第一章网络理论基础(3)

2
p(t) ukik u1i1 u2i2 i1r1i1 (i2 i1)r2i2 k 1
[i1，i2
]
r1
1 2
r2
1 2
r2
r2
i1
i2
0
若
r1
1 2
r2
1 2
r2
r2
0，即正定
2
r1 0 ，r1r2 2r22 / 4 0 ，
r1 ，无源 ，
r2 2 r1 ，有源，可能为负 有源
图a电路中，只有j支路中有电压源uj，其在k支路中产生 的电流为 ikj 。
图b电路中，只有k支路中有电压源uk，其在j支路中产生
的电流为 ijk 。 j支路 a
uj + –
b
k支路
k支路
线性
c j支路 a
c
线性
–
电阻 网络
ikj
ijk
电阻 网络
uk
N
N
+
d
b
d
(a)
(b)
当 uk = uj 时，ikj = ijk 。
有 ⊙独立源、负值电阻、负值电容、负值电感
源 元
⊙受控源、运放、跨导、负阻抗变换器
件 ⊙伏安特性曲线部分位于第二或四象限的二端电阻
w(t) 0，当式中的等号只有在u和i同时为零时才成立
时, 电阻元件称为严格无源的(Strictly Passive)
需要指出：要证明元件（网络适用）是无源的，需 要证明对于所有的容许信号偶和任何时刻下式成立
影响(其中r1>0, r2>0)。 i1
解：列出相应的电路
+
方程
u1 r1i1
i2
i1
1 r2
u2
u2 r2i2 r2i1
u1
r1
Z
r1
r2
0
r2
i2
+ i1 r2 u2
注意：在判断网络的有源性时要重排二次型！
有二次型 f (x) xT Ax ，如果对任何x(x 0)，都有
f(x)>0, 则称f为正定二次型，并称A是正定的
• 互易性若干命题 由互易元件构成的n端口，是互易n端口（充要）; 由R,C，L组成的 n口网络是互易的; 含受控源的n口网一般不互易，互易n端口内不存在独立源。
• 互易定理有三种形式：(都可以用特勒根定理推导)
•互易定理 (Reciprocity Theorem)的三种形式
第一种形式: 激励电压源，响应电流
许信号偶u(t), i(t) 和任意时刻t, 恒有
p(t) uT (t)i(t) 0
该电阻元件才是无源的。 证明：1 充分性
由于电阻元件不储存能量，所以有：W (t0 ) 0
p(t) uT (t)i(t) 0
W (t) W (t0)
t uT ( )i( )d 0
t0
2. 必要性 电阻元件是无源的
系统（system） 一群有相互关联的个体组成的集合称为系统。系统是 由若干要素（部分）组成的；系统有一定的结构；系 统有一定的功能。可以分为自然系统、人工系统、复 合系统。例如交通系统、电力系统、计算机系统等都 是人工系统。
电力系统 electric power system，power system 由发电、变电、输电、配电和用电等环节组成的电 能生产、传输、分配和消费的系统。它把自然界的 一次能源通过发电动力装置转化成电能，再经输电、 变电和配电将电能供应到各用户。
i（（ 1） s），i（2（） s）的任意性
z（T s） （z s），即（z s）为对称阵，同理（ y s）也为对称阵
• 互易性与非互易性也可用其它网络参数表示
• 若 z（T s） z（s）称为反互易的，否则为非互易的。
若[u1(s)]TI2(s）= [u2(s)]TI1(s）=（ [I1(s)]TU2(s）,称为互易的。
网络是从某种相同类型的实际问题中抽象出来的模 型，习惯上就称其为某某类型网络，如电力网络、 开关网络、运输网络、通信网络等。“三网”：电 信网络、有线电视网络、计算机网络。
电路也称为电网络或者网络。当研究一般性的抽象 规律时，多用网络一词，而讨论一些指定的具体问 题时又称为电路。
本课程中，电路与网络将不加以区分。注意：网络 有电网络和非电网络之分，本课程所说的网络都是 指电网络。
电网络其性质的定义： 根据组成网络的元件性质看－－传
统型(电路课程中介绍的网络性质就 是传统型性质) 根据网络方程 根据输入－输出关系－－端口型
只讨论端口型性质
一. 有源性与无源性
1. 定义: 设{u(t)，i(t)}为n端口网络的任意容许偶，t 为任意时
间，如果恒有
t
t
w(t) u（T t）（i t）dt 0，w（t） u（T t）（i t）dt w（t0） 0
t0
则称该n端口网络是无源的，否则称该n端口网络是有源的。
无源元件在任何时刻获得的能量为正,或者说它释放的 能量(比如电容或电感)不能超过它过去获得的能量.
