空间解析几何数学竞赛辅导
空间解析几何数学课程竞赛辅导
空间解析几何数学竞赛辅导一. 向量代数1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量),,(12121221z z y y x x M M ---=→2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→（3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→→⋅b a（1）><⋅⋅=⋅→→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。
4、向量的外积→→⨯b a （遵循右手原则，且→→→⊥⨯a b a 、→→→⊥⨯b b a ）321321b b b a a a k j ib a →→→→→=⨯ （1）332211//b a b a b a b a b a ==⇔=⇔→→→→λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a（3）几何意义： ||a b ⨯代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ；平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为2121313111|||0|22ABCij k SAB AC x x y y x x y y =⨯=---- 2121313112x x y y x x y y --=--的绝对值也可以写成11223311121ABCx y Sx y x y =的绝对值。
数学竞赛中的解析几何问题(二)
（ １ ）证 明 ： △Ｐ ＡＢ 的 内切 圆 的 圆 心 在 一
条 定直 线上 ；
（ ２ ）若 ＡＰＢ一 ６ ０ 。 ， 求 △ ＰＡＢ 的 面 积 ．
号 （ 土 ） ．
５ △ Ｐ ＾ Ｂ一 — １（ ｚ 。一 ｚ２ ）一 １ （
ｚ ・
（ ２ ０ １ １年 全 国 赛 ）
，——一
—— — 、
尸
一
（ ２ ）解 ： 当 ＡＰＢ：６ ０ 。 时， 直线 Ｐ Ａ， Ｐ Ｂ
／
／ ＼ 、 ｊ
＼ ＼
、 、
０
圈 １
夕
方程分别为 ｙ 一± 屈 ． ④
④ 代 入 ① 得 ： ＋ （ 辽 ６ － ＋ ２ ／ １ ｚ 一 。
一
．
直线 Ｐ Ａ 方程 为 ： Ｙ 一 一 （ ｚ～３ ）
＝ ： ＞ 一
一３ ＋ ， 代人 椭 圆方程得 ，
（ １ — ３ ） ３ ［ ７ ＋１ ８（ １ ３ ～３ ） Βιβλιοθήκη 为 。．詈
ｍ 一十 ｌ
１ ４ ｘ 。 ＋ ９
一 ０， （＊ ）
于是， ｍ一 一ｍ ， 一—
（ 一
） －Ｘ （ √ ） ） 一一√ ｚ 一一√ ・
解
（ １ ）证 明 ： 平移 坐 标 系至 以 Ｐ 为 原
（ 号 ） ・ （ （ ） 。 一 （ ） 。 ） ＝ １ 可 １ ７ ￣ － ．
作 为对 照 ， 看在 原 坐标 系 中的解 ：
点， 则 椭 圆方 程为
， 即 曲线 为 圆
它 有 一 个 根 为
１ ８ （ １ ３ —３ ）
一
３√ ２ ，故 ｚ ＝
高中数学竞赛辅导课件：立体几何
1
竞赛辅导─立体几何
关于求距离、求角、求面积与体积，以及位 置关系的判定等问题,需要用到的知识点见教程 介绍.
今天我们主要是通过一些例题来体会处理这 些问题的基本思想方法:
一、学会转化；二、掌握基本功法.(如坐标 法、作出图形求解法)
2
一、点、线、面间关系的转化
立体几何的知识告诉我们，最核心的内 容是线面间的的垂直、平行关系，而它们又 通过判定定理、性质定理而相互转化。定理 的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与 转化。
=MC2 = ，从而∠
M3 Aa2C,=在6∆00A，MC即中二，面由角余α—弦定
BD1—β 的度数为600。
思考一. 如图，设正三棱锥 S—ABC 的底面边长 为 a，侧棱长为 2a，过 A 作与侧棱 SB、SC 都相 交的截面 AEF，求这个截面周长的最小值. 分析：沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面 展开如图，求 AEF 周长最小值 问题就转化成了求 A、A'两点间 的最短距离.
面BDE的距离就是AC到BD的 距离.
这时，AC上任一点到面BDE的距离
就是所求.
