周期性势场中电子运动的特点

·周期性势场中电子运动的特点·晶体中原子的排列是长程有序的，这种现象称为晶体内部结构的周期性。

晶体内部结构的周期性可以用晶格来形象地描绘。

晶格是由无数个相同单元周期性地重复排列组成的。

晶格可以用基矢量来描述。

以任一格点为原点，沿原胞的三个互不平行的边为晶格一组矢量称为原胞的基矢量。

记作123,,a a a 。

晶格的任一格点的位置可以用晶格矢量31122331m i i i R m a m a m a m a ==++=∑ ( m 1，m 2，m 3是任意整数) （1）确定。

r 和'm r r R =+为不同原胞的对应点。

二者相差一个晶格矢量。

可以说不同原胞的对应点相差一个晶格矢量。

反过来也可以说相差一个晶格矢量的两点是不同原胞的对应点。

通过晶格矢量的平移可以定出所有原胞的位置，这个就是晶体内部结构的周期性。

晶体内部结构的周期性意味着晶体内部不同原胞的对应点处原子的排列情况相同，晶体的微观物理性质相同。

比如，不同原胞的对应点晶体的电子的势能函数相同，即 '()()()m V r V r V r R ==+ （2）式（2）是晶体的周期性势场的数学描述。

图1给出一维周期性势场的示意图。

V 1，V 2，V 3，…，分别代表原子1，2，3，…，的势场，V 代表叠加后的晶体势场。

图1 一维周期性势场示意图根据周期性势场的形状不难想象，在周期性势场中，属于某个原子的电子既可以在该原子附近运动，也可以在其它的原子附近运动，即可以在整个晶体中运动。

例如图1中具有能量E 1或E 2的电子在可以在原子1的势场中运动，既局域化运动。

根据量子力学的隧道效应，它还可以通过隧道效应越过势垒V 到势阱2，势阱3，…，中运动，既共有化运动。

而处于E 2能态电子受原子核束缚较强，势垒V-E 2较大，电子从势阱1穿过势垒进入势阱2的概率就比较小，既共有化程度低。

但对于束缚能较弱的状态E 1，由于势垒V-E 1的值较小，穿透隧道的概率就比较大，既共有化程度高。

晶体中（也就是周期性势场中）的电子的运动是既有局域化的特征又有共有化特征。

在单电子近似条件下，一个电子所受的库仑作用仅随它自己的位置的变化而变化。

于是它的运动便由下面仅包含这个电子的坐标的薛定谔方程式所决定()()()r E r r V m ψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-222 （3） 式中222∇-m— 电子的动能算符 )(r V — 电子的势能算符，它具有晶格的周期性E — 电子的能量()rψ — 电子的波函数π2h = — h 为普朗克常数， 称为约化普朗克常数 布洛赫定理指出：如果势函数)(r V 有晶格的周期性，即 ()()m V r V r R =+ （4）则方程式（3）的解)(rψ具有如下形式)()(r u e r k r k i k ⋅=ψ （5） 式中函数)(r u k具有晶格的周期性，即 ()()r u R r u k m k =+ （6）以上陈述即为布洛赫定理。

由于()()()mik r R m m k k r R e u r R ψ⋅++=+ =()m ik R ik r k e e u r ⋅⋅ =()m ik R k e r ψ⋅即 ()m k r R ψ+=()m ik R k e r ψ⋅ （7）式（7）说明，晶体中不同原胞对应点处的电子波函数只差一个模量为1的因子m ik R e ⋅ ，所以22()=()m k k r R r ψψ+。

从而可知在晶体中各个原胞对应点处电子出现的概率相同。

即电子可以在整个晶体中运动—共有化运动。

式（7）是布洛赫定理的另一种表述。

根据布洛赫公式（5）可以看出:1. k是标志电子运动状态的量。

波矢量k只能取实数值,若k取为复数,则在波函数中将出现衰减因子,这样的解不能代表电子在完整晶体中的稳定状态。

2.平面波因子ik re⋅与自由电子的波函数相同，它描述电子在各原胞之间的运动—共有化运动。

3.因子()ku r则描述电子在原胞中的运动—局域化运动。

它在各原胞之间周期性地重复着。

根据布洛赫公式(7)可以看出：4.22()()mk kr R rψψ+=，这说明电子在各原胞的对应点上出现的概率相等。

需要指出的是：5.由于晶体中电子的波函数不是单纯的平面波,而是还乘以一个周期性函数。

所以它们的动量算符i∇与哈密顿算符H是不可交换的。

因此, 晶体中电子的动量不取确定值。

由于波矢量k与约化普朗克常数的乘积是一个具有动量量纲的量，对于在周期性势场中运动的电子,通常把p k=称为“晶体动量”或电子的“准动量”结论：通过以上的分析可知，在周期性势场中的电子具有局域化运动和共有化运动的特征；标志电子的运动状态的波矢量k只能取实数；电子出现在各原胞的对应点上出现的概率相等；电子不仅具有经典力学中动量，而且为了处理问题的方便还定义了一个具有动量量纲的准动量。

