且变力所做功等于变力在各小段所做功之和。
再者，若问题中的变力与位移成线形关系，即F=ks+b ，其F-s 图象如图2所示。
则图中阴影部分的面积大小在数值上等于变力所做功的大小，即W=)(21221s s F F -+。
也就是说，变力F 由F 1线形地变化到F 2的过程中所做的功等于该过程的平均力221F F F +=-所做的功。
二、用动能定理求解动能定理告诉我们，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，即W 外 =∆E K ，W 外系指物体受到的所有外力对物体所做功的代数和，∆E K 是物体动能的变化量。
例2 如图3所示，质量为m 的物块在半径为R 的半球形容器中从上部边缘A 由静止起下滑，滑到最底点B时对容器底部的压力为2mg 。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。
下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。
方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。
例题1：如图所示。
质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。
解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。
此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。
理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。
例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。
所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。
在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。
由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。
方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。
例题3：如图所示。
轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。
变力做功的求解方法
变力做功的求解方法功是一个基本物理量，功是能量转化的量度．因此，功的计算在中学物理中占有十分重要的地位．中学阶段所学的功的计算公式W=FS COS α只适用于计算恒力做功情况，但如果是变力做功，一般不能用该公式去计算．那么，在高中知识的范围内如何处理有关变力做功的问题呢？本文介绍几种常见的求解方法．一、 用动能定理求解动能定理告诉我们，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，其表达式是W 外＝ΔE ｋ，W 外是指物体受到的所有外力对物体所做功的代数和，ΔE ｋ是物体动能的变化量．如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功．例1．如图1所示，一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂在O 点，小球在水平拉力F 的作用下，从平衡位置A 点缓慢地移到B 点，求力F 所做的功？分析：小球从A 点拉到B 点时，受重力、绳子的拉力和水平拉力F ，由受力分析知F=mg tan θ，随着θ的增大，Ｆ也增大，故F 是变力，因此不能直接用W=FS COS θ计算．解：从A 缓慢拉到B ，由动能定理得：ＷＦ－ＷＧ＝ΔＥＫ，因为小球缓慢移动，速度可视为零，即动能的变化量ΔＥＫ为零,则有：ＷＦ＝ＷＧ＝mgL(1-COS θ) ．二、用机械能守恒定律求解如果物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，所研究的系统的机械能守恒．如果重力和弹力中有一个力是变力，这个变力所做的功就可用机械能守恒定律求解.例2．一条均匀铁链的长度为ａ，置于足够高的光滑桌面上，如图2所示．铁链的下垂部分长度为ｂ，并由静止开始从桌上滑下，当铁链的最后一节离开桌面时，求铁链的速度及在这一过程中重力所做的功为多少?分析：铁链在下落过程中，下垂部分不断增长，因此，这部分所受的重力是变力，整个铁链的运动也是在该变力作用下的运动，是变力做功问题．解：取桌面为零势能面，设整个铁链质量为ｍ，下垂部分质量为ｍ０．则有：ab m m =0，m a b m =0， 链条开始下滑时:动能E ｋ1＝0，势能E ｐ1＝－2b ｍ０ｇ＝－a b 22ｍｇ,机械能E 1＝E ｋ1＋E ｐ1＝－ab 22ｍｇ， 设链条全部离开桌面时的瞬时速度为ｖ，此时：动能E ｋ2＝21ｍｖ2，势能E ｐ2＝－2a ｍｇ，机械能E 2＝21ｍｖ2－2a ｍｇ， 根据机械能守恒定律有E 1＝E 2，即：－ab 22ｍｇ=21ｍｖ2－2a ｍｇ， 解得：ｖ＝ab a g )(22-.因此，在这一过程中重力所做的功为：W Ｇ＝ΔE ｋ＝21ｍｖ2－0＝)(222b a amg -. 三、用功能原理求解如果系统除重力和弹力之外的力对物体做功，系统的机械能就会发生变化，而且这些力做了多少功，系统就有多少机械能发生变化，这就是功能原理．如果这些力是变力或只有一个变力做功，而其它力对物体做的功和系统机械能的变化量容易求得，就可以用功能原理求解变力做功问题．例3．质量为m 的均匀链条长为L ，自然堆放在光滑的水平面上，现用力F 将其一端竖直向上缓慢地提起，求该链条另一端刚好离开水平面时拉力F 所做的功？分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大,作用在链条上的拉力是变力，因此不能直接用W=FS COS α计算．根据功能原理，上提过程中拉力F 所做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求解．解：当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了L ，故机械能增加量为：ΔE=mgL ，根据功能原理知力F 所做的功为：W=mgL .四、用公式W=Pt 求解将功率的定义式P=t W 变形，得W=Pt ．在求解交通工具牵引力做功问题时经常用到此公式． 例4．