第四讲对数函数及指数函数经典难题复习巩固

一、导入：名叫抛弃的水池

一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。这使他更加困苦不堪。 有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗” 他答道：“试过了。” “不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。” 精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。”说完，就不见了。 —

这病人跳进了水池，泡在水中。等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。

这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。于是他就此发誓，要戒除一切恶习。他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。

大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。

二、知识点回顾：

1．根式 (1)根式的概念

(2)两个重要公式．①n a n ＝ ②(n a)n ＝ (注意a 必须使n

a 有意义)． 2. 幂的有关概念

①正分数指数幂： ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)；

②负分数指数幂： ＝ ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)． ③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．

图象与性质

, Array

4．对数的概念

《

(1)对数的定义

如果，那么数x叫做以a为底N的对数，

记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．

(2)两种常见对数

5．对数的性质、换底公式与运算法则

6.对数函数的定义、图象与性质

7．反函数

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数 (a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称．

)

三、专题训练：

计算下列各式

(1)

1

3

3

()

2

-×(－

7

6

)0＋

1

4

8×42＋(32×3)6－

2

3

2

()

3

-

；

(2)

a3

5

b2·

35

b3

4

a3

；

(3)

41

33

22

3

33

8

24

a a b

a a

b b

-

++

÷(1－2

3b

a

)×

3

a.

[自主解答] (1)原式＝

1

3

3

()

2

-×1＋

3

4

2-×

1

4

2＋(

1

3

2×

1

2

3)6－13

3

()

2

-＝2＋4×27＝110.

(2)

a3

5

b2·

35

b3

4

a3

＝

33

212

a-·

32

1510

b-＝

5

4

a＝a4a.

;

(3)令

1

3

a＝m，

1

3

b＝n，

则原式＝m4－8mn3

m2＋2mn＋4n2÷(1－

2n

m

)·m

＝m m3－8n3

m2＋2mn＋4n2

·

m2

m－2n

＝m3m－2n m2＋2mn＋4n2

m2＋2mn＋4n2m－2n

＝m3＝a.

变式训练：计算下列各式

考点一有理指数幂的化简与求值

(1)

13

8()125

-－(－7

8)0

＋[(－2)3

]

43

-

＋16

43

-

＋|－

1100

|12；

(2)

9

3

3

2

a

a

-÷

3

a

－7

3

a 13

；

、

(3)(－33

8)

23

-＋(1500

)12

-

－10(5－2)－1＋(2－3)0

.

解：(1)原式＝(25)－1－1＋(－2)－4＋2－3

＋110

＝52－1＋116＋18＋110＝143

80

. (2)原式＝

9

36

67136

6

a a

a a

--＝

973136666a

+--

＝a 0＝1.

(3)(3)原式＝(－1)

23

-×(338

)

23

-＋(

1500

)12

-－

105－2

＋1

＝(278

)

23

-

＋(500)12－10(

5＋2)＋1

＝4

9＋105－105－20＋1 ＝－

1679

.

画出函数y ＝|3x －1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解有一解有两

解

[自主解答] 函数y ＝|3x －1|的图象是 由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折 到x 轴上方得到的，函数图象如图所示． #

当k<0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；

]

考点二

指数函数的图象