集合论学习教材PPT课件

次序关系之一：偏序关系
次序关系之二：拟序关系
次序关系之三：线性次序关系
次序关系之四：字典次序关系 相容关系 等价关系
§5.4 闭包运算
（1）关系的闭包运算
自反闭包 r (R)
对称闭包 s (R） 传递闭包 t (R）
（2）闭包的公式：
r（R）＝R∪ ～ s（R）＝ R∪R
非无限集即为有限集
无限集的两个定义 S与一 一对应函数f：SS使得：f (S) S S存在与其等势的真子集
（2）有限集 有限集的基数——有限集元素个数
有限集的计数——计算有限集中元素个数
有限集计数的四种方法： |A∪B|＝|A|+|B|
ห้องสมุดไป่ตู้
|A∪B|＝|A|+|B|－|A∩B|
（8）n元有序组与笛卡尔乘积 n元有序组是一种特殊的集合结构形式，它 有两个基本概念与一种基本运算（笛卡尔乘积）。 基本概念之一：有序偶。例：（a , b）
基本概念之二： n元有序组。例：（a1 , a2 ,…an ）
基本运算：笛卡尔乘积。例：AB
第五章 关系
关系研究集合内元素间的 关联及集合间元素关联，主要有： 一个基本概念 两种表示方法 三种运算 九个公式 五种性质 六种常用关系
集合中的21个常用公式
§4.1 集合论基本概念
（1） 一个主要的概念——集合的基本概念： 一些不同确定的对象全体称集合，而这些对 象称集合的元素。 （2）集合中的两个关系 集合间的比较关系： A ＝ B ， A≠B ， AB，AB。 集合与元素间的隶属关系：aA， aA。 （3） 三种特殊的集合 空集 全集E 幂集（A）。
自然数集N 整数集I 有理数集Q 实数集R
（4） 无限集的势 （5） 无限集分类（按势分类） 自然数集
可列集——基数为0
无限集 实数集——基数为 更大基数的集——（A）
整数集
有理数集
幂集、n元有序组与笛卡尔乘积
（7）幂集 幂集定义：集合A的所有子集所 组成的集合，可记为（A）。 幂集性质：|A|＝n 则| (A) |＝2 n
如建立∑＊上的次序关系：
设x=x1, x2,…xn , y=y1, y2,…ym ；x , y*；x1 , x2,…xn ,y1 , y2 ,…,ym.
（ 1 ） x1≠y1 且如 x1≤y1 则我们说 xLy ；如 y1≤x1 ，则我们说 yLx； （2）如存在一个最大的K且K＜min (n，m)，使得x1＝y1， x2＝y2，…，xk＝yk而xk＋1＝yk+1，如果xk＋1≤yk＋1 ，则
S (S T) (R ) T＝R Rn＝Rm+n Rm
(Rm)n＝Rmn
逆运算的公式：
～～ ～ (R S)＝ R S

R＝R
§5.3 关系重要性质
（5）关系的五种性质 关系的自反性 关系的反自反性
关系的对称性
关系的反对称性 关系的传递性
（6）六种常用关系
E与 的互补： ～E＝ ～＝E 等幂律： A∪A＝A A∩A＝A 吸收律： A∪（A∩B）＝A A∩（A∪B）＝A 狄· 莫根定律： ～（A∪B）＝～A∩～B ～（A∩B）＝～A∪～B
§ 4.5 有限集与无限集
（1）有限集与无限集的基本概念
有限集的两个定义 集合S与Nn 一 一对应
|A∪B∪C| ＝ |A|+|B|+|C| － |A∩B| － |A∩C| － |B∩C|+|A∩B∩C| |S1∪S2∪…∪Sn|＝∑|Si|－∑ |Si∩Sj|＋ ∑
i=1
1≤i＜j≤n 1≤i＜j＜k≤n
n
|Si∩Sj∩Sk|（－1）∑ |S1∩S2∩…∩S n|
无限集
（3）四个常用的无限集：
我们说xLy；如yk＋1≤xk＋1 ，则我们说yLx；
（3）如存在一个最大的K＝min (n，m)，使得x1＝y1，x2 ＝ y2 ， … ， xn ＝ yn ，此时如 n≤m ，则我们说 xLy ；如 m≤n，则我们说yLx。
对称差运算：A＋B
（6）集合的21个公式： 交换律： A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A 结合律： A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C 分配律： A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∩C） A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）
同一律： A∪＝A A∩E＝A 零一律： A∪E＝E A∩＝ 互补律： A∪～A＝E A∩～A＝ 双补律： ～（～A）＝A
t（R）＝∪Ri
i=1

§5.5 次序关系
（7）次序关系 四个定义： 偏序关系：X上自反、反对称与传递的关系称偏序关系 并用‘≤ ’表示。 拟序关系：反自反、传递的关系称拟序关系并用‘< ’表示。 线性次序关系：X上偏序关系R如有x , yx必有x ≤y或y ≤ x则称R是X上线性次序关系。 字典次序关系：有限字母表∑ 上的偏序关系。
§5.1 关系基本概念
（1）一个主要的概念 ——二元关系的基本概念： 关系定义：从集合A到B的关系R是A× B的一个 子集。
（2）两种表示方法：
集合表示法：有序偶的集合 图表示法：有向图
§5.2 关系运算
（3）两种运算： 关系的复合运算 关系的逆运算 （4）有关运算的五个公式： 复合运算的公式：
（4） 集合的四种表示法：
枚举法。即将集合元素一一列举。例：
{1, 2, 3,…}
特性刻划法。即用元素的性质刻划集
合。例：{x | p (x)}
图示法。即用文氏图表示集合及集合
间的关系。例：
A A B
（5）集合的五种运算：
交运算：A∩B
倂运算：A∪B 差运算：A－B
补运算：～A
第二篇 集合论
本篇由集合论初步、关系、
函数、有限集与无限集等与集合
论相关等四部分内容组成，它们
间是一个内容关联的整体。
第四章 集合论初步
集合论是数学的基础，也是离散数 学的基础。故学好集合论十分重要，在本 章学习中要掌握： 集合中的一个基本概念
集合中的两种关系 集合中的三种特殊集合 集合中的四种表示方法 集合中的五种运算