椭球面元素归算至高斯平面

• 2、地图投影的变形
1）长度变形 2）面积变形 3）角度变形
1． 墨卡托(Mercator)投影
• 墨卡托投影为正轴等角切圆柱投 影，是由墨卡托于1569年专门为 航海目的设计的。其设计思想是 令一个与地轴方向一致的圆柱切 于或割于地球，将球面上的经纬 网按等角条件投影于圆柱表面上， 然后将圆柱面沿一条母线剪开展 成平面，即得墨卡托投影 。 • 该投影的经纬线是互为垂直的平 行直线，经线间隔相等，纬线间 隔由由赤道向两极逐渐扩大。图 上任取一点，由该点向各方向长 度比皆相等，即角度变形为零。 在正轴等角切圆柱投影中，赤道 为没有变形的线，随纬度增高面 积变形增大。
[知识点及学习要求]
1．高斯投影的基本概念； 2．正形投影的一般条件；
3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换
—高斯投影的正算与反算 4．椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算； 5．高斯投影的邻带换算； 6．工程测量投影面与投影带的选择。 [难点]在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的
概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算； 高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的 选择。
• 3、中国各种地图投影：
1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方 位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割 圆锥投影。 • 2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正 轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投 影（宽带）。 • 3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时 期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯克吕格投影（解放以后）。
2、地图投影的分类
• 1）按变形性质分类
•
• •
• •
（1）等角投影 又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应 两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比 都相等，但在不同地点长度比是不同的。 （2）等积投影 在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形 等于零。 （3）等距投影 定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方 向长度比为1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方 向上没有长度变形。
1).高斯投影的原理:
高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差 高斯投影平面 分带，分别进行投影。
N 中 央 子 午 线
c
赤道
赤道
S
2)、高斯投影必须满足：
（1）高斯投影为正形投影， 即等角投影；
（2）中央子午线投影后为直
线，且为投影的对称轴；
（3）中央子午线投影后长度
不变。
3)、高斯投影的特点:
（ a） （b）
•
相切或相割纬圈称为标准纬圈，显然，标准纬圈在圆锥展开后不 变。两条纬线间的经线长度处处相等。投影的不同变形性质，只是反 映在纬线间隔的变化上。也就是说，圆锥投影的各种变形都是纬度φ 的的函数，而与经度λ无关。对某一个具体的变形性质而言，在同一 条纬线上，其变形值相等。在同一条经线上，标准纬线外侧为正变形， 两条标准纬线之间为负变形。因此切圆锥投影只有正变形，割圆锥投 影既有正变形又有负变形。 • 由于圆锥投影具有上述的变形分布规律，因此该投影适于编制处 于中纬地区沿纬线方向东西延伸地域的地图。由于地球上广大陆地均 位于中纬地区，同时圆锥投影的经纬网又比较简单，该投影得到了广 泛应用。尤其是正轴割圆锥投影，使用非常普遍。 • 我国新编1:100万地形图，使用的便是边纬与中纬变形绝对值相 等的等角割圆锥投影。等角割圆锥投影还广泛应用于我国编制出版的 全国1:400万、1:600万挂图，以及全国性的普通地图和专题地图等。
按照6º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=6ºN－3º （N为6º带的带号） 例：20带中央子午线的经度为： L。＝6º× 20－3º＝117 º 按照3º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3º， 其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=3ºn （n为3º带的带号） 例：120带中央子午线的经度为 L。＝3º× 120＝360 º
x
平行圈
赤道 子午线
O
y
中央子午线
4)、投影带的划分
我国规定按经差6º和3º 进行投影分带。
6º带自首子午线开始， 按6º的经差自西向东分成60 个带。
3º带自1.5 º开始，按 3º的经差自西向东分成 120个带。
高斯投影带划分
6º带与3º带中央子午线之间的关系如图:
3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午线重 合，减少了换带计算。 工程测量采用3 º带，特殊工程可采用1.5 º带或任意带
8.1 地图投影概述
1.投影与变形
所谓地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、 方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个 问题的专门学科叫地图投影学。
x F1 ( L, B) y F2 ( L, B)
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上 的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平 面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差 异称作投影的变形
若已知某点的经度为L，则该点的6º 带的带号N由下式计算：
L N int( ) 1 6
若已知某点的经度为L，则该点所在 3º带的带号按下式计算：
L n （四舍五入） 3
高斯平面直角坐标系的建立：
x轴 — 中央子午线的投影 y轴 — 赤道的投影 原点O — 两轴的交点
赤道 O y x
高斯自 然坐标
（1）中央子午线投影后为直 线，且长度不变。 （2） 除中央子午线外，其余 子午线的投影均为凹向中央 子午线的曲线，并以中央子 午线为对称轴。投影后有长 度变形。 （3） 赤道线投影后为直线， 但有长度变形。
中央子午线 赤道 子午线 平行圈
x
O
y
（4） 除赤道外的其余纬线，投 影后为凸向赤道的曲线，并以赤 道为对称轴。 （5）经线与纬线投影后仍然保 持正交。 （6） 所有长度变形的线段，其 长度变形比均大于l。 （7）离中央子午线愈远，长度 变形愈大。
