考研数学：必考的定理证明整理(2)
考研数学必考的定理证明整理
考研数学必考的定理证明整理在考研数学中，有一些定理是非常重要且必考的，掌握了这些定理的证明方法，可以在考试中帮助我们更好地理解和解答数学问题。
下面整理了一些考研数学中必考的定理证明，希望对大家复习有所帮助。
1.逆序数定理：逆序数是指在一个排列中，如果一个数之前有比它大的数，则称这个数是逆序的。
逆序数定理指出，对于任意的排列，其逆序数的奇偶性与该排列的逆序数的个数是相同的。
即如果逆序数的个数是偶数，则排列的逆序数是偶数；如果逆序数的个数是奇数，则排列的逆序数是奇数。
证明思路：利用归纳法进行证明，首先证明初始情况成立，然后假设逆序数的定理对于所有小于n的情况成立，再证明对于n的情况也成立。
2.幂级数：幂级数在数学中是一个重要的概念，特别是在微积分和函数论中应用广泛。
幂级数的收敛半径和收敛域是幂级数的重要性质。
幂级数的收敛半径可以通过柯西-阿达玛公式求得，而收敛域的边界上收敛性需要通过级数的边界性分析得到。
证明思路：根据幂级数的定义，首先确定幂级数的通项项、幂级数求和函数的定义域和收敛半径。
然后通过柯西-阿达玛公式计算幂级数的收敛半径。
最后通过比较判断幂级数的收敛性。
3.极值定理：极值定理也是考研中的一个重要定理，它指出一个连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。
极值定理有两个重要的推论，即费马定理和魏尔斯特拉斯定理。
费马定理指出，如果函数在一点处取得极值，则该点处的导数为0。
魏尔斯特拉斯定理指出，一个函数在闭区间上连续，则它在该区间上必有最大值和最小值。
证明思路：根据连续函数的定义和闭区间的定义，利用极值定理的条件和结论，通过反证法进行证明。
首先假设函数在闭区间上没有取得最大值或最小值，然后通过构造序列和利用辅助函数等方法逐步推导出矛盾，从而证明极值定理成立。
以上是一些考研数学中必考的定理证明，这些定理在数学理论和应用中都有着重要的地位，掌握了它们的证明方法可以提高我们对数学知识的理解和应用能力。
在备考过程中，除了熟悉定理的证明过程，还要注意练习相关的例题和应用题，加强对定理的理解和掌握，提高解题的能力。
考研数学数学分析重要定理总结
考研数学数学分析重要定理总结一、导数与微分导数和微分是数学分析中非常重要的概念，在求解函数的极限、切线方程、最值等方面具有广泛的应用。
以下是一些常见的导数和微分的重要定理：1. 函数可导与函数连续的关系：若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处连续。
2. 可导函数的四则运算法则：若f(x)和g(x)在点x=a处可导，则(1) (f+g)(a) = f(a) + g(a)(2) (f-g)(a) = f(a) - g(a)(3) (f·g)(a) = f(a)·g(a)(4) (f/g)(a) = [f(a)/g(a)] (g(a)≠0)3. 反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上连续、可导，并且在某点x=a处导数不为零，则它的反函数x=g(y)在区间f(I)上也是连续、可导的，并且在对应点y=f(a)处的导数为1/f'(a)。
4. 高阶导数公式：若函数y=f(x)的导数f'(x)存在，则可以继续求导，得到f''(x)、f'''(x)等高阶导数。
5. 麦克劳林级数与泰勒级数：若函数f(x)在点x=a处的各阶导数存在，则f(x)可以展开成麦克劳林级数或泰勒级数：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2! f''(a)+...二、积分与定积分积分和定积分是数学分析中研究函数面积、曲线长度、物理量等的重要工具。
以下是一些常见的积分和定积分的重要定理：1. 积分的线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，则对于任意常数α、β，有(1) ∫[a,b] (αf(x)+βg(x))dx = α∫[a,b] f(x)dx + β∫[a,b] g(x)dx2. 牛顿-莱布尼兹公式：若函数F(x)是f(x)的一个原函数，则对于区间[a,b]上的积分，有∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)3. 积分换元法：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数g(t)在区间[α,β]上可导且g'(t)连续，并且f(g(t))·g'(t)连续，则有∫[a,b] f(g(t))g'(t)dt = ∫[α,β] f(x)dx4. 定积分的性质：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b] f(x)dx存在，并且具有以下性质：(1) ∫[a,b] f(x)dx = -∫[b,a] f(x)dx(2) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负，则∫[a,b] f(x)dx ≥ 0(3) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负且不恒为零，则∫[a,b] f(x)dx > 0三、级数与收敛性级数是数学分析中研究无穷和的重要概念，对于理解数列、函数等的性质和应用具有重要意义。
考研高等数学有哪些重要定理证明
考研高等数学有哪些重要定理证明考研高等数学有哪些重要定理证明考生们在进行考研高等数学的复习阶段时，有很多重要定理证明需要去掌握。
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考研高等数学重要的定理证明高数定理证明之微分中值定理:这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。
考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。
我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。
往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。
“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域成立。
结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。
若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。
费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。
那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。
若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。
该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。
条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。
该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。
如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。
闲言少叙，言归正传。
既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。
我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。
话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。
吉林省考研数学硕士专业复习资料数学分析重要定理总结
吉林省考研数学硕士专业复习资料数学分析重要定理总结数学分析是数学的基础课程之一，对于考研数学硕士专业的学生来说，熟练掌握数学分析的重要定理是非常重要的。
本文将对吉林省考研数学硕士专业复习资料中的数学分析重要定理进行总结。
1. 极限定理极限定理是数学分析中的重要基础，对于研究函数的性质和计算极限非常有帮助。