有源与无源区分的明显标志是元件能否持续地提供电能
参数为正常数的R,L,C 元件均为无源元件,否则为有源元件
线性时不变电阻元件的无源判据 ▪ 对于线性时不变电阻元件, 当且仅当对于任意的容
w(t) 0
要证明元件是有源的，只要证明对于某一容许信号 偶和某一特定时刻，上式不成立
二. 有损与无损性
1. 定义 设{u(t)，i(t)}为n端口网络的任意容许偶，且 u(t)和i(t)是平方可积的,即
u（ k2 t）dt ， i（ k2 t）dt
若： u（T t）i（t）dt 0
第二种形式: 激励电流源，响应电压
jk
+
+
jk
ij
ukj
ujk
ik
j' k'
–
–
j' k'
(a)
(b)
当 ik = jj 时，ukj = ujk
第三种形式:
激励电压源，响应开路电压 激励电流源，响应短路电流
uj +
jk
+
ukj
ijk
jk
ik
–
j' k'
–
j' k'
(a)
(b)
当 uj = ik 时，ukj = ijk
对于多口元件来说，总的瞬时功率为零，并不 意味着每个端口瞬时功率为零。就是说，当某些 端口的功率为正时，必然有另一些端口的瞬时功 率为负。因此多口的非能元件能够在各个端口之 间传递功率。
四.互易性与非互易性
电路里, 一个双口元件是互易的，是指它具有这样的性质：当 激励和响应的位置互相对调时，将不改变同一激励所引起的 响应。 • 互易性与非互易性的另一种表达形式 设：n端口网络不存在独立源，∃Z(S) 或Y(S）则有：
随着大规模集成技术的发展，三者之间的界限越 来越模糊，它们的差别主要在处理问题的角度不同 （看待问题的观点不同）。
电路的观点：考虑电路中元件的拓扑，参数，电 路的物理量(支路或网络的电流，电压等)以及电路 内在电气结构。
网络的观点：确定一定结构和参数的网络具有的 特性；
系统的观点：着重在输入、输出的关系（整体功 能！）。一般系统关心的是“全局问题”，网络 关注“局部问题”，但没有严格的界限。
则称该n端口网络是无损的，
否则称该n端口网络是有损的。
上式说明输入到网络的能量能全部输出.
三. 非能性 设{u(t)，i(t)}为n端口网络的任意容许偶, t为任意实数,
若 uT(t) i (t) ≡0 ，则称该n口网络是非能的，否则称为 是能量的（跟能量有关，或有损，或有源）
物理意义是任何时刻，既不消耗电能，也不释 放（可以传输）电能 例如理想变压器，理想回转器都是非能的。 显然，非能是无损的特例，无损包含非能。
§1-11 网络与元件的基本性质
1. 电路、网络与系统 电路（circuit）
由电路元件(发、变、输、配（控）、用)与导线构成 的电流的通路(广义性)。简单的
网络（network）
网络（network）是指电路或电路的一部分；作为一 个整体看待的、由相互连接的电路元件所构成的集； 可用支路和结点表示的，由节点和连线构成的图。
r2
3.小结 1) 原电路理论: 无源,不含独立源,可含受控源
电网络理论: 无源 w(t) 0,有源w(t) 0
2) 含受控源和运放的网络一般为有源 3) 一端口元件,等效r>0
n端口， 电阻阵正定 ， n端口为无源
有无源性示例
无 ⊙正值电阻、正值电容、正值电感
源 元
⊙理想变压器、回转器
件 ⊙伏安特性曲线位于第一、三象限的二端电阻
p(t) uT (t)i(t) 0 成立
假设论断不真，则至少存在一个时刻 t1
此时的容许信号偶 {u(t1), i(t1)}使得：
p(t1) uT (t1)i(t1) 0
那么：W (t)
t t0
uT
(t1
)i(t1
)d
0
所以电阻有源，与条件相矛盾。
2.应用 例试判断图示电路β取值对网络有(无)源性的
u(1（) s） z（s）i（1） （s），u(2（) s） z（s）i（2） （s） 代入上式
i（（ 1） s）T z（T s）i（2（） s） i（（ 1） s）T u（2（） s） i（（ 1） s）T z（s）i（2（） s）
i（（ 1） s）T z（T s） z（s）i（2（） s） 0，