质量为5×105kg 的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0.06倍，机车经过5min速度达到最大值108km ／h ，求机车的功率和机车在这段时间内所做的功？分析：因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等．在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用W=FS COS α求解，但可用公式W=Pt 来计算．解：根据题意，机车所受阻力f ＝kmg ，当机车速度达到最大值v ｍａｘ时，机车牵引力Ｆ＝f ＝kmg ，故机车的功率为：Ｐ＝ＦＶｍａｘ＝kmgv ｍａｘ＝0.06×5×105×10×3600101083⨯Ｗ＝9×106Ｗ， 根据Ｗ＝Ｐｔ，得机车所做的功为：Ｗ＝9×106×300J ＝2.7×109Ｊ.五、用图象法求解如果力F 随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F —x 图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法变力做功是指当力的大小和方向随着对象运动的位置而变化时，力对物体所做的功。
下面将介绍六种常见的计算变力做功的方法。
1.通过力的曲线面积计算功：当力的大小和方向随着位置的变化而变化时，可以通过绘制力与位置的曲线图，然后计算曲线下的面积来求得所做的功。
2.利用求和法计算功：将运动过程划分成若干个小的位移段，对每个位移段内力的大小和方向保持不变，然后通过求和法计算每个位移段上力所做的功，最后将所有位移段上力所做的功相加得到总功。
3.应用积分法计算功：对力和位移变化连续的问题，可以利用微积分中的积分法来计算变力做功。
通过计算力在位移方向上的积分，即对力关于位移的函数进行积分，来得到变力做功的结果。
4.利用功率和时间计算功：如果已知物体在一段时间内所受到的平均力和物体的平均速度，可以利用功率和时间的关系来计算功。
功率定义为单位时间内做功的大小，根据功率公式P=W/t，其中W是做功的大小，t是时间，可以通过已知的其它量来计算功。
5.利用速度和质量计算功：在一些特定的情况下，可以利用物体的速度和质量来计算变力做功。
根据力学中的动能定理，物体的动能变化等于外力所做的功，其中动能定义为 K=1/2 mv^2，其中 m 是质量， v 是速度。
6.利用万有引力计算功：当物体受到的力是万有引力时，可以利用万有引力公式来计算变力做功。
万有引力公式为F=GmM/r^2，其中F是力，m和M是物体的质量，G 是万有引力常数，r是两物体之间的距离。
通过将力乘以物体的位移并将结果进行积分，可以得到变力做功的计算结果。
这些是常见的计算变力做功的方法，根据具体问题的条件和要求，选择适合的方法来计算变力做功。
一轮复习名师导学物理专题突破(五)变力做功求解问题
专题突破(五) 变力做功求解问题对应学生用书p 92功的定义式W ＝Fs cos α仅适用于恒力F 做功的计算，变力做功可以通过化“变”为“恒”或等效代换的思想求解，主要方法有：1．微元法：就是将变力做功的空间(位移)无限划分为相等的小段，在每个小段里变力便可看做恒力，每个小段里的功可由公式W ＝Fs cos α计算，整个过程中变力的功就是各小段里“恒力”功的总和，即W 总＝∑F Δs cos α.2．图象法：画出变力F 与位移s 的图象，则F －s 图线与s 轴所围的“面积”表示该过程中变力F 做的功．3．力的平均值法：在力的方向不变，大小与位移呈线性关系的直线运动中，可先求该变力对位移的平均值F －＝F 1＋F 22，再由W ＝F －s 计算． 4．动能定理法：当物体运动过程中始末两个状态的速度已知时，用动能定理∑W ＝ΔE k 或功能关系求变力做的功是非常方便的(当然也可求恒力做的功)．5．转换研究对象法：运动问题中，在一些特定条件下，可以找到与变力做的功相等的恒力做的功，这样，就可将求变力做的功转化为计算恒力做的功．6．特定情形：①用W ＝Pt 可求机车恒功率运行时发动机做的功；②电场力做的功可用W AB ＝qU AB 求解．一、微元法1 在一半径R ＝6 m 的圆弧形桥面的底端A ，某人把一质量m ＝8 kg 的物块(可看成质点)．用大小始终为F ＝75 N 的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB 在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g 取10 m /s 2，sin 37°＝，cos 37°＝0.8.求这一过程中：(1)拉力F 做的功；(2)桥面对物块的摩擦力做的功．[解析] (1)将圆弧AB ︵分成很多小段l 1、l 2…l n ，拉力在每一小段上做的功为W 1、W 2…W n .因拉力F 大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W 1＝Fl 1cos 37°、W 2＝Fl 2cos 37°…W n ＝Fl n cos 37°所以W F ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F cos 37°(l 1＋l 2＋…＋l n )＝F cos 37°·16×2πR ≈ J . (2)重力G 做的功W G ＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J ，因物块在拉力F 作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知W F ＋W G ＋W f ＝0所以W f ＝－W F －W G ＝－ J ＋240 J ＝－ J .二、图象法2 一物体所受的力F 随位移x 变化的图象如图所示，在这一过程中，力F 对物体做的功为( )A ．3 JB ．6 JC ．7 JD ．8 J[解析] 力F 对物体做的功等于x 轴上方梯形“面积”所表示的正功与x 轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和．W 1＝12×(3＋4)×2 J ＝7 J W 2＝－12×(5－4)×2 J ＝－1 J 所以力F 对物体做的功为W ＝7 J －1 J ＝6 J .故选项B 正确．[答案] B三、力的平均值法3 (多选)如图甲所示，长为l 、倾角为α的斜面固定在水平地面上，一质量为m 的小物块从斜面顶端由静止释放并沿斜面向下滑动，已知小物块与斜面间的动摩擦因数μ与下滑距离x 的变化图象如图乙所示，则( )A ．μ0>tan αB ．小物块下滑的加速度逐渐增大C ．小物块下滑到斜面底端的过程中克服摩擦力做的功为12μ0mgl cos α D ．