《刚体定轴转动》答案

第2章刚体定轴转动
一、选择题
1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C)
二、填空题
(1).v ≈15.2 m/s ，n 2＝500rev/min
(2).62.51.67ｓ
(3).g /lg /(2l )
(4).5.0N ·m
(5).4.0rad/s
(6).0.25 kg ·m 2 (7).Ma 2
1 (8).mgl μ21参考解：M ＝⎰M d ＝()mgl r r l gm l μμ2
1d /0=⎰ (9).()21
2
mR J mr J ++ω
(10).l g /sin 3θω=
三、计算题
1.有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量22
1mR J =，其中m 为圆形平板的质量） 解：在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为 总摩擦力矩mgR M M R μ3
2d 0==⎰ 故平板角加速度?=M/J
设停止前转数为n ，则转角?=2?n
由J /Mn π==422
0θβω 可得g R M J n μωωπ16/342020=π= 2.如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为
22
1MR ，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系．
解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程
对物体：mg －T ＝ma ①
对滑轮：TR =J ?②
运动学关系：a ＝R ?③
将①、②、③式联立得
a ＝mg /(m ＋
2
1M ) ∵v 0＝0， ∴v ＝at ＝mgt /(m ＋
21M ) 3.为求一半径R ＝50cm 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m 1＝8kg 的重锤．让重锤从高2m 处由静止落下，测得下落时间t 1＝16s ．再用另一质量m 2=4kg 的重锤做同样测量，测得下落时间t 2＝25s ．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量．
解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得
TR －M f ＝Ja /R ①
mg －T ＝ma ②
h ＝22
1at ③ 则将m 1、t 1代入上述方程组，得 a 1＝2h /21t ＝0.0156m/s 2
T 1＝m 1(g －a 1)＝78.3N
J ＝(T 1R －M f )R /a 1④
将m 2、t 2代入①、②、③方程组，得
a 2＝2h /2
2t ＝6.4×10-3m/s ? T 2＝m 2(g －a 2)＝39.2N
J=(T 2R －M f )R /a 2⑤
由④、⑤两式，得
J ＝R 2(T 1－T 2)/(a 1－a 2)＝1.06×103kg ·m 2
4.一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为?0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M ＝－k ?(k 为正的常数)，求圆盘的角速度从?0变为02
1ω时所需的时间． 解：根据转动定律：??????????????????J d ?/d t =-k ?????????????????????????????????????????????????? ∴t J
k d d -=ωω
两边积分： ⎰⎰-=t t J k 02/d d 100ωωωω
得 ln2=kt /J
∴t ＝(J ln2)/k
5.某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n 1转动，他的两手各拿一个质量为m 的砝码，砝码彼此相距l 1(每一砝码离转轴21l 1),当此人将砝码拉近到距离为l 2时(每一砝码离转轴为2
1l 2)，整个系统转速变为n 2．求在此过程中人所作的功．(假定人在收臂过程中自身对轴的转动惯量的变化可以忽略) 解：(1)将转台、砝码、人看作一个系统，过程中人作的功W 等于系统动能之增量：W ＝?E k ＝
212210222204)2
1(214)21(21n ml J n ml J π+-π+2 这里的J 0是没有砝码时系统的转动惯量．
(2)过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒：
2?(J 0＋2121ml )n 1=2?(J 0＋222
1ml )n 2 ∴()
()1222212102n n n l n l m J --=
(3)将J 0代入W 式，得()2221212l l n mn W -π=
6.一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求
(1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．
(2)经过多少时间后，圆盘停止转动．
(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为22
1MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) 解：(1)以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O 的角动量守恒．
m v 0R ＝(2
1MR 2＋mR 2)? (2)设?表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 为⎰π⋅=R f r r g r M 0
d 2σμ＝(2/3)??σgR 3＝(2/3)?MgR 设经过?t 时间圆盘停止转动，则按角动量定理有
－M f ??t ＝0－J ?＝－(2
1MR 2＋mR 2)?＝-m v 0R ()Mg m MgR R m M R m t f
μμ2v 33/2v v 000===∆ 7.一匀质细棒长为2L ，质量为m ，以与棒长方向相垂直的速度v 0在光滑水平面内平动时，与前方一固
定的光滑支点O 发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧
L 2
1处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬时绕O 点转动的角速度?．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为231ml ，式中的m 和l 分别为棒的质量和长度．)
解：碰撞前瞬时，杆对O 点的角动量为
式中?为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O 点的角动量为
因碰撞前后角动量守恒，所以
∴?=6v 0/(7L)
8.长为l 的匀质细杆，可绕过杆的一端O 点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨O 点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l ，摆球质量为m ．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求：
(1)细杆的质量．
(2)细杆摆起的最大角度?．
解：(1)设摆球与细杆碰撞时速度为v 0，碰后细杆角速度为?，系统角动量守恒
得：J ?=m v 0l
由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能
2202
121ωJ m =v 代入J ＝23
1Ml ，由上述两式可得M ＝3m (2)由机械能守恒式
mgl m =2021v 及()θωcos 12
1212-=Mgl J
并利用(1)中所求得的关系可得
31arccos =θ
四研讨题 1.计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。

参考解答：
不能．
因为刚体的转动惯量
∑∆i i m r 2与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为22
1mR ，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴的转动惯量为零． 2.刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。

对于非刚体也是这样吗？为什么？
参考解答：
根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。

由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。

故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。

非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。

3.乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？
参考解答：
分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度v c 的方向如图，则摩擦力F r 的方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度v c 逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度?逐渐变小．
当质心平动的速度v c =0而角速度??0时，乒乓球将返
回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度v c 和初始角
速度?0的大小应满足一定的关系．
解题：由质心运动定理:t
m F c r d d v =- 因mg F r μ=,得g c c μ-=0v v (1)
由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律βI M =
t mR RF r d d )32(2ω=-,得gt R
μωω230-=(2) 由(1),(2)两式可得R
c c v v --=.023ωω,令0 0>=ω；c v 可得R
c 23.0v >ω 这说明当v c =0和?0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．。