由DC⊥α知，DC⊥AC;又AD⊥ AB，根据三垂线定理 ， AC⊥ AB.但AB∥AC,故AC ⊥ CE.从而AC ⊥ 面CDE 。又 BE∥AC ,得BE ⊥ 面CDE, 进而面BDE⊥面CDE，
在Rt∆CDE上作高CH，由Rt∆ACD中, ∠ CAD = 300为二
1、 截面法 2、隔离法 3、展平法 4、投影法
例2、 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设∆C1 D1 B
所在的半平面为α ，∆C D1 B所在的半平面为 β，BD1
所在的直线是 α与 β 的交线。求二面角
分析的度数因为二面角的平面角的度数是 D1
2021-2022年高中数学竞赛辅导资料《立体图形,空间向量》
2021-2022年高中数学竞赛辅导资料《立体图形，空间向量》一. 直线,平面之间的平行与垂直的证明方法1．运用定义证明(有时要用反证法); 2．运用平行关系证明;3．运用垂直关系证明; 4．建立空间直角坐标系,运用空间向量证明.例如,在证明:直线直线时.可以这样考虑(1)运用定义证明直线与所成的角为; (2)运用三垂线定理或其逆定理; (3)运用“若平面,,则”; (4)运用“若且,则”; (5)建立空间直角坐标系,证明. 二. 空间中的角和距离的计算 1．求异面直线所成的角(1)(平移法)过P 作,,则与的夹角就是与的夹角; (2)证明(或),则与的夹角为(或);(3)求与所成的角(),再化为异面直线与所成的角(). 2,求直线与平面所成的角(1) (定义法)若直线在平面内的射影是直线,则与的夹角就是与的夹角; (2) 证明(或),则与的夹角为(或);(3) 求与的法向量所成的角,则与所成的角为或. 3．求二面角(1) (直接计算)在二面角的半平面内任取一点,过P 作AB 的垂线,交AB 于C,再过P 作的垂线,垂足为D,连结CD,则,故为所求的二面角. (2) (面积射影定理)设二面角的大小为(),平面内一个平面图形F 的面积为,F 在内的射影图形的面积为,则.(当为钝角时取“”).(3) (异面直线上两点的距离公式):22222cos EF d m n mn θ=++-,其中是二面角 的平面角,EA 在半平面内且于点A,BF 在半平面内且FB AB 于B,而,,.(4) (三面角的余弦定理),三面角中,,,,又二面角,则cos cos cos cos sin sin αβγθβγ-=.(5)(法向量法)平面的法向量与平面的法向量所成的角为,则所求的二面角为 (同类)或(异类). 4.求两点A,B 间距离(1)构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求. 5.求点到直线的距离(1)构造三角形进行计算; (2)转化为求两平行红色之间的距离. 6.求点到平面的距离(1)直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3) (体积法)转化为求一个棱锥的高,其中V 为棱锥体积,S 为底面面积,为底面上的高.(4)在平面上取一点A,求与平面的法向量的夹角的余弦,则点P 到平面 的距离为.7.求异面直线的距离(1)(定义法)求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高; (3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;(4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;(5)(射影法)如果两异面直线在同一平面内的射影分别是一个点P 和一条直线, 则与的距离等于P 到的距离; (6)(公式法)22222cos d EF m n mn θ=--±.8.求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离. 三.多面体与旋转体 1.柱体(棱柱和圆柱)(1)侧面积(为直截面周长,为侧棱或母线长)(2)体积(为底面积,为高) 2.锥体(棱锥与圆锥)(1)正棱锥的侧面积(为底面周长,为斜高)(2)圆锥的侧面积: (为底面周长,为母线长)(3)锥体的体积:(为底面面积,为高). 3.锥体的平行于底面的截面性质:. 4.球的表面积:; 球的体积:. 四.解题思想与方法导引1.空间想象能力;2.数形结合能力;3.平几与立几间的相互转化;4.向量法例题讲解1．正四面体的内切球和外接球的半径之比为( )A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:92．由曲线,,,围成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为;满足,,的点组成的图形绕 轴旋转一周所得的几何体的体积为,则( )A, B, C, D,3．如右图,底面半径,被过A,D 两点的倾斜平面所截,截面是离心 率为的椭圆,若圆柱母线截后最短处,则截面以下部分的 几何体体积是( )AB A BC A 1B 1C 1ABCD M K N S A, B, C, D,4．在四面体ABCD 中,设,,直线AB 与CD 的距离为2,夹角为,则四 面体ABCD 的体积等于( )A, B, C, D,5．三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是1, 那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是( ) A, B, C, D,6．四面体ABCD 的顶点为A,B,C,D,其6条棱的中点为,共10个 点,任取4个点,则这4个点不共面的概率是( )A, B, C, D,7．正方体的棱长为,则异面直线C 与BD 间的距离等于 .8．正四棱锥中,,二面角为且,(,为整数),则 .9．在正三棱锥中,,,过A 作平面分别交平面PBC 于DE.当截面的周长最小时, ,P 到截面ADE 的距离为 .10．空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这 四个球都相切,则这个小球的半径等于 .11．三个的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B 两片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个 多面体的体积为 .12．直三棱柱中,平面平面,且=,则AC 与平面所成的角的取值范围是 .13．如图,直三棱柱中,,连接,, ,若,求证:14．