小物块下滑到低端时的速度为2gl sin α－2μ0gl cos α[解析] 因物块能够下滑，则mg sin α>μ0mg cos α，即μ0<tan α，A 错；μ逐渐减小，则加速度逐渐增大，B 对；因μ随位置均匀变化，则f －＝0＋μ0mg cos α2＝μ0mg cos α2，则克服摩擦力做功为W ＝μ0mgl cos α2，C 对；根据动能定理有mgl sin α－W ＝12mv 2，则v ＝2gl sin α－μ0gl cos α，D 错．[答案] BC四、动能定理法4 一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的压力为2mg ，重力加速度大小为g.质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )A .14mgRB .13mgRC .12mgRD .π4mgR [解析] 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有F N －mg ＝m v 2R，F N ＝2mg ，联立解得v ＝gR ，下滑过程中，根据动能定理可得mgR －W f ＝12mv 2，解得W f ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功12mgR ，C 正确． [答案] C五、转换研究对象法5 人拉着绳通过一定滑轮吊起质量m ＝50 kg 的物体，如图所示，开始绳与水平方向夹角为60°，当人匀速提起重物由A 点沿水平方向运动s ＝2 m 而到达B 点，此时绳与水平方向成30°角，已知重力加速度g ＝10 m /s 2，求人对绳的拉力做了多少功？[解析] 设滑轮距A 、B 点的高度为h ，则：h ()cot 30°－cot 60°＝s人由A 走到B 的过程中，重物上升的高度Δh 等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：Δh ＝h sin 30°－h sin 60°，人对绳子做的功为：W ＝mg·Δh ＝mgs ()3－1＝1 000()3－1 J ≈732 J . 1．(多选)如图甲所示，水平面上有质量相等的两个木块A 、B 用一根轻弹簧相连接，整个系统处于平衡状态．现用一个竖直向上的力F 拉动木块A ，使木块A 向上做匀加速直线运动，弹簧始终处于弹性限度内，如图乙所示．研究从力F 刚作用在木块A 上时(x ＝0)到木块B 刚离开地面时(x ＝x 0)这个过程，并且选定这个过程中木块A 的起始位置为坐标原点，得到表示力F 和木块A 的位移x 之间关系的图象如图丙，则下列说法正确的是( )A ．x ＝x 02时，弹簧刚好恢复原长 B ．该过程中拉力做功W F ＝F 1＋F 22x 0 C ．0～x 02过程，拉力做的功大于木块A 机械能的增加量 D ．0～x 0过程，木块A 动能的增加量等于拉力和重力做功的总和[解析] A 压着弹簧处于静止状态，mg ＝kx 1；当力F 作用在A 上，使其向上匀加速直线运动，由牛顿第二定律可知F ＋k(x 1－x)－mg ＝ma ，随着x 逐渐增大，导致弹簧的弹力逐渐减小，则力F 逐渐增大，但物体A 的合力却不变，当B 刚离开地面时，弹簧处于伸长状态有mg ＝kx 2，则x 0＝x 1＋x 2＝2x 1，则当x ＝x 02＝x 1时，弹簧刚好恢复到原长，故A 正确；根据图象可知拉力F 随着位移均匀增大，则W F ＝F －·x ＝F 1＋F 22·x 0，故B 正确；在A 上升过程中，弹簧从压缩恢复到原长过程，因弹簧弹力对A 做正功，则拉力做功小于A 物体机械能的增加，故C 错误；0～x 0过程因弹簧的初末形变量相同，则弹性势能的变化为零；由动能定理可知W F －W G ＝ΔE k ，即木块A 动能的增加量等于拉力和重力做功的总和，故D 正确．[答案] ABD2．在水平面上，有一弯曲的槽道，槽道由半径分别为R 2和R 的两个半圆构成．现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )A ．0B ．FRC ．2πFRD .32πFR [解析] 因为F 的方向不断改变，不能用W ＝Fl cos α求解，但由于拉力F 的方向时刻与小球运动方向一致，可采用微元法，把小球的位移分割成许多的小段，在每一小段位移上作用在小球上的力F 可视为恒力，F 做的总功即为F 在各个小段上做功的代数和，W ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫πR 2＋πR ＝32πFR ，所以本题答案为D . [答案] D3．如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升．若从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1和W 2，滑块经B 、C 两点的动能分别为E k B 和E k C ，图中AB ＝BC ，则( )A ．W 1＞W 2B ．W 1＜W 2C ．W 1＝W 2D ．无法确定W 1和W 2的大小关系[解析] 绳子对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力的功转化为恒力的功；因绳子对滑块做的功等于拉力F 对绳子做的功，而拉力F 为恒力，W ＝F·Δl ，Δl 为绳拉滑块过程中力F 的作用点移动的位移，大小等于滑轮左侧绳长的缩短量，由图可知，Δl AB ＞Δl BC ，故W 1＞W 2，A 正确．[答案] A4．放在地面上的木块与一轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态．现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x 1＝ m 时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x 2＝ m 的位移，其F －x 图象如图所示，求上述过程中拉力所做的功．[解析] 由F －x 图象可知，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功，即W ＝12×(＋)×40 J ＝20 J .5．一个质量为m 的小球拴在细绳的一端，另一端用大小为F 1的拉力作用，在水平面上做半径为R 1的匀速圆周运动，如图所示．今将力的大小改为F 2，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径为R 2.小球运动的半径由R 1变成R 2的过程中拉力对小球做的功多大？[解析] 本题由于绳的拉力是物体在两个轨道圆周运动的向心力，是变力．在轨道变化过程中该力做功属于变力做功，但不能直接求其功，而是先由向心力公式求出初、末状态动能，再由动能定理求出该力的功．设半径为R 1、R 2时小球做圆周运动的速度分别为v 1、v 2，由向心力公式得：F 1＝m v 21R 1，F 2＝m v 22R 2根据动能定理：W ＝12mv 22－12mv 21 解得：W ＝12(F 2R 2－F 1R 1)。
