矢量代数的基本知识

含平行四边形法则和三角形法则

平行四边形法则 三角形法则

B A

C ρρρ+= 加法满足：

交换律：A B B A +=+

结合律：C B A C B A ++=++)()( 零矢量的定义：A A =+0 2. 矢量的数乘

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧<>==反向与同向与方向大小A C A C A C C A 0 0 λλλλ 结合律：A A ) () ( μλμλ= 分配律：B A B A )( λλλ+=+

0)1(=⨯-+=-A A A A

3. 矢量的分解

在一个平面内，若存在两个不共线的矢量1e 和2e ，则平面内的任一矢量可以分解

为：2211e A e A A +=。

（1）正交分解：选择21e e ⊥

（2）三维空间中应有3个不共面的矢量 4. 矢量的标积（点积、内积）

（1）定义 cos θAB B A S =⋅=；其中θ 为A 与B 的夹角。如果B 为

单位矢量，则B A ⋅为矢量A 在B 方向上的投影（分量）。

（2）性质

举例说明

交换律：A B B A ⋅=⋅

分配律：C B A C B A ⋅+⋅=+⋅A ) (βαβα

02≥=⋅A A A

若0=⋅B A ，则可能是0=A 或0=B

或B A ⊥。

5. 矢量的矢积（叉积、外积） （1）定义：C B A =⨯

大小：

)

0( sin πθθ<<=⨯=AB B A C ，平行四边形

的面积。

方向：A 至B 右手螺旋方向。 （2）性质

) () ()( 0

)( B A C C A B C B A A A C A B A C B A A

B B A ⋅-⋅=⨯⨯=⨯⨯+⨯=+⨯⨯-=⨯βαβαρρρρ

6. 矢量的混合积

C A B A C B B A C C B A •⨯-=⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯) () () () （

几何意义：以A 、B 和C 为棱边的平行六面体的体积。 7. 注意

*矢量的非法运算包括：

Λ

D e C B A

,,ln ,1

*矢量与标量不能相等！

*书写时别忘记加上矢量号（帽子）。 三、正交坐标系 1. 正交坐标系的基失

一个坐标系需要由基矢量组成的基，基矢量相互正交的坐标系称为正交坐标系。直

角坐标系是正交坐标系，它的基为：),, k j i ρ

ρρ（

。

指明叉乘的意义