如图,设是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥,K 是棱SC 的中点,过AK 作平面与线段SB,SD 分别交于M,N (M,N 可以是线段的端点).试求四棱锥的体积V 的最大值与最小值.AB DEF CDF15．有一个的长方体盒子,另有一个的长方体盒子,其中均为正整数(),并且前者的体积是后者一半,求的最大值.课后练习1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( )A, B, C, D,2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之 比为( )A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3 3．设二面角的大小是,P 是二面角内的一点,P 点到的距离分别为1cm, 2cm,则点P 到棱的距离是( )A, B, C, D,4．如图,E,F 分别是正三棱锥ABCD 的棱AB,BC 的中点,且DEEF.若BC=,则此正三棱锥的体积是( ) A, B, C, D,5．棱长为的正八面体的外接球的体积是( )A, B, C, D,6．若线段AB 的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面的位置关系是 .7．若异面直线所原角为,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线上到A,B 距离为 2和平共处的两点,当时,线段AB 的长为 . 8．如图(1),在直四棱柱中,当底面四边形满足条件时,有C(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ①AB 与EF 所连直线平行; ②AB 与CD 所在直线异面; ③MN 与BF 所在直线成; ④MN 与CD 所在直线互相垂直. 其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)A BCDA BC D图(1)A BENM 图(2)AB C D E OA A BCD PQ10．如图,在中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC 分别交AB,AC 于D,E.将沿 DE 折起来使得A 到,且为的二面角,求到直线BC 的最小距离.11．如图,已知矩形ABCD 中,AB=1,BC=,PA 平面ABCD,且PA=1. (1)问BC 边上是否存在点Q 使得PQQD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q 的正切.课后习题答案1．过顶点A,V 与高作一截面交BC 于点M,点O 为正四面体的中心,为底面ABC 的中心, 设正四面体VABC 的棱长为,则AM==VM,=,,13VO m ==,得113OO VO VO m a =-=- 在中,,即222()()33a m a m =-+,得. 则,有203111(sin 60)3227V ABC V m VO -=⋅⋅⋅⋅=.选B. 温馨提示:正四面体外接球的半径:内切球的半径=. 2． 32212341::():(2):(2)2:3:133V V V R R R R R πππ=⋅⋅⋅=,选B. 3．设PA 棱于点A,PM 平面于点M,PN 平面于点N,PA=,,则,得,有或(舍去),所以,选B.4．由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC 平面ABD. 由对称性得090BAC CAD BAD ∠=∠=∠=,于是.311()3222224B ACD V a a a -=⋅⋅⋅⋅=,选B.5．可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有,得,外接球的体积,选D.6．当时,AB//;当时,AB//或AB;当时,AB//或与斜交. 7．由,得22222cos EFEA AB BF EA BF θ=+++⋅⋅(1)当时,有219412212AB =+++⋅⋅⋅,得; (2)当时,有219412212AB =++-⋅⋅⋅,得.8． ACBD.(或ABCD 是正方形或菱形等)9．将展开的平面图形还原为正方体,可得只②,④正确. 10．解:设的高AO 交DE 于点,令, 由AO=,有,在中,,有222011111112cos 60A O A O O O A O O O =+-⋅⋅⋅得.当时,到直线BC 的最小距离为6.11．解:(1)(如图)以A 为原点建立空间直角坐标系,设,则 Q,P(0,0,1),D 得,由,有,得 ①若方程①有解,必为正数解,且小于.由,,得. (i)当时,BC 上存在点Q,使PQQD; (ii)当时, BC 上不存在点Q,使PQQD.(2)要使BC 边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程①有两个相等的实根, 这时,,得,有.又平面APD 的法向量,设平面PQD 的法向量为 而,(0,2,0)(0,0,1)(0,2,1)PD =-=-, 由,得,解得有,则121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅,则所以二面角的正切为.例题答案：1,B 设棱长为,外接球的半径为R,内切球的半径为,则222))33R a a R -=-ACDE A ’ P解得,,有:R=1:3.2,C 设,则过A 的两个截面都是圆环,面积分别是和222222212(){(4)[2(2)]}(44)x x a a a πππ-=----=-,于是.3,B 在椭圆中,又,得,所求的体积22111(12)22V πππ=⋅⋅+⋅⋅= 4,B 过C 作,以为底面,BC 为侧棱作棱柱,则所求四面体的体积等于上述棱柱体积的,而的面积1sin 2S CE CD ECD =⨯⨯∠,AB 与CD 的公垂线MN 就是棱柱的高,于是21sin 2V MN CE CD ECD =⨯⨯⨯∠=,因此.5,A 三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线,而异面直线的距离都为2,则所求球的半径为 .6,D 441064106631414727070C C C ---==. 7, 设E 是上的点,过E 作EH 于H,所以EH 面ABCD,过H 在面ABCD内作HF,连接EF,所以EFBD,令,,,所以EF=3==≥.8,5 因各侧面为全等的等腰三角形.在内作高AE,则CE 也是的高,故.