变力做功的求解方法
变力做功的求解方法变力做功是物理学中一个重要的概念，它描述了当一个力作用于一个物体时，这个力对物体所做的功是如何随时间变化的。
在实际应用中，我们经常需要求解变力做功，例如研究机械的运动特性、计算机械工作所需的能量等。
求解变力做功的方法有多种，下面将介绍三种常用的方法：通过力的分解法、积分法和图像法。
第一种方法是力的分解法。
当一个力是一个常量力的合力时，我们可以将这个力分解成多个方向上的分力，然后对每个方向的分力进行求解，最后将各个方向上的分力的功相加即可得到合力所做的功。
在实际应用中，当一个力是不常量力时，我们可以将这个力进行一定的分段处理，将不同的部分的力分别进行分解，然后分别求解，最后将各个部分的功相加即可得到总的功。
第二种方法是积分法。
当一个力是一个函数关系时，我们可以通过对这个函数进行积分得到力的功函数，然后计算积分上下限之间的功值。
具体而言，假设一个力F随时间t的变化，那么力在时间t1和t2之间做的功可以表示为：W = ∫(F(t))dt其中，W表示力所做的功，∫表示积分符号，F(t)表示力随时间的变化。
在实际计算中，我们可以根据给定的力函数F(t)进行积分运算，然后计算上下限之间的功值。
第三种方法是图像法。
当一个力是已知的、离散的数据时，我们可以通过绘制力与时间之间的图像来求解力所做的功。
具体而言，我们可以将给定的力数据以时间为横坐标、力值为纵坐标绘制成折线图，然后计算每个时间段内力与时间之间的面积，最后将各个时间段内的面积相加即可得到力所做的功。
综上所述，求解变力做功的方法有很多种，其中常用的方法有力的分解法、积分法和图像法。
不同的方法适用于不同的情况，具体选择哪种方法进行求解，需要根据具体的问题来决定。
无论使用哪种方法，都需要对力与时间的关系进行分析，然后进行适当的求解，最终得到力所做的功的结果。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法第一种方法是曲线切线式。
在物体沿曲线运动的情况下，可以通过计算力的切线分量与物体速度的乘积来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定物体在其中一时刻的速度，然后取该时刻的力的切线分量（即与物体速度方向相同的力的分量），最后将该切线分量与物体速度的乘积相乘，即可得到变力做功的大小。
第二种方法是常力法。
在物体受到一定的恒定力作用下，可以通过计算力与物体位移方向的夹角的余弦值再乘上力的大小来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力的大小，然后确定物体的位移方向与力的方向之间的夹角，最后将位移方向与力的方向之间夹角的余弦值乘以力的大小，即可得到变力做功的大小。
第三种方法是分力法。
当物体受到多个力的作用时，可以通过计算各个力的分力与物体位移方向之间的夹角的余弦值再分别乘上各个分力的大小来确定变力做功的大小，然后将各个分力的做功求和即可得到变力做功的总大小。
第四种方法是连续变力法。
在物体受到连续变化的力作用下，可以通过将力的大小关于物体位移的函数表示出来，然后对该函数进行积分来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力对物体位移的函数关系式，然后对该函数进行积分，最后得到的积分值即为变力做功的大小。
第五种方法是有功做功法。
在物体受到非保守力作用下，可以通过计算力的非保守分量与物体位移的乘积再加上势能变化的大小来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力的保守分量与非保守分量，然后将非保守分量与位移的乘积相加，再加上势能变化的大小，即可得到变力做功的大小。
第六种方法是负功做功法。
在物体受到反向力作用下，可以通过计算该反向力的绝对值与物体位移的乘积再乘上负一来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定反向力的大小，然后将反向力的绝对值与位移的乘积相乘，并将结果乘以负一，即可得到变力做功的大小。
综上所述，变力做功的六种常见计算方法分别是曲线切线式、常力法、分力法、连续变力法、有功做功法和负功做功法。
(完整)求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法.一. 动能定理法例1. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为：（ ）A ：θcos mgLB ：)cos 1(θ-mgL C.：θsi n FL D:θcos FL分析：在这一过程中,小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用，只有重力和拉力做功,由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.，小球的动能的增量为零。
那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。
解：由动能定理可知：0=-G F W W )cos 1(θ-==mgL W W G F故B 答案正确。
小结:如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。
二。
微元求和法例2. 如图2所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。
解：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时,可化曲为直，把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
(完整版)五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下：一、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。
而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。
