《高数》定积分

得到 n 个小区间 [xi1，xi ]，其长度记为 xi xi xi1
(i
1，2，，n)，记
max
1in
xi
，任取
i
[xi1，xi ]，
n
n
作和式 f (i )xi，如果lim f (i )xi存在，则称
i 1
0 i1
此极限值为函数 f (x) 在[a，b] 上的定积分，记为
lim b
n
f (x)dx
便得曲边梯形面积A的近似值，即
n
n
A Ai f (i )xi
i 1
i 1
(4)、取极限 为了保证分割是无限细密
的，记小区间长度的最大值为
max
1in
xi
，
当 0时，和式
n
A lim f (i )xi 0 i1
定义 设函数 y f (x)在[a，b]上有定义，在[a，b]
中任意取n 1个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b，
2、定积分是一种特定的和式极限，它的 值仅与被积函数 f (x) 及积分区间[a，b] 有关， 而与积分变量用什么字母表示无关，即
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
3、定义中假定了a b，当a b时，规定
b
a
a f (x)dx b f (x)dx
4、当 a b 时，规定
由连续曲线 y f (x) 与直线 x a、x b及
x 轴围的图形，
y
称为曲边梯形。
y f (x)
具体做法
如下：
x a x0 xi1 i i
x xn b
y
y f (x)
x a x0 xi1 i i
x xn b
(1)、分割 在[a，b]中任意取n 1个分点 a x0 x1 xn1 xn b，把区间 [a，b] 分成 n 个小区间[xi1，xi ]，每个小区间的长度 记为x xi xi1(i 1，2，，n).
a
f (x)dx
a
0
2) 若 f (x)为奇函数，则 a f (x)dx 0 a
证明：见 pag.106.例题5.8
1
2)
dx
0 4 x2
a3 1 a2 a 2
解：1 0
dx 4 x2
arc
s
in
x 2
1
0
arc
sin
1
arcsin0
π
2
6
1
3) x dx 1
解：
x
x，
x，
1 x 0 0 x 1
1
0
1
x dx (x)dx xdx
1
1
0
x2
0
x2
1 1 1 1
2 1 2 0 2 2
b
f (x)dx 0
a
定积分的几何意义
对于区间 [a，b] 上的连续函数 f (x)，其定积分
的几何意义如下：
1)、当 f (x) 0时，定积分 b f (x)dx 表示由曲线 a
y f (x)与直线x a，x b及x轴所围成的曲边梯形
的面积。
2)、当 f (x) 0时，定积分 y a
性质4 在区间[a，b]上，若f (x) g(x)，则
b
b
a f (x)dx a g(x)dx
性质5 若f (x) 1，则 b f (x)dx b a a
性质6 设 M和m分别是函数 f (x)在[a，b] 上的最大值和最小值，则
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
b
a f (x)dx A1 A2 A3
由定积分的几何意义知：
y y 1 x2
1
1
x
2
dx
π
1
2
1
1x
y yx
1
1
0 xdx 2
0
1x
定积分的性质
假定函数 f (x)、g(x)在[a，b] 上都是可积的 . 性质1 被积函数中的常数因子k(k为常数)，
可提到积分号外，
b
b
a kf (x)dx k a f (x)dx
解：在基本积分公式中，当x 0时，1 的 x
原函数是ln x (见pag.79)，现在积分区间是
[2，1]，所以按牛顿— 莱布尼茨公式，有
1 dx ln x 1 ln 1 ln 2
2 x
2
ln 2
6)
设
f
( x)
x1 2
1 x2
当 x 1时，求 当x 1时，
2 0
f
(x)dx
解 : 设 f (x) ex2 x，在区间[0，2]上最大值与
最小值为
f (0) 1， f (2) e2
又 f (x) ex2 x (2x 1)，令 f (x) 0，得x 1 时， 2