设则,,=02458sin 4(1cos 45)42=-=-222cos 32AE CE AC AE CEθ+-==-+⋅得.9, ; 将三棱锥的侧棱PA 剪开,当的周长最小时,其展开图如图 的周长即是展开图中线段的长.易证 ∽,又PA=2AB=,故, ,.中,DE上的高8AH a ==.于是21264ADE S AH DE ∆=⨯⨯=; 从P 向底面作高PO.则PO==.于是23133412P ABC V a a -=⋅⋅=. 又,得33991616A PDE A PBC V V --===.设P 到截面的距离BC DE F O ABCA 1B 1C 1 S HH 1 为,则31364A PDE P ADE ADE V V d S --∆==⋅=,于是. 10, 设半径为3的球心为A,B,半径为2的球心为C,D.则易知AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为O,半径为,则O 在四面体ABCD 内且AO=BO=3+,CO=DO=2+.取AB 中点E,连结 CE,DE,则CEAB,DEAB,故平面CDE 为线段AB 的垂直平分面,所以O 在平面CDE 内,又由OC=OD=2+知O 在CD 的垂直平 分面内,故O 在等腰底边CD 上的高EF 上(F 为CD 中点),易算出ED=EC=,得为等边三角形.于是EF=.而==.OE===,代入OE+OF=EF=2=解得.11,864 将几何体补成一个棱长为12的正方体,几何体的体积为正方体体积的一半,为. 12, 作AD 于D,易证AD 平面,所以.设, ,则sin AD θ==⋅,故.易证BC 平面,故,从而,即,于是,, 又,得.13,证明:设D,分别为AB,的中点.连结CD,及,.因为,所以 四边形为平行四边形,得//.因AC=BC,于是.又D, 分别为 AB,的中点,故CDAB,,而在平面ABC(或)内的射影为AB (或),得CD,,又已知,所以平面B,从而 ,又//,所以.又,得平面CD,从而得证.14,解:为了建立V 与原四棱锥的关系.我们先引用 下面的事实:(如图)设分别在三棱锥的侧棱SA,SB,SC 上, 又与的体积分别是和V,则.事实上,设C,在平面SAB 的射影分别是H,.则,又,所以111111111313SA B SAB C H SV SA SB SC V SA SB SC CH S ∆∆⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅.下面回到原题. 设,,因的体积为.于是由上面的事实有012S AMN S KMN S AMK S ANK S ABD S CBD S ABC S ADC V V V V VV V V V V --------=+=+.得2V SM SN SA SM SN SK SB SD SA SB SD SC ⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅= SM SK SA SN SK SASB SC SA SD SC SA⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=,于是,而由,,得.则,().又得'2213(32)1(31)(31)x x V x x -=-=--.所以 (1)当时,,V 为减函数,(2)当时,,V 为增函数.所以得,又,得.15,解:由题意,2(2)(2)(2)mnp m n p =+++,得. (1)当时,由,则32222(1)(1)(1)(1)28m n p +++≤+<,矛盾! (2)当时,,矛盾!(3)当时,则,即.所以的最大值为130; (4)当时,则,即.所以的最大值为54; (5)当时,222(1)2222(1)(1)(1)(1)55p m n +=>++++,得. 综上所述:的最大值为130.33529 82F9 苹36655 8F2F 輯28533 6F75 潵32190 7DBE 綾LGi 36570 8EDA 軚P26023 65A7 斧22005 55F5 嗵27640 6BF8 毸241535E59 幙{。
高一数学竞赛培训《解析几何部分》
高一上期数学竞赛培训资料（16）——解析几何部分（4）——与圆有关的点的轨迹问题一、知识要点——求点的轨迹方程的基本步骤：（1）建：建立直角坐标系；（2）设：设立动点坐标P （x ，y ）；（3）现：将动点的等量关系呈现出来；（4）代：代入点的坐标；（5）化：化简上述等式。
应注意：所求方程的完备性！二、题型示例：1、ABC ∆的两顶点A 、B 的坐标分别为(0,0)A 、(6,0)B ，顶点C 在曲线23y x =+上运动，求ABC ∆重心的轨迹方程。
2、过原点作曲线21y x =+的割线12OPP ，求弦12PP 中点的P 的轨迹方程。
3、已知两点(2,2)P -、(0,2)Q 以及一直线:l y x =，AB 在直线l 上移动，试求直线PA和QB 的交点M4、已知ABC ∆的顶点A 是定点，边BC 在定直线上滑动，且||4BC =，BC 边上的高为3，求ABC ∆的外心M 的轨迹方程。
5、设定点(6,0)P ，圆229x y +=上一点Q ，M 是PQ 上一点，满足12PM MQ =，当点Q 在圆上运动时，试求点M 的轨迹方程。
6、ABC ∆中，边||6BC =，且0135B C ∠+∠=，试求顶点A 的轨迹方程。
7、过定点(,)M a b 任作两条互相垂直的直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，试求线段AB 的中点P 的轨迹方程。
8、已知圆222:O x y r +=，点M 为圆O 上任意一点，又点(,0)A r -、(,0)B r ，过B 作BP ∥OM 交AM 的延长线于点P ，试求点P 的轨迹方程。
9、过圆22:4O x y +=与y 轴的交点A 作圆的切线l ，M 为直线l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，试求MAQ ∆垂心的轨迹方程。
10、已知点P 是圆22:4O x y +=上一动点，定点(4,0)Q 。
（1）试求线段PQ 中点的轨迹方程；（2）设POQ ∠的角平分线交PQ 于点R ，求点R 的轨迹方程。
数学竞赛空间解析几何部分课件(一)
数学竞赛空间解析几何部分课件(一)数学竞赛是近年来备受学生青睐的一项竞赛项目，它能够为学生提供一个拓展知识面、培养思维能力和激发数学兴趣的平台。
其中，空间解析几何是数学竞赛中非常重要的一部分，而针对这一部分，国内许多学校和机构都推出了相应的课程和课件，下面我们就来对空间解析几何部分的课件进行分析和介绍。