例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。
求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。
T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。
但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。
而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。
由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为：二、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：A0焦耳B20π焦耳C 10焦耳D20焦耳分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故B正确。
三、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。
变力做功的八种解题方法
变力做功的八种解题方法变力做功是物理学中的一个重要概念，它涉及到动力学、机械能等多个方面。
在解题的过程中，我们需要掌握一些基本方法和技巧，才能较好地理解和运用这个概念。
本文将分享八种解决变力做功题目的方法，希望能对读者有所帮助。
1. 确定物体受力情况在解决变力做功的题目时，首先需要明确物体所受的所有力，包括内力和外力。
内力指物体内部各部分之间的相互作用力，外力则来自外部物体对其施加的力。
只有明确物体所受的力，才能准确地计算力的大小和方向，从而得到正确的结果。
2. 确定物体所受的力的性质与确定物体所受的力相对应的是，需要明确物体所受的力的性质，包括弹性、摩擦、重力等。
其中，弹性力可以通过胡克定律进行计算；摩擦力可以通过静摩擦和动摩擦进行分析；重力则是必须考虑的一个因素。
明确物体所受的力的性质有助于我们理解变力做功的本质。
3. 计算变力对物体的功对于变力做功的问题，我们需要计算变力对物体所做的功。
这个计算过程需要确定力的大小和运动路径，通常会用到积分法进行计算。
计算这一步骤是变力做功问题的核心，也是最复杂的部分。
4. 利用能量守恒原理在某些情况下，使用能量守恒原理可以更简洁地解决变力做功的问题。
能量守恒原理的基本思想是系统能量的总和在过程中保持不变。
因此，我们只需要计算物体在开始和结束时的能量，通过守恒原理求出变化的能量，即可得到变力所做的功。
5. 利用动量守恒原理和能量守恒原理类似，动量守恒原理也可以用来解决变力做功问题。
动量守恒原理的基本思想是，在系统内部各物体间的相互作用力作用下，系统内各物体的动量之和在过程中保持不变。
通过利用动量守恒原理，我们可以求出物体在变力作用下的速度变化，从而计算出变力所做的功。
6. 利用万有引力定律在涉及到天体运动的变力做功问题中，我们需要利用万有引力定律。
万有引力定律指出，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
因此，我们可以利用万有引力定律计算行星的速度变化，进而计算出行星所受的变力所做的功。
求解变力做功的“五法”
第26点求解变力做功的“五法”1．变力的功＝力×路程当力的大小不变而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力所做的功等于力和路程的乘积，如滑动摩擦力、空气阻力等做的功．2．变力的功＝平均力×x cos α当力的方向不变，大小随位移线性变化时，可先求出力的平均值F＝F1＋F22，再由W＝F x cos α计算．3．变力的功＝功率×时间当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功．4．变力的功＝“面积”作出变力F随位移x变化的图像，图像与横轴所夹的“面积”即为变力做的功，如图1中阴影部分所示．图15．变力的功＝动能变化－其他恒力所做的功当物体受到变力(也可只受变力)及其他恒力作用引起物体的动能发生变化时，根据动能定理知，变力的功等于动能变化减去其他恒力所做的功．对点例题如图2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨．假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？图2解题指导因力F的大小恒定，且始终与运动方向相同，故F的功等于力乘以路程，即W＝F·2πL＝2πFL答案2πFL一质量为2 kg的物体，在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图3中给出了拉力随位移变化的关系图像．已知重力加速度g＝10 m/s2.根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有()图3A．物体与水平面间的动摩擦因数B．合外力对物体所做的功C．物体匀速运动时的速度D．物体运动的时间答案ABC解析物体做匀速运动时，受力平衡，则f＝F＝7 N；再由滑动摩擦力公式可求得物体与水平面间的动摩擦因数；故A正确；4 m后物体做减速运动，图像与坐标轴围成的面积表示拉力做的功，则由图像中减速过程包括的方格数可知拉力所做的功；再由摩擦力与位移的乘积求出摩擦力的功；则可求得总功；故B正确；已求出物体合外力所做的功；则由动能定理可求得物体开始时做匀速运动时的速度；故C正确；由于不知道具体的运动情况，无法求出减速运动的时间，故D错误．。
求变力做功的十种方法
变力做功的十种方法河南省信阳高级中学 陈庆威功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式θcos FS W =直接求解，但变力做功就不能直接用公式了，这里总结了一些求变力做功的方法，希望能对读者有帮助。
一. 动能定理法例1. 如图所示，质量为m 的物体从A 点沿半径为R 的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B 点时的速度变为，求物体从A 运动到B 的过程中，摩擦力所做的功是多少？【解析】物体由A 滑到B 的过程中，受重力G 、弹力和摩擦力三个力的作用，因而有，即，式中为动摩擦因数，v 为物体在某点的速度，为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。
