考研高数总复习函数单调性(讲解)

注意：若定义1定理1中的不等式变为严格不等式， 则称函数是严格下凸（或上凸）的。
定义2. 若函数f (x)在点x0左右两侧的凸性相反， 则称点(x0, f (x0 ))为曲线y f (x)的拐点。
推论：若x0是二阶连续可导函数f (x)所表示曲线的拐点， 则必有f ''(x0) 0
注意：f ''(x)不存在的点也可能是曲线的拐点

f ( x) 下凸
拐点 (0,1)
上凸
拐点 (2 3 ,1127)
下凸
例2.求函数f (x) | ln(x) | (x 0)的凸性区间及曲线的拐点
ln x 解. f (x) 0
ln x
0 x 1 x 1
f
'( x)

不 1x存在0
x 1 x 1
3.4 函数的单调性 和曲线的凹凸性与极值
定理1 设函数y f ( x)在[a, b]上连续， 在(a, b)可导，则 1).若在(a, b)内f '( x) 0, 则函数y f ( x)在[a, b]上单调增加； 2).若在(a, b)内f '( x) 0, 则函数y f ( x)在[a, b]上单调减少；
练习：确定函数 f (x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间
二、曲线凹凸的定义 y
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向? A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义 设f ( x)在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两
x 1

1
x 1
x

f
''( x)

不x12存在0
x 1 x 1, 所以在区间(0,1)上函数下凸，

1 x2
x 1
f’’(1)不存在
在区间(1, )上，函数上凸。点(1, 0)是曲线f (x)的拐点。
练习：求函数y (x - 2)3 x2凸性区间及曲线拐点。
例1 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及
凹、凸的区间.
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
令y 0,
得
x1

0,
x2

2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0

0
将闭区间换成其它各种区间（包括无穷区间）， 结论仍然成立．
练习：讨论下列函数的单调区间： 1).y ex x 1; 2).y 3 x2
备注：对函数y=f(x)单调性的讨论，应先求出使导数等 于零的点或使导数不存在的点，并用这些点将函数的 定义域划分为若干个子区间，然后逐个判断函数的导 数f’(x)在各个子区间的符号，从而确定函数在各个子 区间的单调性．
定义域： 计算f '(x) 计算f ''(x) 计算f ''(x) 0的所有根，及所有二阶导不存在的点
检查这些点左右两侧的凹凸性， 确定曲线的凹凸性和拐点坐标。
练习：证明对于任意的实数a,b(a b),有：
ab
e 2

1 (ea
eb )
2
练习：证明当0 x 时，2 x sin x x 2
定义：设函数f (x)在区间[a, b]上有定义，
若x1, x2 (a, b), (0,1), 恒有: f [ x1 (1 )x2 ] f (x1) (1 ) f (x2 )
成立，则称函数f (x)在(a, b)内是下凸的；
若x1, x2 (a, b), (0,1), 恒ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ: f [ x1 (1 )x2 ] f (x1) (1 ) f (x2 )
A oa
f ( x) 递减
bx y 0
定理2 如果 f (x) 在 (a, b) 内具有二阶可导 ,则f (x) 为 (a,b)上的下凸（上凸）函数的充要条件是： f (x) 0(或f (x) 0）
定理2 如果 f (x) 在 (a, b) 内具有二阶可导 ,则f (x) 为 (a,b)上的下凸（上凸）函数的充要条件是： f (x) 0(或f (x) 0）
驻点：一阶导数f '(x0 ) 0的点x0称为函数f (x)的驻点。
推论：可导函数的极值点一定是驻点；
判断拐点
的方法: 设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0,那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲
线 y f ( x)的拐点.
例3 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
成立，则称函数f (x)在(a, b)内是上凸的。
下凸函数f (x)的图形是向下凸的，也称曲线y f (x)是 下凸的（或称曲线是凹的）；上凸函数f (x)的图形是向 上凸的，也称曲线y f (x)是上凸的（或称曲线是凸的）
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
点 x1, x2 , 恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1 ) 2
f ( x2 ),那末称
f ( x) 在 I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）;
如果恒有 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,那末称 f ( x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
y cos x sin x .
令 y 0,
得
x1

3 4
,
7 x2 4 .
f (3) 2 0,
4
f (7) 2 0,
4
在[0,2]内曲线有拐点为 (3 ,0), (7 ,0).
4
4
函数极值
费马定理：设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的 极值点，则f '(x) 0