一、空间解析几何部分课件的组成一般而言，一份完整的空间解析几何部分课件，应该包括以下几个组成部分：1. 知识框架：主要介绍空间解析几何的基本概念和知识体系，帮助学生建立完整的知识框架，把握学科的总体观念。
2. 题型分类：根据空间解析几何的不同类型和难度，将题目进行分类整理，让学生更好地了解不同类型的题目及其解法。
3. 解题技巧：讲解空间解析几何题目的解题思路和方法，以及常用的技巧和注意事项，帮助学生提高解题效率和成功率。
4. 经典例题：选取一些典型的题目，详细讲解题目的解题思路和方法，帮助学生更好地理解知识点，掌握解题方法。
二、空间解析几何部分课件的特点空间解析几何部分与其他几何部分有所不同，它的课程特点主要表现在以下几个方面：1. 地位重要：空间解析几何部分在数学竞赛中的地位非常重要，因此课件的编写和体系设置都非常完善。
2. 案例多样：不同类型和难度的空间解析几何题目案例很多，课件编写者会根据实际需求，选取一些经典的例题进行讲解。
3. 独立性强：空间解析几何与其他几何部分虽有交汇之处，但是它的独立性非常强，需要针对其特点进行单独学习。
三、针对空间解析几何部分课件的学习方法为了更好地利用空间解析几何部分的课件，提高学习效率和成绩，我们可以采用以下几种学习方法：1. 认真阅读：先阅读整个课件，了解知识框架和难度分类，并做好阅读笔记，把握知识结构和篇章逻辑。
2. 独立思考：在掌握知识框架和题目分类基础上，可选取不同类型的题目进行独立思考和解题练习，边思考、边总结经验。
3. 学习问答：学习过程中遇到问题，可以与同学、老师互动交流，互相问答，开展课外学习，提高学习水平。
解析几何竞赛辅导
若不允许共线。 如图，在正三角形 ABC 的内切圆上任取一点 P ，使得
向量 PA ， PB ， PC ， PO 不共线便满足要求。
A
O P B C
( PA + PB ) ⋅ ( PC + PO )
= OA + OB + 2 PO ⋅ OC + 2 PO
( (
)(
)
2 2
= 2 PO − OC ⋅ 2 PO + OC = 4 PO − OC = 0
XF1 ( x, y ) + YF2 ( x, y ) = 0
共轭方向： a11 XX ′ + a12 ( XY ′ + X ′ ) + a22YY ′ = 0 Y 主方向：即共轭又垂直的方向
⎛ a11 ⎜ ⎝ a12
a12 ⎞ ⎛ X ⎞ ⎛X ⎞ ⎟⎜ ⎟ = λ ⎜ ⎟ a22 ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎝Y ⎠
r (u, v) = ( x(u , v), y (u , v), z (u , v))
求点运动所成的曲线方程， ( x(t ), y (t ), z (t )) 求点运动所成的曲面方程， ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) 求空间直线运动所成的曲面方程， 直线： ( At + x0 , Bt + y0 , Ct + z0 ) ，参数 s 直线族：( A( s )t + x0 ( s ), B ( s )t + y0 ( s ), C ( s )t + z0 ( s ) )
三、空间的直线和平面 平面方程，直线方程，相互位置关系，平面束。 直线
x − x0 y − y0 z − z0 和 = = X Y Z
数学竞赛教案讲义立体几何
数学竞赛教案讲义-立体几何教案章节：一、立体几何基本概念1.1 空间点、线、面的基本定义及性质1.2 平面、直线、圆锥、球等基本几何体的性质和方程1.3 空间向量与立体几何的关系二、立体几何中的角度和距离2.1 点与点、点与线、点与面之间的距离公式2.2 线与线、线与面之间的角度和距离公式2.3 空间中的平行公理和推论三、立体几何中的体积和表面积3.1 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等几何体的体积计算公式3.2 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等几何体的表面积计算公式3.3 空间几何体的对称性和轴截面四、立体几何中的定理和性质4.1 线面垂直、线面平行、面面垂直、面面平行等定理及其应用4.2 三垂线定理、射影定理等的重要性质和应用4.3 空间几何中的等体积转换和等角转换五、立体几何在数学竞赛中的应用题型及解题策略5.1 立体几何与解析几何的综合题型5.2 立体几何中的构造题型5.3 立体几何中的极限与最值问题5.4 立体几何中的几何计数问题六、立体几何中的坐标系和变换6.1 空间直角坐标系的定义和性质6.2 坐标变换公式及应用6.3 利用坐标系解决立体几何问题七、立体几何中的视图和投影7.1 平行投影和中心投影的定义和性质7.2 三视图的画法和性质7.3 利用视图和投影解决立体几何问题八、立体几何中的定积分和面积计算8.1 立体几何中的定积分定义和性质8.2 利用定积分计算立体几何体的表面积和体积8.3 立体几何中的面积计算方法和技巧九、立体几何中的概率和组合问题9.1 立体几何中的几何概率定义和性质9.2 利用几何概率解决立体几何问题9.3 立体几何中的组合问题和解题策略十、立体几何在数学竞赛中的应用实例解析10.1 立体几何与解析几何的综合实例解析10.2 立体几何中的构造实例解析10.3 立体几何中的极限与最值问题实例解析10.4 立体几何中的几何计数问题实例解析重点和难点解析一、立体几何基本概念重点和难点解析：空间点、线、面的关系及性质是立体几何的基础，理解并熟练运用这些基本概念对于解决复杂立体几何问题至关重要。
数学竞赛中解析几何问题的解法(一)-最新教育资料
数学竞赛中解析几何问题的解法（一）
解析几何是各种考试中的重点和难点内容，解析几何题的运算量往往较大，所以很多同学容易出错或者做着做着就做不下去了.所以减少运算量、降低难度常常是解析几何题能否顺利做出来的关键.本文就选了近年的部分考题，来说明解好解析几何题的一些方法.
一、抓住定义解题――要熟练掌握圆锥曲线的两个定义，很多考题都是从定义出发求解的
二、用好韦达定理――韦达定理是解题的重要工具，圆锥曲线问题中恰当运用韦达定理可以减少不必要的运算
三、结合向量――近年解析几何题常常安一个向量的外壳，所以熟练运用向量知识在解这类题中至关重要
例6对于两条互相垂直的直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心轨迹.（上海交大自主招生考试）
解以两条直线的交点为原点，两条直线为坐标轴建立直角坐标系.设椭圆的长轴长与短轴长分别为2a，2b（a>b>0）.中心为P（x，y），两个焦点分别为F1，F2.