1.1 无穷小量的性质对于无穷小量的性质，有以下定理：（1）无穷小量的四则运算定理：无穷小量的加减乘除仍然是无穷小量。
（2）无穷小量的阶与无穷小量的等价性：若 $\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，则称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小。
1.2 极限的基本性质对于极限的基本性质，有以下定理：（1）有界性：若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义且有界，则 $\lim_{x \to x_0}f(x)$ 存在。
（2）局部有界性：若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义，且 $\lim_{x \to x_0}f(x)=A$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有界。
2. 导数与微分导数与微分是数学分析中研究函数变化率的重要工具。
2.1 导数的基本性质对于导数的基本性质，有以下定理：（1）基本导数法则：导数具有线性性，即 $\frac{d}{dx}(af(x)+bg(x))=a\frac{d}{dx}f(x)+b\frac{d}{dx}g(x)$。
（2）复合函数的导数：若函数 $u=f(g(x))$ 和 $v=g(x)$ 都可导，则有 $\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{du}{dv}\frac{dv}{dx}$。
2.2 微分的基本性质对于微分的基本性质，有以下定理：（1）微分的线性性：$d(u\pm v)=du\pm dv$，$d(au)=adu$。
（2）复合函数的微分：若函数 $u=f(g(x))$ 和 $v=g(x)$ 都可微，则有 $du=\frac{du}{dv}dv$。
考研数学复习-关于等式与不等式的基本证明
关于等式与不等式的基本证明一、考试内容（一）介值定理介值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b ≠，对于(),()f a f b 之间的任一个数C ，),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论1（零点定理）：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()0f a f b <， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论2（零点定理）：若)(x f 在(,)a b 内连续，且()()0f a f b +-<， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论3（零点定理）：若)(x f 在(,)-∞+∞内连续，且lim ()lim ()0x x f x f x →-∞→+∞<，则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠）介值定理推论4：若)(x f 在],[b a 上连续， m in ()f x m =，m ax ()f x M =，且M m ≠， 对于,m M 之间的任一个数C ，则),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（ξ可能取到a 或b ） （二）代數基本定理：任何一個非零的一元n 次实系数多項式，都至多有n 個实数零点．（三）积分中值定理定积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使()()()b af x dx f b a ξ=-⎰．定积分中值定理推论1：设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且()g x 在],[b a 上不变号， 则(,)a b ξ∃∈，使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．对于定积分中值定理及其推论1，ξ可能取到a 或b ．（四）微分中值定理罗尔中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()f a f b =， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式1：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)(x f 有2n ≥个不同的零点，则'()f x 在),(b a 内至少存在1n -个不同的零点． 罗尔中值定理的推广形式2：若)(x f 在),(b a 内可导，且()()f a A f b +-==， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式3：若)(x f 在[,)a +∞内连续，在(,)a +∞内可导， 且lim ()()x f x f a →+∞=，则(,)a ξ∃∈+∞，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式4：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且'()0f x ≠，则)(x f 在),(b a 内为单调函数．拉格朗日中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导， 则),(b a ∈∃ξ，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-． （五）不等式定理凹凸性不等式定理：若()()0,f x ''<>则()()()()22f x f y x y f ++≤≥．积分不等式定理：若()()f x g x ≥，则()()b b aaf x dxg x dx ≥⎰⎰（a b <），但反之不然． 积分估值定理：若()f x 在[,]a b （a b <）上连续，则min max ()()()()()b af x b a f x dx f x b a -≤≤-⎰．积分绝对值不等式定理：()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰（a b <）． 二、典型例题题型一 恒等式证明主要方法：求导法、换元法、反证法 例1、求证：（1）()0()()()(),f x a T T af x f x T f x dx f x dx +=+=⎰⎰可积（2）()0()()()()f x nT T f x f x T f x dxn f x dx=+=⎰⎰可积．提示：（1）令0()()(),a T T aF a f x dx f x dx +=-⎰⎰a R∈用求导法，这比用换元法方便（2）令0()()()nT T G n f x dx n f x dx=-⎰⎰，用求导法错误，因n Z ∈,用换元法方便111(1)0()()()()()n n n x kT u nT k T T T T kTk k k f x dx f x dxf kT u du f x dx n f x dx---=++=====+==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰．例2、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(≥x f ，若0)(=⎰badx x f ，则在],[b a 上，0)(=x f ．证明：用反证法，假设0)(),,(00>∈x f b a x ，则),(),(00b a x x ⊂+-∃δδ)0(>δ0)(>x f ，则⎰⎰+-∈>=≥+-ba x x x x f dx x f dx x f ),(,0)(2)()(0000δδζξδδδ积分中值定理.这与0)(=⎰badx x f 矛盾，故原式得证．题型二 方程根的存在性与中值问题主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法 （1）)(x f 在],[b a 或),(b a 上连续，则()f x ⎧⎨⎩直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例1、设)(x f 在],[b a 上连续，且0,,><<<q p b d c a ，求证：方程)()()()(d qf c pf x f q p +=+在),(d a 内至少有一根． 