分析上式可知，物体由A 运动到B 的过程中，摩擦力是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A 运动到B 的过程中，弹力不做功；重力在物体由A 运动到C 的过程中对物体所做的正功与物体从C 运动到B 的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。
因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A 运动到B 的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：即 可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的。
【点评】利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。
这也是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。
二. 微元法对于变力做功，不能直接用θcos FS W =进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用θcos FS W =求出每一小段内力F 所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，具有普遍的适用性。
例2. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
解题技巧：变力做功求解五法
变 力 做
二、用平均力 求变力功
功
三、用F－x图
求
象求变力功
解
五
四、用动能定
法
理求变力功
五、利用微元 法求变力功
一、化变力为恒力求变力功
• 变力做功直接求解时，通常都比较复杂， 但若通过转换研究的对象，有时可化为恒 力做功，可以用W＝Flcos α求解。此法常 常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
二、用平均力求变力功
• 在的求方解向变不力变功，时而，若物力体间的受做大到小线的不性力是变随化时 • 大小随位移是成线性变化的， • 即力均匀变化时，则可以认为物体
受力到作一用大，F小1、为F2F分＝别2为(F物1＋体F初2)的、恒末
态所受到的力，然后用公式W＝ • F lcos α求此力所做的功。
•
•图5－1－7
• [解析] 由F－x图象可知，在木块运动之前，弹簧
弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢
移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积
即为拉力所做的功，即W＝ 1 ×(0.6＋0.4)×40 J
＝20 J。
2
• [答案] 20 J
四、用动能定理求变力功
应用动能定理 • 动能定理既适用于直线运动，也适的用优于越曲性
• W＝W′＝FfΔx＝2πRFf。
• [答案] 2πRFf
•图5－1－10
[小结]
• 虽然求变力做功的方法较多，但不同的方 法所适用的情况不相同，如
• 化变力为恒力求变力功的方法适用于力的 大小不变方向改变的情况；
• 利用平均力求变力功的方法，适用于力的 方向不变，其大小随位移均匀变化的情况；
• 利用F－x图象求功的方法，适用于已知所 求的力的功对应的力随位移x变化的图象已 知，且面积易于计算的情况。
求解变力做功的八种方法
求解变力做功的八种方法在物理学中，做功是指力对物体施加作用力并使其产生位移的过程中所做的功。
而当作用力是变化的时候，求解变力做功就变得相对复杂。
本文将介绍八种常用的方法来求解变力做功问题，帮助读者更好地理解这一物理概念。
一、分割法分割法是将变力分割成多个小的力，然后分别计算每个小力在相应的位移上所做的功，再将它们累加起来。
通过将变力离散化，我们可以近似所需求解的变力做功。
二、辅助函数法辅助函数法是将变力关于位移进行积分，得到一个辅助函数，再通过求导的方法求解变力做功。
这个方法需要对变力进行积分和求导，适用于一些特殊的变力情况。
三、力的分解法力的分解法是将变力分解成两个简化的力，一般是平行和垂直于位移的力，然后分别计算每个简化力在相应的位移上所做的功，再将它们相加。
通过将变力进行分解，我们可以将复杂的问题简化为分别求解两个力的功的问题。
四、动能定理法动能定理法利用了动能的变化与外力做功的关系，即外力做功等于物体动能的变化。
通过对物体的动能变化进行分析，我们可以求解变力做功的问题。
五、引入势函数法引入势函数法是将变力与势函数建立联系，通过势函数的导函数来求解变力做功。
这个方法需要找到一个合适的势函数，适用于一些具有简单势函数形式的变力情况。
六、平均值法平均值法是将变力近似为一个平均力，然后计算该平均力在整体位移上所做的功。
虽然这种方法只是对变力做功的近似，但在一些情况下可以提供一个比较准确的结果。
七、图形法图形法是通过绘制力与位移之间的图形来求解变力做功。
通过图形分析，我们可以计算图形下的面积或曲线的积分，进而得到变力做功的值。
八、牛顿第二定律法牛顿第二定律法利用了牛顿第二定律与功的关系，即力乘以位移等于质量乘以加速度乘以位移。
通过将力进行分解，我们可以将变力做功的问题转化为求解加速度和位移的问题。
综上所述，以上八种方法是常用的求解变力做功的方法。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法求解变力做功问题，可以帮助我们更好地理解力学中的变力概念，并解决具体的物理问题综合上述八种方法，我们可以看出，求解变力做功问题的方法有多种多样，每种方法在不同情况下都有其适用性和限制性。
变力做功的几种解(用)
三. 平均力法
例题3：用铁锤将一铁钉击入木块，设木块 对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成 正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入 木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？ （设铁锤每次做功都相等）
▪ 练习：一辆汽车质量为105kg,从静止开始运动,其 阻力为车重的0.05倍.其牵引力的大小与车前进的 距离变化关系为F=103x+f0,f0是车所受的阻力.当 车前进100m时,牵引力做的功是多少？
▪ 最大值和最小值。
▪ （2）此过程中力F所做的功。
练习：两个底面积都是S的圆筒,放在同 一水平面上,桶内装水,水面高度分别为 h1和h2,如图所示,已知水的密度为ρ.现把 连接两桶的阀门打开,最后两桶水面高度 相等,则这过程中重力所做的功等于 .