f
( x)取得最小值 m
(1)2 1
e2 2
e
1
4，最大值
M
e2
1
2e 4
2 ex2 xdx 2e2
即x2 x3
1 x2dx 1 x3dx
0
0
2) 4 ln xdx 与 （4 lnx)2 dx
3
3
解：在区间[3，4]内，1 ln x 0，则
ln x (ln x)2 ln x(1 ln x) 0
4
ln x dx
4 (ln x)2 dx
3
3
例题2 估计下列各积分的值 5π
连续，则(x) x f (t)dt 就是 f (x)的一个原 a
函数，因此
x
f (x)dx a
f (t)dt
C
例题 求下列函数的导数
1) F ( x) b 1 t 2 dt x
解： d b 1 t 2 dt dx x d x 1 t 2 dt dx b 1 x2
1 x2
2) F(x) 0 1 t3 dt
b f (x)dx 表示由曲线y f (x) a
与直线x a，x b及 x 轴所围 成的曲边梯形的面积的负值。
b
x
y f (x)
y
A1
a
A3
A2
bx
3)、当 f (x) 既取正值又取负值时，定积分
b f (x)dx 表示由曲线 y f (x) 与直线 x a， a
x b及 x 轴所围成平面图形面积的代数和，即
例题 1 4 dx
1 1 x
解：设x t 2，dx 2tdt，x 1，t 1；x 4，t 2
4
dx
2
2t
dt 2
2 t 11 dt
1 1 x 1 1t
1 1t
2
2
dt
1
2 dt 1 1 t
2t
ln(1
t
)
2 1
2 2 ln 2 3
例题 2 a a2 x2 dx (a 0) 0 解 : 设 x a sin ，dx a costdt；
性质 2 两个函数代数和的定积分等于它们 定积分的代数和，
b
b
b
a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx
这一结论可以推广到有限个代数和的情形。
性质3 (积分区间的可加性） 设c [a，b]，则
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
解： 2 f (x)dx
1
(x 1)dx
2 1x2dx
0
0
12
( x2 x) 1 1 1 x3 2 1 1 1 [8 1] 8
2
0 23 1 2
6
3
注
在使用牛顿 — 莱布尼茨公式求定
积分时，被积函数必须连续的，否则会
意 引出错误的结论，见教材pag.104.
定积分的换元积分法（换元必换限）
x
0，t
0；x
a，t
π
2
a
a2 x2 dx a2
π
2 cos2
tdt
a2
π
2 (1 cos2t)dt
0
0
20
π
a2 2
t
1 2
sin
2t
2 0
a2 2
π2
1 2
0
πa 2 4
例题 3 3 dx
1 x2 1 x2
解：设 x tan t，dx sec2 tdt；
x
3，t
π；x
1，t
a
0
f (i )xi
i 1
其中：f (x)称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x称为积 分变量，[a，b]称为积分区间，a，b称为积分下限和积分上限。
几点说明：
n
1、若lim f (i )xi存在，则称 f (x) 在 0 i1
[a，b]上可积，否则，称 f (x)在[a，b]不可积。
f (x) 在[a，b]上可积的两个充分条件： 1)、设 f (x)在区间[a，b]上连续，则 f (x) 在 [a，b] 上可积。 2)、设 f (x) 在区间[a，b] 上有界，且只有有 限个间断点，则 f (x) 在[a，b] 上可积。
2π
4) 0 sinx dx
y
π
0
2π x
解： sinx
sin x sin x
0 x π π x 2π
2π
π
2π
0 sin x dx 0 sin xdx π (sin x)dx
π
2π
cosx cosx
0
π
[cosπ cos0] cos2π cosπ
111 (1) 4
5) 1 1dx 2 x
y
y f (x)
x a x0 xi1 i i
x xn b
