2021届新课标数学一轮复习讲义_第二章_第1讲_函数及其表示

第二章基本初等函数、导数及其应用

第1讲函数及其表示

1．函数与映射的概念

函数映射

两集合

A、B

设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合

对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系

f，使对于集合A中的任意一个

数x，在集合B中都有唯一确

定的数f(x)和它对应

如果按某一个确定的对应关系

f，使对于集合A中的任意一个

元素x，在集合B中都有唯一

确定的元素y与之对应

名称称f：A→B为从集合A到集合

B的一个函数

称对应f：A→B为从集合A到

集合B的一个映射

记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射

2.

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[做一做]

1．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()

A．(0，1)B．[0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案：C

2．设函数f(x)＝{x，x≥0，－x，x＜0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝()

A．－3 B．±3

C．－1 D．±1

解析：选D.若a≥0，则a＋1＝2，得a＝1；若a＜0，则－a＋1＝2，得a＝－1.

1．辨明两个易误点

(1)易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．

(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

2．函数解析式的四种常用求法

(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(4)解方程组法：已知关于f (x )与f (1

x )或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，

通过解方程求出f (x )． [做一做]

3．下列对应关系：

①A ＝{1，4，9}，B ＝{－3，－2，－1，1，2，3}，f ：x →x 的平方根； ②A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 的倒数； ③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 2－2；

④A ＝{－1，0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数平方．其中是A 到B 的映射的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 答案：C

4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2

＋5x ，则f (x )＝________．

答案：1x 2＋5

x

(x ≠0)

5．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (x )＝________．

答案：x 2－4x ＋3

考点一__函数的基本概念____________________

以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？

(1)f 1：y ＝x

x ；f 2：y ＝1.

(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪

⎧1，x ≤1，2，1

f 2：

x x ≤1 1

1

2

3

(3)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．

[解] (1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .

(2)同一函数，x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． (3)同一函数．理由同(2)．

[规律方法] 两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f (x )＝2x －1，g (t )＝2t －1，h (m )＝2m －1均表示同一函数．

1.有以下判断：①f (x )＝|x |

x 与g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧1，（x ≥0）－1，（x ＜0）表示同一函数；

②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；

④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭

⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0.其中正确判断的序号是________． 解析：对于①，由于函数f (x )＝|x |

x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧1，（x ≥0）－1，（x ＜0）的定义域是R ，

所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪

12＝0，

∴f ⎝⎛⎭

⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是②，③. 答案：②③