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辅导讲座数学五讲：《解析几何》各类竞赛试题选讲
高中数学竞赛专题讲座之五：《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04某某）已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值X 围是(C)A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是 （ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线3．（06某某）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（ C ）条.A ．1B ．2C ．3D ．4解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。
正确答案为C.4．（06某某）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上 A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06某某）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐 标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（ ） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定8．（05某某）双曲线12222=-by a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定 （ ）A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△P F F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切.9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02某某）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．椭圆的一部分D ．双曲线的一部分 11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O 的直线。
数学竞赛中解析几何问题的解法(一)-最新教育资料
数学竞赛中解析几何问题的解法（一）
解析几何是各种考试中的重点和难点内容，解析几何题的运算量往往较大，所以很多同学简易出错或者做着做着就做不下去了.所以减少运算量、降低难度常常是解析几何题能否顺利做出来的关键.本文就选了近年的部分考题，来说明解好解析几何题的一些方法.
一、抓住定义解题――要烂熟掌握圆锥曲线的两个定义，很多考题都是从定义出发求解的
二、用好韦达定理――韦达定理是解题的严重工具，圆锥曲线问题中恰当运用韦达定理可以减少不必要的运算
三、结合向量――近年解析几何题常常安一个向量的外壳，所以烂熟运用向量知识在解这类题中至关严重
例6对于两条互相垂直的直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心轨迹.（上海交大自主招生考试）
解以两条直线的交点为原点，两条直线为坐标轴建立直角坐标系.设椭圆的长轴长与短轴长分别为2a，2b（a>b>0）.中心为P（x，y），两个焦点分别为F1，F2.
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974_高二数学竞赛辅导：解析几何中常见
解析几何中常见最值问题对解析几何常见的最值问题，一般可以转化为代数问题，利用函数、不等式的性质进行研究，有时可以直接利用几何知识进行研究。
例1已知直线l 1:y=4x 和P(6,4),在直线l 1上求一点Q ，使过P 、Q 的直线与l 1，x 轴，在第Ⅰ象限内围成的三角形的面积最小。
分析：将三角形的面积表示出来。
解：设Q 点的坐标为Q(x 1,y 1), y 1=4x 1，则直线的方程为： 4441--x y =661--x xPQ 与x 轴交点M 的坐标为M(1511-x x ,0)⊿OMQ 的面积S=21•1511-x x •4x1⇒10x 12－Sx 1+S=0∴⊿≥0⇒S 2－40S ≥0⇒S ≥40∴当x 1=2时，S min =40∴所求Q 点的坐标为Q(2,8)学生思考：这样求最值：S=21•1511-x x •4x 1=10(x 1－1)+ 1101-x +20≥2•10+20=40 (x 1>1)例2已知在抛物线y=x 2上有一个正方形的三个顶点A 、B 、C ，求这种正方形的面积的最小值。
分析：表示出正方形的边长，然后求其最小值。
解：不妨设三个顶点中有两个在y 轴右侧（包括y 轴上）且设A 、B 、C 三点的坐标为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)，BC 的斜率为k (k>0) ∴y 3－y 2=k(x 3－x 2) ① y 1－y 2=－k 1(x 1－x 2) ② ∵A 、B 、C 三点在抛物线上∴y 1=x 12, y 2=x 22, y 3=x 32,代入①②得x 3=k －x 2, x 1=－k 1－x 2∵|AB|=|BC| ⇒211k +(x 2－x 1)=2k +(x 3－x 2)⇒ x 2－x 1=k (x 3－x 2)⇒k 2－k 1=2(k+1)x 2≥0⇒k 3≥1⇒k ≥1x 2=)1(213+-k k k|BC|=21k +(x 3－x 2) =21k +(k －2x 2) =11122++⋅+k k k k ≥1)1(2122++⋅k k k k=2当且仅当k=1时，B 点为原点时等号成立∴正方形面积的最小值为2。
第六讲 数学竞赛中的解析几何
类型一、关于直线、曲线的参变 一 关于直线、 取值范围、 量取值范围、问题
解题策略：动静结合，以静制动；根据圆 解题策略：动静结合，以静制动； 锥曲线的定义和性质， 锥曲线的定义和性质，利用数形结合的思想求 解参变量的取值范围问题。 解参变量的取值范围问题。
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解题关键： 利用对称性建立坐标系； 选择恰当数字简化讨论； 引入辅助参数代数解题。
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解题关键： 利用对数解题。
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类型三、 类型三、解析几何中的轨迹问题
（1） 解题程序：建、设、限、代、化。 ） 解题程序： 2） 建系原则：（ ：（1）体现对称性； （2） 建系原则：（1）体现对称性； （2）体现简洁性。 ）体现简洁性。 （3） 解题方法：特殊引路，探求一般 ） 解题方法：特殊引路， 证题规律
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解题关键： 利用对称性建立坐标系； 选择恰当数字简化讨论； 引入辅助参数代数解题。
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解题关键： 利用对称性建立坐标系； 选择恰当数字简化讨论； 引入辅助参数代数解题。
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• 解题关键： • • 利用对称性建立坐标系； • • 选择恰当数字简化讨论； 引入辅助参数代数解题。
数学竞赛数学类b类解析几何知识点
