无穷级数傅里叶级数

S(x) 0
x k
(k 0,1,2,L )
第 十
1 (2k 1) x 2k
一
章 S(0) 0, S(1) 1
S( ) 0
无
穷 S(5) S(5 2 ) 1
级 数
- 10 -
第三节 傅里叶级数
3 函数展开成傅立叶级数 1) 以2为周期 的周期函数的傅立叶级数
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
2
(an
cos n x d x bn
sin n x d x)
n1
1
a0
f (x)d x
-5-
第三节 傅里叶级数
f ( x)cos kx d x a0
coskx d x
2
第
n1 an
cosk x cos n xd x bn
cosk
x
sin
n
x
d
x
十 一 章
-8-
第三节 傅里叶级数
例1.设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
1 , x 0
第
f (x)
1, 0 x
十 一
S
(x)为f
(x)
的傅立叶级数的和函数，求
S(
x)
的表达式
章 及 S(0), S(1), S( ), S(5).
无 穷
解: f ( x) 在 (0, ) 连续，所以S( x) f ( x) 1, x (0, )
(1)n1 n
sin nx)
( x , x (2k 1) , k 0, 1 , 2 , )
- 12 -
第三节 傅里叶级数
例3. 设 f ( x 2 ) f ( x), 且
将函数 f ( x)展开成傅立叶级数。
解:
a0
1
f (x)d x
第
y
o
x
十
一
章 无
an
1
f ( x)cos nx dx
ak
cos2k x d x
(利用正交性)
无
穷
ak
1
f ( x)cos k x d x
( k 1, 2, )
级
数 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
1
bk
f ( x)sin kx d x (k 1 , 2 ,
)
-6-
第三节 傅里叶级数
因此
an
1
f ( x)cos n x d x
2
第
an
1
f ( x)cos nxdx 1
0
x cos nx d x
十 一 章
1
x
sin n
nx
cos nx n2
0
1
(1)n
n2
无 穷 级
bn
1
f ( x)sin nx d x 1
0 x sin nxdx (1)n1
n
数
f (x)
4
1 (1)n
(
n1
n2
cos nx
穷 级 数
2
x sin nx n
cos nx n2
0
2((1)n 1
n2
)
4
( 2 k 1)2
,
n 2k 1
第
十一上的表达式为
章
y
3 2 2 3
o
x
无
穷
级数将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: f ( x) 在 x (2k 1) 连续，因此其傅立叶级数
收敛到
f ( x),
当
x
(2k
1) 时，收敛到
0
2
.
2
- 11 -
第三节 傅里叶级数
a0
1
f (x)d x
1
0
x
d
x
1
x2 2
0
级 数
f ( x) 在( ,0)连续，所以 S( x) f ( x) 1, x ( ,0)
S(0) f (0 0) f (0 0) 1 (1) 0
2
2
S( ) f ( 0) f ( 0) 1 (1) 0
2
2
-9-
第三节 傅里叶级数
所以由周期性可知
1 2k x (2k 1)
(n 0,1,2,L )
②
第 十 一
1
bn
f ( x)sin nx d x (n 1, 2,
)
章
由公式 ② 确定的
无
称为函数 的傅里叶系数 ;
穷 级
以
的傅里 叶系数为系数的三角级数 ① 称为
数 的傅里叶级数 .
-7-
第三节 傅里叶级数
2 傅立叶级数的收敛性
定理 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
级
数
2)
b
a
2 n
(
x
)dx
n
0
则称函数系{ k ( x)}(k 0,1,2L ) 是区间 [a,b]上正交函
数系。
-2-
第三节 傅里叶级数
由于
1cos nx d x
1sin nx d x 0
cos k x cos nx dx
第
十
一 章
1 2
cos(k n)x cos(k n)x d x 0
(an
k 1
cos nx
bn
sin
nx
)ຫໍສະໝຸດ Baidu
称上述形式的级数为三角级数.
-1-
函数系
第三节 傅里叶级数
称为三角函数系。
第 定义 设函数系 { k ( x)}(k 0,1,2L ) 是一簇定义在
十
一 章
[a, b]
上的平方可积的函数，如果满足条件：
b
无
穷
1)
a m ( x) n( x)dx 0 (m n)
无 穷 级
同理 sin k x sin nx dx 0 (k n )
数
cos k x sin n xd x 0
11dx 2
cos2 n x dx
sin2 nx dx
-3-
第三节 傅里叶级数
因此， 三角函数系是区间 [ , ] 上的正交函数系。 同理， 三角函数系是区间 [0,2 ] 上的正交函数系。
第三节 傅里叶级数
一 三角函数系及其正交性
简单的周期运动 :
(谐波函数)
( A为振幅, 为角频率, 为初相 )
第 十
复杂的周期运动 :
一 章
(谐波迭加)
无
An sinn cos n t An cosn sin n t
穷
级 数
令
an An sinn , bn An cosn ,
得函数项级数
a0 2
第 十 一 章 无 穷 级 数
-4-
第三节 傅里叶级数
二 函数展开成傅立叶级数
1 傅立叶系数
设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
第 十 一
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos
nx
bn
sin
nx)
①
章右端级数可逐项积分, 则由条件,对①在
逐项积分
无 穷 级 数
f ( x)dx a0
dx
第 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
十 2) 在一个周期内只有有限个极值点,
一
章则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成
无
傅里叶级数的条
穷
件比展成幂级数
级
数
f
f (x) ,
( x 0)
2
f
(x
0)
,
x x
为连续点 为间断点
的条件低得多. ( 证明略 )
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 .