2）按投影面的形状分类
• （1）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或 相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 • （2）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱 面展为平面而成。 • （3）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥 面展为平面而成。
S
UTM与高斯投影的异同：
（1）UTM是对高斯投影的改进，改进的目的是为了减少投影变形。 （2）UTM投影的投影变形比高斯的要小，最大在0.001。但其投影变形 规律比高斯要复杂一点，因为它用的是割圆柱，所以，它的m＝1的地方 是在割线上，实际上是一个圆，处在正负1°40′的位置，距离中央经线大 约180km。 （3）UTM投影在中央经线上，投影变形系数m＝0.9996，而高斯投影的 中央经线投影的变形系数m＝1。 （4）UTM为了减少投影变形也采用分带，它采用6°分带。但起始的1带 是（e174°－e180°），所以，UTM的6°分带的带号比高斯的大30。 （5）很重要的一点， 高斯投影与UTM投影可近似计算。计算公式是： XUTM=0.9996 * X高斯 YUTM=0.9996 * Y高斯 这个公式的误差在1米范围内，完全可以接受。
• UTM投影全称为“通用横轴墨卡托投影” （Universal Transverse Mercator Projection ），是一种“等角横轴割圆柱投影”，椭圆柱割
地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有 变形，而中央经线上长度比0.9996。UTM投影是为了全球战争需要创建 的，美国于1948年完成这种通用投影系统的计算。UTM投影分带方法与 高斯-克吕格投影相似，是自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，将 地球划分为60个投影带。 N
2、兰勃特投影（等角圆锥投影）
• 设有一个圆锥，其轴与地轴一致，套在地球椭球体上，然后将 椭球体面的经纬线网按照等角的条件投影到圆锥面上，再把圆 锥面沿母线切开展平，即得到正轴等角圆锥投影的经纬网图形。 其中纬线投影成为同心圆弧，经线投影成为向一点收敛的直线 束。当圆锥面与椭球体上的一条纬圈相切时，称切圆锥投影， 见图（a）；当圆锥面相割于椭球面两条纬圈时，称割圆锥投 影，见图（b）。
第八章 椭球面元素归算至投影面 ——高斯投影
一、高斯投影概述 （正形投影，高斯坐标正反算及换带计算） 二、把椭球面元素归算到高斯投影面 （方向改化，距离改化） 三、各种投影方法概述 四、工程测量投影面与投影带选择的概念
本章提要
本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上 直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地 坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向 平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和 方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相 邻带的坐标坐标换算。讨论在工程应用中，工 程测量投影面与投影带选择。
500km
y p2 = 500000+ y p2
= 227559.720m （带号）
例：来自百度文库
有一国家控制点的坐标:
x=3102467.280m ,y=19367622．380m，
（1）该点位于6˚ 带的第几带？ （2）该带中央子午线经度是多少？ （3）该点在中央子午线的哪一侧？
长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
AB E A m AB EA
有关投影的基本知识（了解）
• 1、地图投影的概念
在数学中，投影（Project）的含义是指建立两个点集 间一一对应的映射关系。同样，在地图学中，地图投影就 是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一对应 关系。地图投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地 球表面上的经纬线网表示到平面上。由于地球椭球体表面 是曲面，而地图通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时 首先要把曲面展为平面，然而球面是个不可展的曲面，即 把它直接展为平面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这 种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所 以必须采用特殊的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或 褶皱的平面。
P （ X， Y）
注：X轴向北为正，
y轴向东为正。
中央子午线
由于我国的位于
北半球，东西横跨12
个6º带，各带又独自
构成直角坐标系。
故：X值均为正，
赤 道
而Y值则有正有负。
世界地图
x p2 232836 .180 m .180m x xp 232836 yp 272440 .280 m y （带号） 227559 .720 m
8.2 高斯投影概述（重点）
1、控制测量对地图投影的要求
1）等角投影（又称正形投影） 2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起 的改正数。 3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样 的计算公式和用表把各带联成整体 。
2、高斯投影的基本概念
• 高斯投影是等角横切椭圆柱投影。 • 高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯(Gauss， 1777 ～ 1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格(Kruger， 1857～1923)加以补充完善，故又称“高斯—克吕格投影”， 简称“高斯投影”。
2
p2
2
x p1x 302855 .650m p 302855.650m 136780.360m y y .360m p (带号)636780
1
p1
1
国家统一坐标： xp xp , xp xp
1 1 2 2
p2
o
p1
y
y p1=500000+ y p1
= 636780.360m （带号）
4、常用的几种地图投影
从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用 的投影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最 常用的有横轴等角椭圆柱投影等。中华人民共和国 成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克 拉索夫斯基椭球体元素计算的高斯-克吕格投影。我 国新编1:100万地形图，采用的则是边纬与中纬变 形绝对值相等的正轴等角圆锥投影。