数学竞赛数学类b类解析几何知识点摘要：1.数学竞赛简介2.数学类B类竞赛大纲概述3.解析几何知识点概述4.解析几何在数学竞赛中的应用5.提高解析几何能力的方法和建议6.总结正文：一、数学竞赛简介数学竞赛是一项旨在选拔和培养数学人才的重要活动。
在我国，数学竞赛分为不同类别，其中数学类B类竞赛针对中学生，注重考察学生的基本数学素养和数学应用能力。
解析几何作为数学的重要组成部分，在数学竞赛中占据一定比重。
二、数学类B类竞赛大纲概述数学类B类竞赛大纲涵盖了初等代数、几何、三角函数、概率与统计等多个领域。
对于几何部分，大纲要求掌握基本几何图形的性质和计算方法，了解几何变换、坐标几何等相关知识。
而解析几何作为现代几何的基石，更是竞赛中的关键内容。
三、解析几何知识点概述解析几何主要研究平面直角坐标系中点、线、面及其相关性质。
数学类B类竞赛要求掌握以下知识点：1.平面直角坐标系中的基本概念和运算；2.直线、圆、椭圆、双曲线等二次曲线的性质和方程；3.空间几何中的坐标变换；4.解析几何中的数学建模。
四、解析几何在数学竞赛中的应用在数学竞赛中，解析几何知识点的应用主要体现在以下几个方面：1.解题思路：运用解析几何方法，可以将复杂问题转化为简单问题，提高解题效率；2.数学建模：竞赛题目常常涉及实际问题，通过建立解析几何模型，可以更好地理解和解决问题；3.题目创新：解析几何内容丰富，可以为竞赛题目提供更多创新空间。
五、提高解析几何能力的方法和建议1.扎实掌握基本概念和公式；2.多做竞赛题目，积累经验，提高解题速度；3.学习高等数学，拓宽知识面；4.参加培训班或请教专业人士，提升自己的解析几何水平。
六、总结数学类B类竞赛中的解析几何部分，对于选拔和培养数学人才具有重要意义。
要想在竞赛中取得好成绩，就需要扎实掌握解析几何的基本知识和应用，不断提高自己的解题能力。
高中数学竞赛辅导-解析几何(一)
2.圆的参数方程:
x y
a b
R cos R sin
ห้องสมุดไป่ตู้,其中圆心为
(a,b),半径为 R.
3
思考一
1.与直线 2x 3 y 6 0 关于点 (1, 1) 对称的直线是
(D)
(A) 3x 2 y 2 0
(B) 2x 3 y 7 0
42
5
55
5
思考三: 1.自学教程 P308 例 7 2.正方 形 ABCD 的边长为 1, AB, AD 上 各有一点 P, Q ,若 △APQ 的周长为 2,求 PCQ .
3. 在直 线 l : x y 5 0 上4找5一点 P( x, y) , 使 得点
P( x, y) 对 A(1,0), B(3,0) 的视角 APB 最大.
2.过点 (1,4) 引直线 l ,使它在两坐标轴上的截距都是
正数,且截距和为最小,求直线 l 的方程.
2x y 6 0
7
APB 的最大值为 ,
4 点 P 的坐标为 (3, 2)
6
课外思考:
1.当 a, b 均为有理数时,称点 P(a, b) 为有理点,又设
A A( 1998 , 0), B(0, 2000) ,则直线 AB 上( )
(A)不存在有理点
(B)仅有一个有理点
(C)仅有两个有理点 (D)有无穷多个有理点
(C) 3x 2 y 12 0
(D) 2x 3 y 8 0
96 2.(教程 P311 第 5 题)当 k ___ 时,方程
x2 xy 6 y2 20x 20 y k 0 表示两条直线,且它们
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空间解析几何数学竞赛辅导一. 向量代数1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量),,(12121221z z y y x x M M ---=→2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→（3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→→⋅b a（1）><⋅⋅=⋅→→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。
4、向量的外积→→⨯b a （遵循右手原则，且→→→⊥⨯a b a 、→→→⊥⨯b b a ）321321b b b a a a k j ib a →→→→→=⨯ （1）332211//b a b a b a b a b a ==⇔=⇔→→→→λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a（3）几何意义： ||a b ⨯代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ；平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为2121313111|||0|22ABCij k SAB AC x x y y x x y y =⨯=---- 2121313112x x y y x x y y --=--的绝对值也可以写成11223311121ABCx y Sx y x y =的绝对值。
5. 混合积：(,,)()a b c a b c =⋅⨯。
(1)注意：(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b ==(2)坐标表示：111222333(,,)()x y z a b c a b c x y z x y z =⋅⨯=, 其中， ()111,,a x y z =，()222,,b x y z =, ()333,,c x y z =。
(3)几何意义：(,,)a b c 的绝对值表示以,,a b c 为三条邻边的平行六面体的体积。
,,a b c 共面的充要条件是(,,.)0a b c =。
空间不共面的四点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,333(,,)C x y z ,444(,,)D x y z 构成的四面体的体积为11121212122231313133341414144411111661x y z x x y y z z x y z V x x y y z z x y z x x y y z z x y z ---==------的绝对值。
（它实际是以,,AB AC AD 为邻边的平行六面体的体积的六分之一）例1 设径矢1r OA =, 2r OB =,3r OC =, 证明 133221r r r r r r R⨯+⨯+⨯=垂直于ABC 平面.证明 :由于 R AB ⋅=)(12r r -⋅[)()()(133221r r r r r r ⨯+⨯+⨯]=)()()()()()(131321211132322212r r r r r r r r r r r r r r r r r r ---++ =0)()(321321=-r r r r r r ,所以 R AB ⊥.同理可证 R AC ⊥.所以 R ⊥平面ABC .例2．设P 是球内一定点，A ，B ，C 是球面上三个动点.2/CPA B PC APB π=∠=∠=∠. 以PA ，PB ，PC 为棱作平行六面体， 记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹.（见北京大学2007考研题）二．直线与平面方程 (一)、平面1、平面的点法式方程已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→，则平面方程为0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A注意：法向量为),,(C B A n =→垂直于平面2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→3、求平面方程的主要方法 （1）过直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 的平面方程可设为0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理 例（1）在过直线⎩⎨⎧=++=+++0204z y x z y x 的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。