提示：取)()()()()(d qf c pf x f q p x F --+=在],[d c 上用零点Th ． 例2、设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且0)(lim=∞→xx f x ，求证：),(+∞-∞∈∃ξ使0)(=+ξξf ．证明：设x x f x F +=)()(，则)(x F 在),(+∞-∞上连续，+∞=+=+∞→+∞→])(1[lim )(lim xx f x x F x x ，01>∃x ，使0)(1>x F同理，由,)(lim -∞=-∞→x f x ∴02<∃x ，使0)(2<x F故，)(x F 在],[21x x 上满足零点定理，因而，原题得证．例3、)(x f 在],[b a 上连续，0],,[>∈i i t b a x ),,2,1(n i =，且11=∑=ni i t ，求证：],[b a ∈∃ξ使∑==ni i ix f tf 1)()(ξ．（此为1{()}ni f x 的加权平均值）提示： ()m f x M ≤≤， 有∑∑∑====≤≤=ni ni ini i iiMMtx f tmtm 111)(．事实上，对于定积分中值定理的证明同上，111()b b b aaam m dx f x dx M dx Mb ab ab a=≤≤=---⎰⎰⎰则(,)a b ξ∃∈，使1()()b af f x dxb aξ=-⎰．（此为()f x 在],[b a 上的平均值）例4、设k a 是满足012)1(1=--∑=nk k kk a 的实数，求证：∑==-nk k x k a 10)12cos(在)2,0(π内至少有一实根．提示：令1'()cos(21)nk k F x a k x==-∑，构造∑=--=nk kk x k a x F 112)12sin()(在]2,0[π上用罗尔．例5、设)(x f y =为]1,0[上的任一连续函数，且⎰⎰=11)()(dx x xf dx x f求证：0)1)((=-x x f 在)1,0(内至少有一根． 提示：令'()()(1)F x f x x =-，构造⎰-=1)1)(()(xdt t t f x F 在]1,0[上用罗尔定理．例6、设)(x f y =为]0,1[-上的任一连续函数，记)(x f 在]0,1[-上的平均值为A ， 求证：)0,1(-∈∃ξ，使A f dt t f e =+⎰-])()([1ξξξ．提示：令1'()[()()]x x F x e f t dt f x A -=+-⎰，构造1()()xx F x e f t dt Ax -=-⎰，用罗尔定理．（2）)(x f 在],[b a 或),(b a 上可导，则⎩⎨⎧数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(x f 例1、设)(x f 在1[,2]2连续，在1(,2)2上可导，且 )2()(2121f dx x f =⎰ ，试证：)2,0(∈∃ξ ，使'()0f ξ=．提示：由积分中值定理知，1121(2)2()(),(,1)2f f x dx f ηη==∈⎰，用罗尔定理．例2、设)(),(x g x f 在],[b a 连续，在],[b a 上可导，且对于),(b a x ∈有0)(≠'x g 试证：),(b a ∈∃ξ，使)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --='' ．提示：令'()'()()()'()'()()()'()F x f x g x f x g x f x g b f a g x =+--，构造函数()()()()()()()F x f x g x f x g b f a g x =--在],[b a 上用罗尔Th ． 例3、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导求证：),(b a ∈∃，使11[()()]()()nnn banf f A b a f a f b ξξξξ-'+==-．提示：（1）令1'()()()n n F x nx f x x f x -'=+，构造)()(x f x x F n =在],[b a 上使用Lagrange（2）令1'()()()n n F x nx f x x f x A -'=+-，构造()()nF x x f x Ax =-在],[b a 上使用罗尔．例5、设)(),(x g x f 于[]10,连续，()10,内可导，对),(b a x ∈恒有)()()()(x g x f x g x f '≠'， 求证：若)(),(x g x f 在),(b a 内有两个零点，则介于其之间，)(x g 至少有一个零点． 提示：用反证法，假设0)()(21==x f x f ，且0)(≠x g ，],[21x x x ∈ 构造)()()(x g x f x F =，则0)(='ξF ，与条件矛盾．例4、设)(x f 在[]b a ,上一阶可导， ()0f a =，'()0f a >， 证明：（1）存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf ；（2）存在),(b a ∈η，使'()()f f ηη=． 提示：（1）由保序性，()1,x a a δ∃∈+，使得()10f x >，由零点定理知（1）． （2）注意到（1）及题设条件，知函数()f x 在[],a b 上存在两个零点,a ξ， 于是()()x F x e f x -=在(),a b 上有两个零点，由Rolle 定理，易证（2）． 题型三 非积分不等式 主要方法(1) 构造函数)(x f ，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可.(2) 利用函数的凹凸性.(3) 利用函数的极值和最值----构造函数，比较值为极值或最值. (4) 利用中值法证明不等式. 例1、设)1,0(∈x ，求证：(i) 22)1(ln )1(x x x <++； (ii) 211)1ln(112ln 1<-+<-x x ．提示：(i)令()ln(1)1x f x x x=+-+或22()(1)ln (1)g x x x x =++-(ii) 令11()ln(1)h x x x=-+，则22()'()0(1)ln (1)g x h x x x x =<++，有(1)()(0)h h x h +<<．例2、比较e e ππ与的大小．提示：x e >，比较x e e x 与的大小，取对数构造()ln f x x e x =-，易证e e ππ>． 例3、设)(),(x g x f 二阶可导，当0>x 时，)()(x g x f ''>''，且)0()0(g f =，)0()0(g f '='，求证：)()(0x g x f x >>时，． 提示：令)()()(x g x f x F -=，需两次求导．例4、当0,0>>y x 时，求证：2ln )(ln ln y x y x y y x x ++≥+．提示：令)2(2)()(0)(,ln )(y x f y f x f t f t t t f +≥+⇒>''=．例5、0,0,0>>>>αβy x ，求证：βββααα11)()(y x y x +>+．提示：其等价于11ln[1())]ln(1())yyxxαββα+>+，令1()ln(1)t f x a t =+，0>a ．若1a =，原命题成立，现证明()f t 在0,1t a >≠时单调递减22ln (1)ln(1)()'()(1)(1)t t tttta a a a g t f t t a t a -++==++，'()ln [ln ln(1)]t t t g t a a a a =-+1a >时，'()0g t <，则()(0)0gt g <<；01a <<时，'()0g t >，则()l i m ()0t gt gt →+∞<=．例6、设1,10>≤≤p x ，求证：1)1(211≤-+≤-ppp x x.提示：令p p x x t f )1()(-+=，求其在]1,0[的最值． 例7、设)(x f 在(1,1)-内有0)(<''x f ，且2sincos )(lim2=-→xx x f x ，求证：()1f x ≤．