平方根与立方根一对一辅导讲义

教学目标

1. 了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；

2. 会求一个非负数的平方根、算术平方根；

3. 掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；

4. 理解开立方与立方的关系。

重点、难点

重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。 难点：算术平方根与平方根的区别与联系。

考点及考试要求 以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主

教 学 内 容

第一课时 平方根与立方根知识梳理

1、求下列各数的算术平方根：

⑴100 ⑵6449 ⑶9

7

1 ⑷0001.0 ⑸0

2、求下列各式的值： （1）4 （2）81

49

（3）2)11(- （4）26

3、算术平方根等于本身的数有 。

4、求下列各数的算术平方根.

0025.0， 121， 24， 2)21(-，16

9

1

5、已知,011=-++b a 求b a 2+的值.

课前检测

一. 平方根：

1. 算术平方根的概念及表示方法

如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。当0a ≥时，a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。 2. 平方根的概念及其性质 （1）平方根的定义

如果一个数的平方等于a ，即2x a =，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。即如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根。

（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。当0a ≥时，a 的平方根表示为a ±。

（3）求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。 3. 用计算器求一个正数的算术平方根

用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。

二. 立方根：

1. 立方根的概念及表示方法 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。即如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根，记作3a 。正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0。

2. 开立方的概念

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。

3. 用计算器求立方根

很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。

第二课时 平方根与立方根典型例题

知识点一：算术平方根

例1. 下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。 （1）81； （2）16-； （3）0；

典型例题

知识梳理

所以10.45 3.23=

（2）因为7.9260.792610=⨯ 所以337.9260.4981000498=⨯=

解题后的思考：同学们可以将以前所学知识和这个知识点结合起来理解和记忆： 一个正数扩大10倍，则它的平方扩大100倍，立方扩大1000倍；

反之，一个正数缩小100倍，它的算术平方根缩小10倍；一个正数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍。

例10. 已知13m n M m --=+是3m +的算术平方根，2432m n N n -+=-是2n -的立方根，试求M N -的值。 思路分析：由13m n m --+是3m +的算术平方根可知12m n --=，由2432m n n -+-是2n -的立方根可知2433m n -+=，由此可得方程组，解得,m n 的值，从而求得,M N 的值，最后求出M N -的值。

解答过程：由题意可知12

2433m n m n --=⎧⎨-+=⎩

解方程组得6

3m n =⎧⎨

=⎩

所以，633M =+=，3321N =-=

所以，312M N -=-=。

解题后的思考：明确算术平方根和立方根的意义及表示方法。

例11. 若312x -与332y -互为相反数，求代数式

21

x y

+的值。 思路分析：由立方根的定义和性质可知，若312x -与332y -互为相反数，则有被开方数互为相反数。由此求出,x y 的关系式，然后代入求值。

解答过程：由题意得12320x y -+-=

所以，21

3

x y += 则

21

3x y

+=。 解题后的思考：熟悉掌握立方根的性质是解决这类问题的关键。

被开方数

名称

正数

0 负数 1 1-

算术平方根 1个（正数）

0 无 1

无 平方根

2个（一正一

负）

0 无 1±

无

立方根 1个（正数）

1个（负

1

1-

师生小结

数）

第三课时 平方根与立方根课堂检测

一、选择题：

1. 327-的绝对值是（ ） A. 3

B. 3-

C. 13

D. 13

-

2. 下列说法中正确的是（ ）

A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数

B. 负数没有立方根

C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根

D. 一个非零数的立方根与这个数同号 3. 与3最接近的数是（ ）

A. 0

B. 2

C. 4

D. 5 4. 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是（ ）

A. 1

B. 1±

C. 0或1

D. 1-或0 5. 计算2a -=（ ）

A. a

B. a -

C. 1-

D. 0

二、填空题：

6. （1）124

±=________； （2）3125--=___________；

（3）38

27

-

=________；

（4）3825-+=________；

（5）33

1

81627

-⨯=________； 7. 364的平方根是__________；

8. 1710+的小数部分为___________；

9. 下列说法中正确的是_________________（将序号填写在横线上） ①4的平方根是2； ②4的算术平方根是2； ③2-是4的平方根； ④16-的平方根是4-；

⑤0.3是0.09的平方根； ⑥0.4的算术平方根是0.2。 10. 如果332158x x -=-+，那么2x =_______。

三、解答题：

课堂检测