（2）平面过OZ 轴，且与平面0=-z y 的夹角为060，求该平面方程（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角） （3）求过点)1,0,1(-M 和直线110122-=-=-z y x 的平面方程 （4）过直线⎩⎨⎧=+-=-+083042z y z x 作平面，使它平行于直线⎩⎨⎧=--=--0604z y y x(5)过平面02=+y x 和6324=++z y x 的交线作切于球面4222=++z y x 的平面（6）求由平面0173,0122=++=+-y x z x 所构成的两面角的平分面方程 （2）利用点法式求平面方程注意：（i ）任何垂直于平面的向量→n 均可作为平面的法向量 （ii ）和平面0=+++D Cz By Ax 平行的平面可设为01=+++D Cz By Ax （iii ）如存在两个向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→和平面平行（或在平面内），则平面的法向量为321321b b b a a a k j ib a n →→→→→→=⨯= 例1（1）已知两直线为111111--=-=-z y x ，221113-=--=-z y x ，求过两直线的平面方程（2）求过)1,3,8(-A 和)2,7,4(B 两点，且垂直于平面02153=--+z y x 的平面（3）一平面垂直于向量)2,1,2(且与坐标面围成的四面体体积为9，求平面方程（4）已知球面0642222=-+-++z y x z y x 与一通过球心且与直线⎩⎨⎧=-=0z y x 垂直的平面相交，求它们的交线在xoy 面上的投影 例2．已知椭球面1222222=++cz b y a x )(b a c <<， 试求过x 轴且与椭球面的交线是圆的平面方程。
解 平面过x 轴，从而过原点，得0D =。
设法向量(,,)n A B C =，由平面过x 轴得(,,)n A B C =与(1,0,0)i =垂直，得0A =，平面方程：0By Cz +=。
又0y =与0z =都不符合题意，所以0,0B C ≠≠。
不妨令Bz y ky C=-=，它与椭球面的交线为 2222222222222211x y z x c b k y a b c a b c z ky z ky ⎧⎧+++=+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩（1）由于交线圆的圆心在原点，且该圆过点(,0,0),(,0,0)a a -，故该圆的方程也可表示为22222222211x kx y z a y a a z ky z ky⎧+⎧++=+=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩(2)比较（1）和（2）得22222221c b k k c k b c a ++=⇒=±，所求平面方程为：0±=。
(3)轨迹法求方程方法：（i ）设平面上任一一点),,(z y x M （ii ）列出含有z y x ,,的方程化简的平面方程例 求由平面013=++-z y x 和023=--+z y x 所构成的二面角的平分面的方程（二）、直线 1、直线的对称式方程过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→直线方程32010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→和直线平行 2、直线的一般方程⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线3、直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tv z z t v y y t v x x 3020104、求直线方程的主要方法(1)把直线的一般方程化为点向式方程 方法：已知直线方程为⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ，则该直线的方向向量为),,(321222111v v v C B A C B A kj i v ==→→→→在直线上任取一点),,(000z y x ，则直线方程为32010v z z v y y v x x -=-=- 例化直线的一般方程⎩⎨⎧=--+=-++0132052z y x z y x 为标准方程(2)根据直线的方向向量求直线方程例（1）过点)2,1,0(M ，且平行于两相交平面013=++-z y x 和023=--+z y x 的直线方程（2求过点)0,4,2(M ，且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 平行的直线方程（3）求过点)2,0,1(-M ，且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线14213zy x =+=-垂直的直线方程 注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂直均可确定直线的方向向量 (3)利用直线和直线的位置关系求直线方程 注意：（1）两直线平行，则332211n m n m n m ==，其中),,(321m m m 和),,(321n n n 为直线的方向向量（2）两直线302010m z z m y y m x x -=-=-和312111n z z n y y n x x -=-=-相交，则 0321321010101=---=∆n n n m m m z z y y x x 且332211n m n m n m ≠≠ （3）两直线302010m z z m y y m x x -=-=-和312111n z z n y y n x x -=-=-异面，其中公垂线的方向向量为),,(321321321v v v n n n m m m kj iv ==→→→→，则两异面直线的距离为||||→∆=v d ；公垂线方程为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=---=---0032132111132132100v v v n n n z z y y x x v v v m m m z z y y x x例（1）求通过点)1,1,1(M 且与两直线321z y x ==和431221-=-=-z y x 都相交的直线方程解：设所求直线的方向向量为),,(c b a ，已知两直线的方向向量为)3,2,1(、)4,1,2(，且分别过点)0,0,0(、)3,2,1(则0321111=cb a ，即02=+-c b a ；0412210=--cba，即02=-+c b a 故b c a 2,0==，故)2,1,0(),,(=c b a 所求直线为211101-=-=-z y x （2）已知两异面直线0111+=-=z y x和011111-=-=-z y x ，求它们的距离与公垂线方程 （3）求与直线137182-=-=+z y x 平行且与下列两直线相交的直线 ⎩⎨⎧+=-=3465x z x z 和⎩⎨⎧+=-=5342y z x z （4）求过点)3,2,1(-P 与z 轴相交，且与已知直线22334--=-=z y x 垂直的直线方程（三）有关知识补充:1. 不在一条直线上的三点(,,)(1,2,3)i i i i P x y z i =的平面等价于11213,,PP PP PP 共面⇔11213(,,)0PP PP PP =⇔1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---。