证明：易知,1)0(=f 2200()cos sin cos 1(0)lim lim 0sin x x f x x x f x x x→→--'=⋅+= 令 1)()(-=x f x F ，求其最大值，因0)()(,0)0(,0)0(<''=''='=x f x F F F ，则易证．例8、若x y <<0及1>p ，求证：)()(11y x px y x y x py p p p p -<-<---． 提示：令()p f t t =，在],[y x 上对)(t f 应用拉氏定理．例9、在],0[a 上，()f x M ''≤，且)(x f 在),0(a 内取最大值，求证：Ma a f f ≤'+')()0(．证明：设,0)],([max )(0a c x f c f ax <<=≤≤则0)(='c f在],[],,0[a c c 对)(x f '分别应用拉氏定理，则易证． 题型四 积分不等式 主要方法（1）应用定积分的不等式性质(如比较定理，估值定理及函数绝对值积分不等式 （2）函数的单调性（构造辅助函数） 积分中值定理（3）微分中值定理（被积函数具有可导条件） 常伴于其中 例1、设0>p ，求证：1111<+<+⎰pxdx p p .提示：1111<+<-pp xx ，用积分不等式性质.例2、求证：22sin 0x dx π>⎰.提示：22222sin sin sin sin sin 2sin ()()x tt t t t t x dx dt dt dt dt ttttt πππππππ===+=-+⎰⎰⎰⎰⎰.例3、已知)(x f 满足：对212121)()(],,[,x x x f x f b a x x -≤-∈∀ 求证：2)(21)()()(a b a f a b dx x f ba-≤--⎰.证明：左[()()]b af x f a dx =-⎰2)(21)()()(a b dx a x dx a f x f baba-=-≤-≤⎰⎰.例4、设'()f x 在[0,2]π上连续且大于零，求证：202()sin [(2)(0)]f x nxdx f f nππ≤-⎰.提示：22011()sin [(2)(0)]'()cos f x nxdx f f f x nxdxnnπππ=--+⎰⎰分部积分，则220112()sin [(2)(0)]'()cos [(2)(0)]f x nxdx f f f x nx dx f f nnnππππ≤-+≤-⎰⎰.例5、设)(x f 在],[b a 上连续且严格单增，求证：⎰⎰<+babadx x xf dx x f b a )(2)()(.证明：令],[,)(2)()()(b a x dt t tf dt t f x a x F xax a∈-+=⎰⎰则0)]()([)()()()(<-=+-='⎰⎰xaxadt x f t f dt t f x f x a x F∴ ba >，总有0)()(=<a Fb F ，原不等式成立.例6、设(),()f x g x 在]1,0[上有连续的导数，且(0)0,f ='()0,'()0f x g x ≥≥ 求证：对[0,1]a ∈，1'()()()'()()(1)af xg x dx f x g x dx f a g +≥⎰⎰.提示：令1()'()()()'()()(1)aF a f x g x dx f x g x dx f a g =+-⎰⎰'()'()()'()(1)0F a f a g a f a g =-≤，于是，()F a 在[0,1]a ∈时单调递减则()(1)0F a F ≥=，得证．例7、设'()f x 在]1,0[上连续， 01(0)(1)0,max '()x f f M f x ≤≤===，求证：10()4M f x dx ≤⎰.证明：⎰⎰⎰-+-≤121211)1()()0()()(dxf x f dx f x f dx x f⎰⎰-'+'=1212211)1()()(dx x f xdx f ξξMdx x xdx M 41])1([121210=-+≤⎰⎰.三、课后练习1、证明：当1<x ，总有4arctan 11arctan π=--+x xx ．2、求证：⎰⎰⎰++=+101)(ln )()1(ln)(ln dt t f dt t f t f dt t x f x．3、()f x 是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰（2）证明()()()202x t tg x f t f s ds dt+⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．4、设)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b =， 求证：方程()()2b a f x f x -=+在(,)a b 内至少有一根．5、设)(x f 在R 上连续，且(())f f x x =，则存在一点R ξ∈，使()f ξξ=．6、设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且0)(>x g ， 求证：),(b a ∈∃ξ，使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．7、)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且⎰=-bab f dx x f ab )()(1求证：在),(b a 至少存在一点ξ，使0)(='ξf ．8、)(x f 于],[b a 连续，),(b a 可导，求证：),(b a ∈∃ξ，使)()()()(ξξξf f ab a af b bf '+=--．9、)(x f 在]1,0[上可微，且⎰=21)(2)1(dx x xf f ：试证：)1,0(∈∃ξ，使0)()(='+ξξξf f ．10、设)(x f 在[]2,1上连续，在)2,1(上可微，且21)1(=f ，2)2(=f ，则存在一点()2,1∈ξ使0)()(2='-ξξξf f ．11、设)(x f 在[]1,0上可微，⎰-=k x dx x f xe k f 11)()1(，)1(>k ，证明存在一点()1,0∈ξ，使得)(11)(ξξξf f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=' 12、函数)(x f 可导，则)(x f 的两个零点之间必有函数)()(/x f x f -的一个零点． 13、设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 上可微，且0)()(==b f a f ，则存在一点()b a ,∈ξ使0)()(2='+ξξλξf f ． 14、设函数)(x f 在],0[+∞上可导，2)0(π=f ，且xx f 1arctan)(0≤≤，证明存在),0(+∞∈ξ，使1)()1(/2-=+ξξf ．15、设)(x f 在),(b a 上具有二阶导数，且0)()(,0)()(>''==b f a f b f a f 证明：(,)a b η∃∈，使0)(=''ηf ．16、设)(x f 于]1,0[连续，)1,0(可导，且1)1()0(==f f ，1)21(=f ，求证：（i ）)1,21(∈∃η，使ηη=)(f ，（ii ）对任意实数λ，),0(ηξ∈∃，使1])([)(=--'ξξλξf f ． 17、当0>x 时，求证：1ln(1)1xe x x->++.18、当0x >时，求证：1arctan 2x x π+>.19、当π<<x 0时，求证：πxx >2sin .20、当0>x 时，证明：2111)1(x xex ++<+.21、当 0a b <<时，求证:2()lnb b a ab a->+ .22、当0>x 时，试证：22)1(ln )1(-≥-x x x . 