h1
h2
八. 机械能守恒法
▪ 例8. 如图所示，质量m为2kg的物体，从 光滑斜面的顶端A点以的初速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速 度为零，已知从A到B的竖直高度，求弹簧 的弹力对物体所做的功。
N
2
∴W＝ S＝1×105×100J＝1×107J。
应用此法,要求变力与位移间须呈一次函数关系.
四. 图象法
▪ 例4. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对 铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正
比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木 块内1cm，问击第二次时，能击入多深？ （设铁锤每次做功都相等）
▪ 练习:如图所示,图线表示作用在做直线运动 的物体上的合外力与物体运动位移的对应 关系,物体开始时处于静止状态,则当物体在 外力的作用下,运动30m的过程中,合外力对 物体做的功为 200 J.
九. 功能原理法
▪ 例5. 如图所示，质量为m的物体从A点沿 半径为R的粗糙半球内表面以的速度开始 下滑，到达B点时的速度变为，求物体从A 运动到B的过程中，摩擦力所做的功是多 少？
求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法变力做功是指力的大小和方向在作功过程中发生变化的情况。
下面将介绍十种常见的变力做功的方法。
1.拉力做功：当一个物体被施加拉力时，拉力在作功过程中的大小和方向都是持续变化的。
通常情况下，拉力的大小会逐渐增加，直到物体被拉到目标位置。
这个过程中拉力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
2.推力做功：推力做功与拉力做功类似，只不过是力的方向相反。
当一个物体被施加推力时，推力也会在作功过程中发生变化，直到物体被推到目标位置。
推力所做的功也等于力的大小乘以物体的位移。
3.弹力做功：当一个物体被施加弹性势能时，弹力会在作功过程中发生变化。
例如，当拉伸弹簧时，弹簧的劲度系数会导致拉力的大小随着弹簧的伸长而增加。
弹力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
4.阻力做功：当一个物体受到空气阻力或其他形式的阻力时，阻力会在作功过程中发生变化。
通常情况下，阻力的大小与物体的速度成正比。
因此，在物体运动时，阻力所做的功等于力的大小乘以物体的速度与位移之积。
5.重力做功：当一个物体被抬高或下落时，重力会在作功过程中发生变化。
抬高物体时，重力的大小会减小，而下落时则会增大。
重力所做的功等于力的大小乘以物体的高度。
6.磨擦力做功：当一个物体受到摩擦力时，摩擦力会在作功过程中发生变化。
通常情况下，摩擦力的大小与物体的接触面积和物体间的粗糙程度有关。
磨擦力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
7.引力做功：当一个物体受到另一个物体的引力作用时，引力会在作功过程中发生变化。
例如，当地球绕太阳运动时，引力的大小会随着地球到太阳的距离的变化而变化。
引力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
8.中心力做功：中心力是指作用在物体上的力总是指向物体的中心。
例如，当一个物体沿着圆形轨道运动时，中心力会在作功过程中发生变化，因为物体距离中心的距离在变化。
中心力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
9.引力做功：引力做功是指一个物体由于受到其他物体的引力而发生位移时，引力所做的功。
求解变力做功问题的五种方法
求解变力做功问题的五种方法在高中阶段，应用做功公式W=FScosα来解题时，公式中F只能是恒力。
如果F是变力，就不能直接应用公式W=FScosα来求变力做功问题。
但是题目中又经常出现变力做功问题，下面介绍五种求解变力做功问题的方法。
一：将变力做功转化为恒力做功来求解我们知道变力做功不可以直接用公式W=FScosα来计算，但有些情况下，将变力转化成恒力做功，就可以用公式直接求解。
例题1：如图1所示，人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面的夹角是β，图中的高度是h，求绳子拉力T对物体所做的功，（绳的质量，滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）。
分析与解答：在物体向右运动过程中，绳子拉力T是一个变力，是变力做功问题。
但是拉力T大小等于力F的大小，且力F是恒力。
因此，求绳子拉力T对物体所做的功就等于力F所做的功。
由图可知，力F的作用点移动的位移大小为：ΔS=S1-S2。
则：W T=W F=FΔS=F（S1-S2）=Fh(1/sinα-1/sinβ).二：用动能定理来求解我们知道，动能定理的内容：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
如果我们研究物体所受的外力中只有一个是变力，其他力都是恒力，而且这些力做功比较容易求，就可以用动能定理来求变力做功。
例题2：如图2所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以10m/s 的速度开始下滑，到达B点时的速度变为2m/s,求物体从A点运动到B点的过程中，摩擦力所做的功是多少？分析及解答：物体从A点运动到B点的过程中，受到重力G、弹力N和摩擦力f三个力作用，在运动过程中，摩擦力f的方向和大小都发生改变，因此摩擦力f是变力，是变力做功问题。
物体从A点运动到B点的过程中，弹力N不做功，重力G做功为零。
物体所受的三个力中摩擦力在物体从A点运动到B点的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则W外=W f=ΔE k=1/2mV B2-1/2mV A2=-96(J).三：用机械能守恒定律来求解我们知道，物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒。
