第9讲 解三角形与平面向量 答案版

在ABC △中， a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边，有以下关系： ⑴角与角关系：πA B C ++=；

⑵边与边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

⑶边与角关系：正弦定理2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为外接圆半径）

； 余弦定理2222cos c a b ab C =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos a b c bc A =+-； ⑷面积公式：111

sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===．

尖子班学案1

【铺1】 （2010山东文15）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，

若a 2b =

，sin cos B B +A 的大小为 ． 【解析】 π

6

考点：正弦定理与余弦定理

知识梳理

知识结构图

经典精讲

9.1解三角形

第9讲

解三角形与平面向量

【例1】 ⑴ （2010湖南文7）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．若120C ∠=︒，

c =，则（ ）

A ．a b >

B ．a b <

C ．a b =

D ．a 与b 的大小关系不能确定 ⑵（2010上海文18）若ABC △的三个内角满足sin sin sin 51113A B C =∶∶∶∶．则ABC △（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形

C ．一定是钝角三角形

D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ⑶ 在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） A ．104570b A B ==︒=︒，， B ．7108a b c ===，， C ．7580a b A ===︒，， D ．141645a b A ===︒，， ⑷ （2010宣武一模文7）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，

若S 表示ABC △的面积，若cos cos a B b A +sin c C =，()

2221

4

S b c a =+-，则B ∠的度数为（ ）

A ．90︒

B ．60︒

C ．45︒

D ．30︒

【解析】 ⑴ A.

⑵ C ⑶ D ⑷ C

目标班学案1

【拓2】 在锐角ABC △中，2B A =，则b

a

的取值范围为________． 【解析】

【备选】 （2010海南理16）

在ABC △中，D 为边BC 上一点，1

2

BD DC =，120ADB ∠=︒，2AD =，

若ADC △

的面积为3，则BAC ∠= ．

【解析】 60︒

尖子班学案2

【铺1】 （2010东城二模文15）

在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a =，4cos 5

B =

． ⑴ 若3b =，求sin A 的值；

⑵ 若ABC △的面积3ABC S =△，求b ，c 的值．

【解析】 ⑴ 2

sin 5

A =．

⑵ 5c =

；b =

考点：正余弦定理的应用 【例2】 （2010辽宁文17）

在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++． ⑴ 求A 的大小；

⑵ 若sin sin 1B C +=，试判断ABC △的形状．

120°C

A

【解析】 ⑴ 2π

3

A =

． ⑵ ABC △是等腰的钝角三角形．

目标班学案2

【拓2】 （2010陕西文17）在ABC △中，已知45B =︒，D 是BC 边上的一点，10AD =，14AC =，

6DC =，求AB 的长. 【解析】

AB =

【备选】 （2010西城二模理15）

如图，在四边形ABCD 中，3AB =，2AD BC CD ===，60A =︒． ⑴ 求sin ABD ∠的值； ⑵ 求BCD △的面积．

【解析】 ⑴ sin ABD ∠

=

⑵ BCD △

的面积S =

已知在ABC △中，5cos 13A =

，3

sin 5

B =，则cos

C =（ ） A ．1665 B ．5665 C ．1665或5665

D ．1665-或5665-

【解析】 A

知识结构图

9.2 平面向量

C

B

A D

一、平面向量的概念：

1．向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量的概念． 2．向量的运算：

⑴向量加法有“三角形法则”、“平行四边形法则”、多边形法则； ⑵向量的减法：()

a b a b -=+-．

⑶数乘向量a λ，长度为a λ，方向与a 相同（0λ>）或相反（0λ<）； 3．向量共线的条件：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b a λ=． 4．平面向量的基本定理：

如果12e e ，

是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12a a ，使：1122a a e a e =+．其中不共线的向量12e e ，

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

二、平面向量的数量积与坐标运算

⑴两个非零向量的夹角：作OA a =，OB b =，则A O B θ∠=（0πθ≤≤）

叫a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，． ⑵已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅叫做a 与b 的数量积（或内积）． ⑶向量的坐标运算：()12a a a =，

，()12b b b =， ()1122

a b a b a b ±=±±，；()12a a a λλλ=，；1122a b a b a b ⋅=+； 1

2210a b a b a b ⇔-=∥；11220a b a b a b ⊥⇔+=； 2a a a a =⋅=+；2

cos a b a b a b

a ⋅〈〉=

=

+，．

<教师备案>向量中两个常用的结论：

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