23、已知q p ,是大于1的常数，且111=+qp 求证：对0>∀x ，有x qxp p≥+11.24、求证：1212-+≥n n n ),1(为自然数n n ≥.25、对于1,1≥>n a ，求证：21111211ln )1(na aa a n a n n n n <-<+++.26、设b a <<0，求证：abab a b ba a 1ln ln 222<--<+.27、证明:当0,sin 2cos sin 2cos a b b b b b a a a a πππ<<<++>++时.28、设)(x f 处处可导，则（D ）A -∞='-∞=-∞→+∞→)(lim ,)(limx f x f x x 则 B -∞=-∞='-∞→-∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则C +∞='+∞=+∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则 D +∞=+∞='+∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则29、设在]1,0[上，0)(>''x f 则)0()1(),1(),0(f f f f -''或)1()0(f f -的大小顺序是 )0()0()1()1(f f f f '>->'.30、设)(),(x g x f 正值且可导， 0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有（A ）A )()()()(x g b f b g x f >B )()()()(x g a f a g x f >C )()()()(b g b f x g x f >D )()()()(a g a f x g x f > 31、设1)(lim=→xx f x ，且0)(>''x f ，求证：x x f ≥)(.32、求证：14401ln(12)11dx x+<<+⎰.33、设)(x f 在]1,0[上连续且递减，求证：当10<<λ时，⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f λλ..34、设40tan nn I xdxπ=⎰，2n ≥，求证：112(1)2(1)n I n n <<+-.35、设)(x f 在]1,0[上可积，且当01x y ≤<≤时，()()arctan arctan f x f y x y -≤-，又(0)1f =，求证：101()ln 22f x dx ≤⎰.36、设)(x f '在],0[a 上连续，且0)0(=f ，求证：20()max ()2a x aaf x dx f x ≤≤'≤⎰.。
考研数学线代定理公式汇总
考研数学线代定理公式汇总1.行列式定理:(1) 行列式的值不变性: 对于可逆矩阵A，有det(AB) =det(A)det(B)。
(2)若存在行(列)线性相关，则行列式为0。
(3)拉普拉斯定理:对于n阶行列式，可以通过余子式展开得到。
2.线性方程组定理:(1)线性方程组存在唯一解的充要条件是系数矩阵的秩等于方程组的未知数个数，并且扩展矩阵的秩等于系数矩阵的秩。
(2)齐次线性方程组存在非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于方程组的未知数个数。
(3)利用矩阵的逆可以求解非齐次线性方程组。
3.矩阵定理:(1)矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
(2)若矩阵A可对角化，则A与其相似矩阵具有相同的特征值。
(3)奇异值分解定理:对于任意矩阵A，都可以分解成奇异值分解形式:A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
4.向量空间定理:(1)向量组的线性相关性可以通过列向量组的秩判断，如果秩小于向量个数，则线性相关。
(2)向量组的秩等于向量组的极大线性无关组的向量个数。
(3) rank(A^T) = rank(A)，其中A是矩阵。
(4)若A和B是可逆矩阵，则(A^T)^-1=(A^-1)^T。
5.特征值与特征向量定理:(1)特征值方程的根为矩阵的特征值。
(2)若特征值λ是矩阵A的特征值，对应的特征向量组成的集合是由矩阵A-λI的零空间生成的。
(3)矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
以上是一些常见的数学线性代数定理和公式的汇总，希望对您的学习有所帮助。
当然，线性代数的内容还是比较广泛的，还有很多其他的定理和公式，如矩阵行列式的性质、特征值与特征向量的性质、矩阵的幂等性等。
如果您对这个话题有更深入的了解需求，可以提出具体的问题，我将尽力回答。
考研数学公式及定理整理
考研数学公式及定理整理数学，作为一门严谨而又广泛应用的学科，不可避免地涉及到大量的公式和定理。
对于考研数学而言，掌握相关公式和定理的整理是非常重要的，不仅可以帮助考生快速复习和解题，还能提高解题的效率和准确性。
本文将对考研数学常见的公式和定理进行整理和总结，希望对考生复习备考有所帮助。
1. 高等数学(1) 微积分微积分是数学的基础和核心，包括导数和积分。
重点公式如下：- 导数相关公式：求导法则、基本初等函数求导、复合函数求导、隐函数求导等。
- 积分相关公式：不定积分法则、定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法等。
(2) 无穷级数无穷级数是微积分中的重要内容，常见的公式和定理有：- 常数项级数求和公式：算术级数、几何级数。
- 幂级数展开：泰勒级数展开、麦克劳林级数展开。
- 收敛性与发散性判断：比较判别法、根值判别法、狄利克雷判别法等。
(3) 偏微分方程偏微分方程是高等数学中的一个重要分支，常见的公式和定理包括：- 一阶偏导数方程：线性一阶偏微分方程、齐次线性一阶偏微分方程、非齐次线性一阶偏微分方程等。
- 二阶偏导数方程：线性二阶偏微分方程的分类、常系数线性二阶偏微分方程等。
2. 线性代数线性代数是数学中的一个重要分支，涉及到矩阵和线性方程组的理论和应用，常见的公式和定理有：- 行列式相关公式：二阶和三阶行列式、行列式的性质与计算、克拉默法则等。
- 矩阵相关公式：矩阵的性质与运算、线性方程组的解法、特征值和特征向量等。
3. 概率论与数理统计概率论与数理统计是数学中与实际问题联系最紧密的分支，常见的公式和定理包括：- 概率相关公式：概率基本公式、条件概率与贝叶斯公式、全概率公式、期望和方差等。
- 统计学相关公式：抽样分布定理、参数估计与假设检验、相关系数与回归分析等。
以上只是对考研数学常用公式和定理的简要整理，希望可以为考生提供一些复习的参考和方向。
在备考过程中，考生还需结合习题训练和理解概念来进一步掌握数学知识。
上海市考研数学复习资料数学分析重点定理证明
上海市考研数学复习资料数学分析重点定理证明上海市考研数学复习资料数学分析重点定理的证明一、极限与连续极限和连续是数学分析中非常重要的概念，它们是数学分析基础理论的支撑。
下面将介绍一些数学分析中的重点定理，并给出证明。
1. 极限的重要定理之泰勒展开定理泰勒展开定理是数学分析中的一项重要定理，它对于研究函数的性质和计算函数的值都有很大的帮助。
下面给出定理的证明：定理：设函数f(x)在点x=a处n阶可导，那么函数f(x)在x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)是拉格朗日余项，满足| Rn(x) | <= M |x-a|^(n+1)/(n+1)!，其中M为常数。
证明：我们可以利用泰勒公式对函数f(x)在点x=a处进行展开。
首先，我们对函数f(x)在点x=a处进行n阶的泰勒展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)为拉格朗日余项。
由于函数f(x)在点x=a处n阶可导，因此可以得到f(a)、f'(a)、f''(a)、...、f^n(a)的具体值。
我们将Rn(x)的具体表达式进行展开，并根据泰勒公式的表达式得到其表示形式。
经过简化后，我们可以得到：| Rn(x) | <= M |x-a|^(n+1)/(n+1)!其中M为常数。
因此，函数f(x)在点x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)定理得证。
2. 连续函数的重要定理之介值定理介值定理是连续函数的一个重要性质，它可以帮助我们研究函数在某个区间上的性质。
高等数学考研几个重要定理的证明
1、 罗尔定理（考过）如果函数f(x)在闭区间［a ，b ］上连续，在开区间（a ，b ）上可导，且f(a)= f(b)，则在开区间（a ，b ）内至少存在一点￡，使得)('ξf =0.证： ∵函数f(x)在闭区间［a ，b ］上连续∴由最大最小值定理有： m< f(x)<M(1) 若m=M ，此时f(x)在［a ，b ］上为恒定值对任意的x ∈（a ，b ）都有)('ξf =0。
（2） 若m ≠M ， 因为f(a)= f(b)，则m 和M 中至少有一个不等于区间的端点值。
不妨设M ≠f(a)，则存在ξ∈（a ，b ）使得)(ξf =M 。
∴ 对任意的x ∈［a ，b ］使得f(x)≤)(ξf ，从而由费马引理，可知)('ξf =0.证毕。