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6.作用力与反作用力的功
一对作用力与反作用力的做功情况:
1）作用力与反作用力做的功大小相等、符号相反：
如，在光滑的水平面上，用力F推靠在一起的A、B两物体向前运动一段位移，由于有FAB＝－FBA，SA＝SB，所以得：WAB＝－WBA。
再如，A、B两物体叠放在一起在水平外力F作用下向前加速运动过程中，存在于两物体间的静摩擦力做的功大小相等、符号相反。
2）作用力与反作用力做的功可以大小相等、符号相同：
（A）都做正功：如，放置于光滑水平面上的两个带异种电荷且完全相同的带电物体A、B，由静止开始在静电引力作用下各移动了一段大小相等的位移，由于两力的方向与其对应的位移同向，则两相互作用力做的功大小相等、符号相同。
（B）都做负功：上例中，若两物体以相同的初速度分别向相反的方向运动，在任一段时间内通过的位移大小相等，则两物体间的相互作用力做大小相等的负功。
3）作用力与反作用力做的功大小不等、符号相同：
若A、B两物体的质量不等，则它们在相同的时间内完成的位移不等，则两相互作用力做的功大小不等、符号相同。
4）作用力与反作用力做的功大小不等、符号相反：
如物体A以一定速度V滑上表面粗糙的木板B，木板B放在光滑水平面在两物体达共同速度之前，由于SA＞SB，则两物体间的滑动摩擦力做的功分别为W fBA＝fBA•SA WfAB＝fAB•SB 其大小不等、符号相反。
5）作用力与反作用力中可以是一个力做功，而另一个力不做功：
在上例中，若将木板B固定，则SB＝0，即物体A对B的滑动摩擦力不做力，而B对A 做负功。
综上所述，
1）一对作用力与反作用力，可以两个力均不做功；可以一个力做功，另一个力不做功；
也可以一个力做正功，另一个力做负功；也可以两个力均做正功或负功。
2）不论是滑动摩擦力，还是静摩擦力都可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可能不做功。
3）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有把机械能转化为其他形式的能。
相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做
的功代数和总为零。
而在一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方向：一是相互摩擦的物体之
间机械能的转移；而是机械能转化为内能。
转化为能能的数值等于滑动摩擦力与相对
位移的乘积。
1.下列说法正确的是（）
A．当作用力做正功时，反作用力一定做负功
B．当作用力不做功时，反作用力也不做功
C．作用力做正功，反作用力也可能做正功
D．作用力与反作用力的功大小不一定相等
[方法总结]求解变力做功的六种方法
1
2
(1)分段计算功，然后用求和的方法求变力所做的功.
例：以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大速度为h ，空气的阻力大小恒为F ，则从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为（ ） A ．0 B ．－Fh C ．－2Fh D ．－4Fh
【解析】从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段上受到的阻力都是恒力，且总是跟小球运动的方向相反，空气阻力对小球总是做负功，全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做功的代数和，
(2)微元法
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变的变力做功问题．
例：如图1-7所示，某个力F ＝10N 作用于半径为R ＝lm 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F 做的总功为 A. 0 B. π20J C. 10J D. π10J
(3)平均力法
在求解变力功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，即力
均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F ＝F 1＋F 2
2的恒力作用，F 1、F 2分别为物体初、
末态所受到的力，然后用公式W ＝F l cos α求此力所做的功．
例:用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?
(4)(F －x )图象法
如果参与做功的变力方向与位移方向始终一致，且已知大小随位移变化关系，我们可作出该力随位移变化的图象．那么图线与坐标轴所围成的面积，即为变力做的功．
上述例题也可用图象法来求解.因为木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，即F =kd ，
其图象为图1-2所示.
图1-7
图1-2
Kd+d
3
(5)转换法
直接求解变力对物体做功时，通常都较为复杂，但通过转换研究对象，把变力做功转化成另一个恒力做功，问题就易于解决，此法常应用于通过定滑轮拉物体的题目中．
如图1-3在光滑的水平面上，物块在恒力F ＝100Ｎ的作用下从A 点运动到B 点，不计滑轮的大小，不计绳与滑轮的质量及绳、滑轮间的摩擦，Ｈ＝2.4 ｍ，α＝37°，β＝53°，求绳的拉力对物体所做的功.
【解析】绳的拉力对物体来说是个变力（大小不变，方向改变），但
分析发现，人拉绳却是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子做的功来求绳对物体所做的功W =F ·l =F (β
αsin sin H H -)=100 J
(6)动能定理法
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力功也适用于求变力功．因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选．
图1-3。