八年级数学上册期末试卷培优测试卷

八年级数学上册期末试卷培优测试卷

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图1所示，已知点D 在AC 上，ADE ∆和ABC ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点.

（1）求证：BMD ∆为等腰直角三角形；

（2）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，如图2所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；

（3）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.

【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析.

【解析】

【分析】

()1根据等腰直角三角形的性质得出45ACB BAC ∠∠==，

90ADE EBC EDC ∠∠∠===，推出BM DM =，BM CM =，DM CM =，推出BCM MBC ∠∠=，ACM MDC ∠∠=，求出

22290BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠=+==即可．

()2延长ED 交AC 于F ，求出12

DM FC =，//DM FC ，DEM NCM ∠=，根据ASA 推出EDM ≌CNM ，推出DM BM =即可．

()3过点C 作//CF ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，推出MDE ≌MFC ，求出DM FM =，DE FC =，作AN EC ⊥于点N ，证BCF ≌BAD ，推出

BF BD =，DBA CBF ∠∠=，求出90DBF ∠=，即可得出答案．

【详解】

()1证明：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，

45ACB BAC ∠∠∴==，90ADE EBC EDC ∠∠∠===

点M 为EC 的中点，

12BM EC ∴=，12

DM EC =， BM DM ∴=，BM CM =，DM CM =，

BCM MBC ∠∠∴=，DCM MDC ∠∠=，

2BME BCM MBC BCE ∠∠∠∠∴=+=，

同理2

DME ACM

∠∠

=，

22224590 BMD BCM ACM BCA

∠∠∠∠

∴=+==⨯= BMD

∴是等腰直角三角形．

()2解：如图2，BDM是等腰直角三角形，

理由是：延长ED交AC于F，

ADE和ABC

△是等腰直角三角形，

45

BAC EAD

∠∠

∴==，

AD ED

⊥，

ED DF

∴=，

M为EC中点，

EM MC

∴=，

1

2

DM FC

∴=，//

DM FC，

45

BDN BND BAC

∠∠∠

∴===，

ED AB

⊥，BC AB

⊥，

//

ED BC

∴，

DEM NCM

∠

∴=，

在EDM和CNM中

DEM NCM

EM CM

EMD CMN

∠=∠

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠

⎩

EDM

∴≌()

CNM ASA，

DM MN

∴=，

BM DN

∴⊥，

BMD

∴是等腰直角三角形．

()3BDM是等腰直角三角形，

理由是：过点C作//

CF ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，

可证得MDE ≌MFC ，

DM FM ∴=，DE FC =，

AD ED FC ∴==，

作AN EC ⊥于点N ，

由已知90ADE ∠=，90ABC ∠=，

可证得DEN DAN ∠∠=，NAB BCM ∠∠=，

//CF ED ，

DEN FCM ∠∠∴=，

BCF BCM FCM NAB DEN NAB DAN BAD ∠∠∠∠∠∠∠∠∴=+=+=+=， BCF ∴≌BAD ，

BF BD ∴=，DBA CBF ∠∠=，

90DBF DBA ABF CBF ABF ABC ∠∠∠∠∠∠∴=+=+==，

DBF ∴是等腰直角三角形，

点M 是DF 的中点，

则BMD 是等腰直角三角形，

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．

2．已知4AB cm =，3AC BD cm ==.点P 在AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在BD 上由点B 向点D 运动，它们运动的时间为()t s ．

（1）如图①，AC AB ⊥，BD AB ⊥，若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，ACP △与BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；

（2）如图②，将图①中的“AC AB ⊥，BD AB ⊥”为改“60CAB DBA ∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为/xcm s ，是否存在实数x ，使得ACP △与BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）全等，PC 与PQ 垂直；（2）存在，11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩

【解析】