2、 拉格朗日中值定理（考过）如果函数f(x)满足：（1）在闭区间［a ，b ］上连续；（2）在开区间（a ，b ）上可导，那么在（a ，b ）内至少存在（a ，b ）一点ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ成立。
证： 引进辅助函数 )()()()()()(a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ 易知F （a ）=F （b ）=0，且F （x ）在［a ，b ］内连续，在（a ，b ）内可导 且a b a f b f x f x ---=)()()(')('ϕ 根据罗尔定理，可知在（a ，b ）内至少存在有一点ξ，使)('x ϕ=0，即0)()()('=---ab a f b f f ξ 由此可得)(')()(ξf a b a f b f =--， 即))((')()(a b f a f b f -=-ξ证毕。
三、积分中值定理（考过）如果函数f （x ）在积分区间［a ，b ］上连续，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ证：由于f （x ）在［a ，b ］上连续，则存在m ，M 使得M x f m ≤≤)(又由定积分估值定理，有)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰即 M a b dx x f m ba ≤-≤⎰)(由介值定理得： a b dx x f f ba -=⎰)()(ξ证毕。
天津市考研数学复习资料高等数学重要定理整理
天津市考研数学复习资料高等数学重要定理整理在天津市考研数学复习中，高等数学是一门重要的学科，涵盖了各种重要定理。
为了帮助考生更好地复习，本文将对高等数学的一些重要定理进行整理和梳理。
1. 极限定理(1) 函数极限的四则运算性质：两个函数极限之和的极限等于两个函数各自的极限之和，两个函数极限的差的极限等于两个函数各自的极限之差，两个函数极限的积的极限等于两个函数各自的极限之积，两个函数极限的商的极限等于两个函数各自的极限之商（前提是除数不为零）。
(2) 夹逼定理：如果一个函数被两个有限的函数夹住，而这两个函数的极限值相等，那么被夹住的函数也存在极限，并且极限等于这两个函数的极限值。
(3) 单调有界准则：单调递增有上界的数列必定存在极限，单调递减有下界的数列必定存在极限。
(4) 柯西收敛原理：一个数列收敛的充要条件是它是柯西数列。
2. 导数和微分(1) 极限定义：导数的极限定义是函数在某点的切线斜率的极限。
(2) 导函数的四则运算：导函数具有四则运算的性质。
(3) 高阶导数：对于一个可导函数，可以计算其高阶导数。
(4) 微分的定义：微分是函数在某点的变化量与自变量的增量之比。
3. 积分(1) 定积分的定义：定积分是函数曲线与x轴之间的面积。
(2) 定积分的性质：定积分具有线性性质、积分中值定理、换元积分法等性质。
(3) 牛顿-莱布尼茨公式：定积分与不定积分之间有牛顿-莱布尼茨公式的关系。
4. 级数(1) 等比数列求和：等比数列求和公式是一个重要的级数求和公式。
(2) 收敛级数：收敛级数的定义是其部分和数列存在极限。
(3) 收敛级数的性质：收敛级数具有线性性质和比较判别法等性质。
(4) 幂级数：幂级数是一个重要的级数形式，可以展开为函数。
5. 偏导数和多元函数的极值(1) 偏导数的定义：多元函数对于某一个自变量求导时，将其他自变量视为常数进行求导。
(2) 偏导数的计算：可以利用偏导数的定义和求导法则计算偏导数。
山东省考研数学复习资料高等数学重要定理总结
山东省考研数学复习资料高等数学重要定理总结高等数学作为一门基础学科，是山东省考研中不可或缺的一部分。
为了帮助考生更好地复习高等数学，下面将对高等数学中的一些重要定理进行总结。
这些定理在考试中经常出现，具有重要的理论和实际意义。
1. 极限定理极限定理是高等数学中基础且重要的一部分。
其中包括以下定理：(1) 夹逼定理：如果函数处处有界且当x趋于某一点时与两个不同的函数趋于相同的极限值，那么该函数也趋于相同的极限值。
(2) 单调有界数列的极限定理：如果数列递增且有上界（或递减且有下界），那么该数列必有极限。
(3) Stolz定理：如果数列{an}和{bn}满足bn递增趋于正无穷，且lim(an+1-an) / (bn+1-bn)存在有限极限，那么liman/bn也存在有限极限。
2. 导数和微分中值定理(1) 复合函数求导法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))的导数为dy/dx=f'(u) * g'(x)。
(2) 高阶导数：设f(x)可导，则其n阶导数记作f^(n)(x)。
(3) 拉格朗日中值定理：设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则存在c属于(a, b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
(4) 柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导且g'(x)不为零，则存在c属于(a, b)，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a) =f'(c)/g'(c)。
(5) 泰勒公式：设函数f(x)在开区间(a, b)内具有n+1阶导数，则对于(a, b)内的任意x和a，存在介于x和a之间的某一点c，使得f(x) =f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2!(x-a)^2 + ... + f^(n)(a)/n!(x-a)^n + Rn(x)，其中Rn(x)为n阶拉格朗日余项。
原题目：证明2023考研数学(二)大纲中的定理。
原题目：证明2023考研数学(二)大纲中的定理。
原题目：证明2023考研数学(二)大纲中的定理概述：本文档旨在证明2023考研数学(二)大纲中的定理。
以下将提供证明过程。
1. 定理一证明定理一的过程如下：步骤一：根据题目给定条件，列出相关方程或不等式。
步骤二：对方程或不等式进行变形，运用数学定理和方法。
步骤三：推导出等式或不等式的解析表达式。
步骤四：对解析表达式进行证明，使用相关数学推理和逻辑推导。
步骤五：总结证明过程并得出结论。
2. 定理二证明定理二的过程如下：步骤一：根据题目给定条件，列出相关方程或不等式。
步骤二：对方程或不等式进行变形，运用数学定理和方法。
步骤三：推导出等式或不等式的解析表达式。
步骤四：对解析表达式进行证明，使用相关数学推理和逻辑推导。
步骤五：总结证明过程并得出结论。
3. 定理三证明定理三的过程如下：步骤一：根据题目给定条件，列出相关方程或不等式。
步骤二：对方程或不等式进行变形，运用数学定理和方法。
步骤三：推导出等式或不等式的解析表达式。
步骤四：对解析表达式进行证明，使用相关数学推理和逻辑推导。
步骤五：总结证明过程并得出结论。
总结：本文档提供了证明2023考研数学(二)大纲中的定理的步骤和过程。
每个定理都按照列出条件、变形方程或不等式、推导解析表达式、证明解析表达式和总结结论的顺序进行证明。
请根据具体题目的要求进行相应的证明过程。
注意：在证明过程中，需要使用相关数学定理和方法，并进行合理的推理和推导。
为确保准确性，请仔细核对计算过程和逻辑推理的正确性。
考研数学中的常见定理与公式总结
考研数学中的常见定理与公式总结数学在考研中占据着重要的地位，它是考生们必须要掌握的一门科目。
在数学的学习过程中，各种定理与公式是考生们必不可少的基础知识。
下面将对考研数学中的常见定理与公式进行总结与归纳，帮助考生们更好地备考。
1. 极限定理极限定理是解决极限问题时的重要工具，也是基本的数学定理之一。
主要包括以下几个常见的定理：1.1 保号性定理若函数f(x)在点x=a的某个邻域内，对于任意一个正数ε，都存在正数δ，使得当0 < |x-a| < δ时，有 |f(x)-f(a)| < ε 。
则称函数f(x)在点x=a处具有保号性。
1.2 夹逼准则设函数f(x)，g(x)，h(x)满足当x在某一去心邻域内时，有f(x)≤g(x)≤h(x)，且limₓₐ f(x)=limₓₐ h(x)=L，则必有limₓₐ g(x)=L。