(2)、近似 在每个小区间[xi1，xi ]上任取
一点
，则小曲边梯形的面积
i
Ai
可用以
f (i ) 为高，以 xi 为底的小矩形的面积
f (i ) xi 来近似代替，即
Ai f (i )xi (i 1，2，，n)
(3)、求和 把 n 个小矩形的面积加起来，
0
变上限积分函数
定义 设函数 f (x)在[a，b] 上连续，则对 任一 x [a，b]，f (x) 在[a，x] 上必可积，即定
积分 x f (x)dx 存在，且随上限x 的变化而变化， a
因此 x f (x)dx是一个关于上限x 的函数，称为 a
变上限积分函数，记为(x) x f (x)dx， a
x [a，b]，为避免混淆，把积分变量改为t ，
则有 (x) x f (t)dt，x [a，b] a
定理 如果函数 f (x) 在[a，b] 上连续，
则变上限积分函数(x) x f (t)dt 在[a，b] a
可导，且(x) f (x)
证明：见pag.102
由定理可知，如果函数f (x) 在[a，b] 上
又称为定积分的估值定理
性质（7 积分中值定理） 设函数 f (x)在[a，b]上连续，则在
（a，b)内至少存在一点，使得
b
a f (x)dx f ( )(b a)
例题1 利用定积分的性质，比较下列积分大小
1) 1 x2dx 与 1 x3dx
0
0
解：在区间[0，1]内，x2 x3 x2 (1 x) 0，
解 : 设 x2 u，则
dF du d
du dx du
u 0
1 1 t3
dt
2x
1 1u3 2x
1
2
x x6
3) F (x) x2 cos t 2dt x
解： F (x) x2 cost 2dt x
a cost 2dt x2 cost 2dt
x
a
x cost 2dt x2 cost 2dt
第五章 定积分 教学目的要求:
1、了解变上限定积分的性质，定积分 的几何意义；了解广义积分及其解法。
2、理解定积分的概念及其性质。 3、熟练掌握牛顿 — 莱布尼茨公式；掌 握定积分的换元法和分部积分法。
学习重点和难点
重点 牛顿 — 莱布尼茨公式、定积分的计算
难点 变上限定积分，定积分的换元法
求曲边梯形的面积
a
a
dF d x2 cost 2dt d x cost 2dt
dx dx a
dx a
cosx4 2x cos x2
2x cosx4 cosx2
x
ln(1 t)dt
例题 求极限
0
lim x0
x2
解：x 0时，x ln(1 t)dt 0，此时极限 0
为“0”型不定式，利用洛必 达法则，有
b
a f (x)dx F (b) F (a)
证明：见 pag.103 为了方便起见，公式常写为
b
b
a
f (x)dx F (x) F (b) F (a) a
例题 求下列定积分
1) （a 3x2 x 1)dx 0
解：
（a 3x2
0
x
1)dx
3
x 21 2 1
x11 11
a x 0
0x
x
ln(1 t)dt
( ln(1 t)dt)
0
lim lim x0
x2
x0
0
(x2 )
1
lim x0
ln(1 2x
x)
(
0 0
)
lim x0
1
2
x
1 2
牛顿 — 莱布尼茨（Newton — Leibniz)公式
定理 设函数 f (x) 在[a，b] 上连续，F (x) 是 f (x)的一个原函数，则
π
3
4
3
1 x2
dx 1 x2
π 3
sec2 tdt
π 4
tan
2
t
s
ect
π 3
c
ost
wenku.baidu.com
π 4
sin
2
t
dt
π3 d (sin t)
π 4
sin2 t
1 sin
t
π
3
π 4
22 3
3
设 f (x)在[a，a]上连续(a 0)，求证：
1）若
f (x)为偶函数，则 a
f (x)dx 2
1)
4 π
(1
sin 2 x)dx
解：4 在区间[π，5π]上，函数 f (x) 1 sin2 x 44
之最大值和最小值分别为
M f (π） 112 2， m f (π) 1 2
积分区间 b a 5πππ 44
5π
π
4 π
(1 sin2 x)dx 2π
4
2) 2 ex2 xdx 0