·半导体的导电性·半导体导电的微观机理半导体在外电场作用下是否存在电流并不取决于单个电子的行为，而是取决于整个晶体中所有电子运动的总和。

1.从能带的角度理解半导体导电性能带理论指出，一个晶体是否具有导电性，取决于它是否有不满的能带存在。

而固体中能带被电子填充的情况只能有三种。

第一种情况是空带，即能带中的电子态是空的，没有电子占据；第二种情况是满带，即能带中的电子态完全被电子所占据，不存在没有电子的空状态；第三种情况是不满带，即电子填充了能带中的一部分电子态，还有一部分电子态是空的。

在外加电场的作用下，对于满带电子从布里渊区边界的两边流进或流出，由于布里渊区边界的两边的电子状态是等价性，总体上不呈现电流。

对于被电子部分填充的能带情况，电子对称地占据能量较低的状态下图1-(a)所示，没有外电场作用时不呈现出电流。

当存在如下图1-(b)所示电场时，电子在能带中的分布发生变化，从而呈现出电流。

图1 外电场作用下部分填充的能带中电子按能量分布的变化半导体中部分填充的能带有两种情况：一种是导带中的电子；另一种是价带中的空穴。

半导体导电能力的强弱与载流子数目多少相关。

对于本征半导体，在0K时，导带为空能带，而价带为满带，此时本征半导体不具有导电能力。

在一定温度下，电子容易从满带激发到空带中去。

这样一来，原来空着的能带有了少量电子，变成了不满带；原来被电子充满的能带因失去一些电子也变成了不满带，于是半导体就有了导电性。

在半导体中，随着温度的升高，从满带进入到空带中的电子数急剧增加。

这就是半导体的电导率随着温度升高而增大的根本原因。

对于杂质半导体，通常在常温下杂质即可产生电离，结果在导带中存在大量的电子或在价带中存在大量的空穴，从而使其导电。

由于杂质半导体中载流子的数量与杂质浓度和杂质的电离强弱有关，所以其导电能力也与掺杂浓度和杂质的电离程度紧密相关。

在严格周期性势场（理想）中运动的载流子在电场力的作用下将获得加速度，其漂移速度应越来越大。

而实际晶体中晶体的不完整性，如：杂质、缺陷、晶格热振动将对电子产生散射，从而阻碍电子速度的增加。

2.半导体导电的晶格解释在一定温度下，共价键价鍵上的电子挣脱了价鍵的束缚，进入到晶格空间中成为准自由电子，这个电子在外电场的作用下运动而形成电子电流。

在价鍵上的电子进入晶格后留下空穴，这个空穴是要重新被电子填充，同时在另一位置上产生新的空穴，这一过程即形成空穴电流。

在无外电场时，载流子作无规则的热运动。

向各方向运动的几率相等，没有载流子作定向运动，因而不存在电流。

当加外电场后，载流子作定向运动，形成宏观电流。

通常通过半导体的电流是不均匀的。

需要用电流密度才能准确地体现电流分布情况。

漂移运动 迁移率 电导率在有外场存在时，载流子除了做无规则的热运动以外，还存在着沿一定方向的有规则的漂移运动。

如果在半导体样品两端加上电压，就会有电流在半导体中流过，这就是电导现象。

电导现象是由于半导体中的载流子在外电场中做漂移运动而引起的。

漂移运动是规则的，是引起电荷流动的原因。

迁移率和电导率是描述漂移运动的重要物理量。

载流子的平均漂移速度分别为εμ n n v -=和εμ p p v =。

其中n μ和p μ分别称为电子的迁移率和空穴的迁移率。

迁移率的物理意义是在单位电场强度电场作用下，载流子所获得的漂移速度的绝对值。

它是描述载流子在电场中做漂移运动的难易程度的物理量。

迁移率受电离杂质散射的影响在低温下的重掺杂样品中表现得最为显著，这时的晶格散射则可忽略不计。

低温降低了载流子的速度以致于电子和空穴运动经过固定的带电离子时，容易被其库仑力所偏转。

当温度增加时，快速运动的载流子不太容易被带电离子所偏转，其被散射的可能性就减小。

在给定温度下，迁移率会随着杂质浓度的增加而下降。

N 型半导体的电导率公式为n n nq μσ=。

对于N 型半导体，在杂质电离范围内，起导电作用的主要是导带电子。

P 型半导体的电导率为p p pq μσ=。

在半导体中电子和空穴同时起作用的情况下，电导率σ是二者之和：p n pq nq μμσ+=。

而且由关系式，可以得到不同类型的半导体的电阻率。

修正欧姆定律电子电流方程为 ()dxd x dx d qn A I J n n n n n n ϕσϕμ-=-== （1） 同样对于空穴电流有()dx d x dx d qp A I J pp p p pp ϕσϕμ-=-== （2）式（1）和（2）为修正欧姆定律。

修正欧姆定律虽然在形式上和欧姆定律一致，但它包括了载流子的漂移和扩散的综合效应。