1.3 极限的四则运算法则设函数f(x)和g(x)在点x=a的某个去心邻域内有极限limₓₐ f(x)=A，limₓₐ g(x)=B，则有以下运算法则：(1) limₓₐ [f(x)+g(x)]=A+B(2) limₓₐ [f(x)-g(x)]=A-B(3) limₓₐ [f(x)g(x)]=AB(4) limₓₐ [f(x)/g(x)]=A/B (B≠0)2. 线性代数的基本定理与公式线性代数在考研数学中也有重要地位，以下是一些常用的定理与公式：2.1 行列式的性质(1) 行列互换，行列式变号(2) 若行列有两行（两列）相等，则行列式为0(3) 行列交换，行列式变号(4) 列行式换位，行列式不变(5) 行与行的倍数的和的行列式，等于各行分别乘以这个数的行列式之和2.2 矩阵的运算(1) 矩阵的加法和减法：若A=(a_ij)，B=(b_ij)为m×n矩阵，则有A±B=(a_ij±b_ij)(2) 矩阵的数乘：若A为m×n矩阵，k为常数，则有 kA=(ka_ij)(3) 矩阵的乘法：若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则有AB=(c_ij)，其中c_ij=a_i1*b_1j+...+a_in*b_nj3. 微积分中的重要定理与公式微积分是考研数学中的核心内容，在微积分中有很多重要的定理与公式需要掌握，以下仅列举部分：3.1 导数的基本公式(1) (cf(x))'=cf'(x) （常数c为常数函数）(2) (f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(3) (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(4) (f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)²（g(x)≠0）(5) (g(f(x)))'=g'(f(x))*f'(x)3.2 不定积分的基本公式(1) ∫kdx=kx+C (k为常数)(2) ∫xn dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C (n≠-1)(3) ∫sinxdx=-cosx+C(4) ∫cosxdx=sinx+C(5) ∫1/x dx=ln|x|+C (x≠0)综上所述，以上仅是考研数学中常见定理与公式的部分总结。
考研数学：必考的定理证明整理(2)
2017考研数学：必考的定理证明整理（2）考研数学的定理证明是一直考生普遍感觉不太有把握的内容，而2016年考研数学真题释放出一个明确信号考生需重视教材中重要定理的证明。
下面为考生梳理一下教材中那些要求会证的重要定理。
三、微积分基本定理的证明该部分包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。
变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。
注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。
花开两朵，各表一枝。
我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。
一点的导数仍用导数定义考虑。
至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。
单侧导数类似考虑。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。
而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。
不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。
该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。
该公式的证明要用到变限积分求导定理。
若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。
注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。
根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。
2024年考研数学高等数学部分重要基本定理证明
数学高等数学部分重要基本定理证明（数学一）本文将对2024年考研数学高等数学部分的几个重要基本定理进行证明，包括连续函数的一致连续性、可导函数的连续性、可导函数的增量有界性以及闭区间上函数的连续性。
首先，我们来证明连续函数的一致连续性。
定义函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意ε>0，存在对应的δ>0，当，x1-x2，<δ时，有，f(x1)-f(x2)，<ε成立。
要证明函数的一致连续性，即要证明对于任意ε>0，不论取如何小的δ，总存在对应的x1和x2，使得，f(x1)-f(x2)，≥ε成立。
反证法：假设对于一些ε>0，不论取多小的δ，总存在对应的x1和x2，使得，f(x1)-f(x2)，≥ε成立。
则对于这个ε>0，无论如何选择δ，总可以找到这样的x1和x2，使得，f(x1)-f(x2)，≥ε成立。
由连续函数的定义可知，当，x1-x2，足够小时，有，f(x1)-f(x2)，<ε成立。
这与我们的假设矛盾。
综上所述，连续函数的一致连续性成立。
接下来证明可导函数的连续性。
定义函数f(x)在区间[a,b]上可导，则对于任意x∈(a,b)，f(x)在x处连续。
要证明函数的连续性，即对于任意ε>0，存在对应的δ>0，当，x-x0，<δ时，有，f(x)-f(x0)，<ε成立。
根据可导函数的定义可知，当x足够接近x0时，有，f(x)-f(x0)，<ε'成立，其中ε'是一个任意小的正实数。
取ε'=ε/2，则对于ε>0，存在对应的δ>0，当，x-x0，<δ时，有，f(x)-f(x0)，<ε'=ε/2成立。
又由于f(x0)-f(x0)=0<ε/2成立，所以有，f(x)-f(x0)，≤，f(x)-f(x0)，+，f(x0)-f(x0)，<ε/2+ε/2=ε成立。
综上所述，可导函数的连续性成立。
考研数学备考复习有些证明
考研数学备考复习有些证明我们在准备考研数学的备考时，需要把一些证明的题型了解清楚。
为大家精心准备了考研数学复习证明的指导，欢送大家前来阅读。
一、数列极限的证明数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准那么。
二、微分中值定理的相关证明微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：1.零点定理和介质定理;2.微分中值定理;包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3.微分中值定理积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明五、定积分等式和不等式的证明主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法;积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件这一局部是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。
首先是确定做题顺序，可以采用填空、计算、选择、证明的顺序。
因为尽管选择题的分数相对要少一些，但它们一般对根底知识要求较高，选项迷惑性大，有时需要花很多时间去分析也难以取舍;而且有些选择题的计算量也是很大的，如果在做题的开始就感觉不顺而花太多时间的话，会影响考试的心理状态。
证明题考查的是严密的逻辑推理，难度也比拟大。
因此，建议这两类题型可以放在后面做，而先做相对简单的。
一般来说，平时复习的时候要尽量从自己薄弱的方面“榨取”分数，而正式考试时，先通观整个试卷，迅速客观地评估自己的实力，明确哪些分数是必得的，哪些是可能得到的，哪些是根本得不到的，再采取不同的应对方式，才能镇定自假设，进退有据，最终从整体上获胜。
考研数学公式定理背诵手册(数学二)：高等数学
能用，而不能肯定 lim f (x) 是否存在． x→x0 g (x)
定理 6（局部泰勒公式） 设 f (x) 在 x0 点有 n 阶导数，则
f
(x)
=
f
(x0 ) +
f
' (x0 )(x − x0 ) +
1 2!
f
'' (x0 )(x − x0 )2
+
+
1 n!
f
(n)
( x0
)( x
−
x0
)n
+
u = u0 连续，那么复合函数 y = f [ϕ(x)] 在点 x = x0 也是连续的．
8．初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的． 9．闭区间上连续函数的性质 定理 1（最大值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和 最小值． 定理 2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界．
（3） (uv)' = u'v + uv' ；
（4）
⎛ ⎜⎝
u v
⎞' ⎟⎠
=
u'v − uv' v2
(v ≠ 0) ．
3．复合函数的求导法则
设 y = f (u) ，而 u = ϕ(x) 且 f (u) 及ϕ(x) 都可导，则复合函数 y = f [ϕ(x)] 的导数为
dy = dy ⋅ du 或 f ' (x) = f ' (u) ⋅ϕ ' (x) ． dx du dx
86
(sin x)' = cos x ；
(cos x)' = − sin x ；
湖南省考研数学复习资料高等代数重要定理整理
湖南省考研数学复习资料高等代数重要定理整理湖南省考研数学复习资料：高等代数重要定理整理在湖南省考研数学复习过程中，高等代数是一个重要的内容模块。
为了帮助考生更好地备考，本文将对高等代数中的重要定理进行整理。
一、线性代数基础1. 向量空间相关定理向量空间是线性代数研究的核心概念之一，以下是与向量空间相关的重要定理：（1）向量空间的定义与性质。
（2）子空间的定义与性质，以及子空间的判定定理。
（3）基和维数的定义与性质。
（4）坐标与坐标变换的相关理论。
2. 矩阵理论定理矩阵是线性代数中的重要工具，以下是与矩阵理论相关的重要定理：（1）矩阵的定义与性质。
（2）行列式的定义与性质，以及行列式的计算方法。
（3）矩阵的秩与线性方程组解的关系。
（4）特征值和特征向量的定义与性质，以及特征值与特征向量的计算方法。
二、线性变换与线性方程组1. 线性变换理论定理线性变换是线性代数中的重要内容，以下是与线性变换理论相关的重要定理：（1）线性变换的定义与性质。
（2）线性变换矩阵的存在唯一性定理。
（3）线性变换的标准形与相似性的相关理论。
（4）核与像的定义与性质。
2. 线性方程组的定理线性方程组是线性代数中的基础内容，以下是与线性方程组相关的重要定理：（1）线性方程组的基本概念与性质。
（2）线性方程组的解的存在唯一性定理。
（3）齐次线性方程组与非齐次线性方程组的性质与求解方法。
（4）线性方程组解的结构定理。
三、线性空间与线性映射1. 线性空间理论定理线性空间是线性代数中的重要研究对象，以下是与线性空间相关的重要定理：（1）线性子空间的定义与性质。
（2）线性子空间的直和与因子空间的相关理论。
（3）线性空间的对偶空间与伴随算子的定义与性质。
2. 线性映射的定理线性映射是线性代数中的核心概念之一，以下是与线性映射相关的重要定理：（1）线性映射的定义与性质。
（2）线性映射与矩阵的关系。
（3）线性映射的核与像的性质。
（4）线性映射的可逆性定理。
考研数学定理证明
考研数学定理证明在数学研究中，定理证明是核心部分。
它不仅涉及到数学知识的理解和应用，还涉及到逻辑推理和问题解决的能力。
因此，对于即将参加研究生入学考试的学生来说，掌握定理证明的方法和技巧是至关重要的。
本文将探讨考研数学定理证明的思维方法，以期帮助考生更好地应对这一部分。
理解题目：首先需要认真阅读题目，明确题目要求证明的结论和已知条件。
寻找思路：根据已知条件和结论，尝试找到一个或多个可能的证明路径。
组织证明：选择一种证明路径，按照逻辑顺序逐步推导，确保每一步都是准确的。
反证法：当直接证明困难时，考虑使用反证法，通过假设结论不成立来推导出矛盾，从而证明结论成立。
分情况讨论：当问题具有多种情况时，需要将问题分成若干个子问题，分别进行讨论和证明。
构造函数：当需要证明某个函数的性质时，可以通过构造函数来辅助证明。
利用已知定理：当需要证明的问题比较复杂时，可以考虑利用已知的数学定理或命题来进行证明。
掌握基础知识：定理证明的前提是掌握基础知识。
因此，考生需要熟练掌握数学的基本概念、公式和定理。
多做习题：通过大量的习题练习，可以培养考生的逻辑推理和问题解决的能力。
学习经典例题：经典例题往往具有代表性，通过学习和分析这些例题，可以掌握定理证明的思路和方法。
注重细节：在定理证明的过程中，需要注意细节，确保每一步都是准确的。
定理证明是数学研究的重要组成部分，也是研究生入学考试数学科目的重要考查内容。
对于考生来说，掌握定理证明的思维方法和技巧是至关重要的。
通过认真学习基础知识、多做习题、学习经典例题和注重细节等方法，可以有效提高定理证明的能力，为研究生入学考试数学科目打下坚实的基础。
在数学的世界里，几何学无疑是一个重要的分支。
而在初中的数学考试中，几何证明题常常是检验学生空间理解能力和逻辑推理能力的关键题型。
本文将针对中考数学中的经典几何证明题，提供一些解题思路和技巧，并汇总一些常用的定理和性质。
审题：要仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
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考研数学：必考的定理证明整理（2）考研数学的定理证明是一直考生普遍感觉不太有把握的内容，而2016年考研数学真题释放出一个明确信号——考生需重视教材中重要定理的证明。
下面跨考教育为考生梳理一下教材中那些要求会证的重要定理。
三、微积分基本定理的证明
该部分包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。
变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。
注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。
花开两朵，各表一枝。
我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。
一点的导数仍用导数定义考虑。
至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。
单侧导数类似考虑。
“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。
而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。
不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。
该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f（x）在闭区间连续，该公式的另一个条件是F（x）为f（x）在闭区间上的一个原函数，结论是f（x）在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。
该公式的证明要用到变限积分求导定理。
若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。
注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f（x）对应的变上限积分函数为f（x）在闭区间上的另一个原函数。
根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F（x）等于f（x）的变上限积分函数加某个常数C。
万事俱备，只差写一下。
将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。
四、积分中值定理
该定理条件是定积分的被积函数在积分区间（闭区间）上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把积分变量x换成中值。
如何证明？可能有同学
想到用微分中值定理，理由是微分相关定理的结论中含有中值。
可以按照此思路往下分析，不过更易理解的思路是考虑连续相关定理（介值定理和零点存在定理），理由更充分些：上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不含导数，而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。
若我们选择了用连续相关定理去证，那么到底选择哪个定理呢？这里有个小的技巧——看中值是位于闭区间还是开区间。
介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间，而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。
那么何去何从，已经不言自明了。
若顺利选中了介值定理，那么往下如何推理呢？我们可以对比一下介值定理和积分中值定理的结论：介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值，而等号另一边为常数A。
我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。
等式两边同时除以区间长度，就能达到我们的要求。
当然，变形后等号一侧含有积分的式子的长相还是挺有迷惑性的，要透过现象看本质，看清楚定积分的值是一个数，进而定积分除以区间长度后仍为一个数。
这个数就相当于介值定理结论中的A。
接下来如何推理，这就考察各位对介值定理的熟悉程度了。
该定理条件有二：1.函数在闭区间连续，2.实数A位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间，结论是该实数能被取到（即A为闭区间上某点的函数值）。
再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条件成立。
函数的连续性不难判断，仅需说明定积分除以区间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。
而要考察一个定积分的值的范围，不难想到比较定理（或估值定理）。
定理证明确属难点，但几乎没有考生敢于不去复习这部分，因为一旦考出来就是大题，且在没复习的情况下当场做出的可能性很小。
在此提醒2017的考研学子，掌握好以上梳理的重要定理的证明，是通往高分的必经之路。