几何画板立体图形的旋转

立体几何的空间图形应该怎样转动

215006 苏州市第十中学罗强

文[1]介绍了一种应用《几何画板》软件实现空间图形直观图旋转的方法，虽然这种方法达到了使空间几何图形绕某个中心（或者绕某根对称轴）转动的目的，但根据这种方法作出的图形与中学教材所介绍的斜二测画法画出的直观图存在一定的差异，故不适宜在中学立几教学中采用。

为了使大家对文[1]介绍的方法有所了解，先把文[1]介绍的方法摘引如下：

“下面以正方形的直观图为例说明作图步骤（阅读前应先了解《几何画板》的主要功能和基本操作）：

1、作线段m和点S，以S为圆心m的长为半径作圆S并在圆上取动点A，作半径SA，在SA上取点B，以S 为圆心，SB为半径作小圆S。

2、在大圆S上取动点C，作射线CS交大圆于C、D，交小圆于C1、D1，过S作CS的垂线分别交两同心圆于E、F和E1、F1。

3、过C作SA的垂线与过C1所作SA的平行线交于M点，对点D和D1，E和E1，F和F1，同样作出P，N，Q 三点（也可以先作出M，Q两点再旋转得到P，N两点）。连结M、N、P、Q，得到平行四边形（如图1）”

显然，文[1]画法中，点M所在位置与点C按照斜二测画法画出的位置完全不同。

实际上，要作出转动正方形的斜二测画投影图并不困难，作法如下：

(1)、作水平线l和圆O，在圆O上取动点A，以O为中心，将A分别逆时针旋转90°、180°、270°，作出点B、C、D，连结可得转动正方形ABCD。

(2)、过A作直线l的垂线n，交l于A1点，以A1为中心，将A顺时针旋转45°并缩放为原来倍，得点E，同理可得点F；以O为中心，将E、F旋转180°，可得点G、H，连结点E、F、G、H得到平行四边形EFGH，该四边形即为正方形ABCD的斜二测画投影图（如图2）。

(3)、定义点A在圆O上的动画，双击“动画A”按钮，可看到随着正方形ABCD的转动，其投影平行四边形EFGH随之转动，其轨迹为椭圆。

文[1]还谈到拖动图1中的B点可以模拟水平视角的改变，这种方法对平面图形勉强尚可，但对几何体则很难适用。下面介绍一个水平视角可以变化的正方形的投影图的作法：

(1)、作铅直线a和圆O，得交点S，在圆O上取动点T，过T作a的垂线b交a于T1，以T1为中心，将T 逆时针旋转45°并缩放为原来的倍，得点P，连结OP（如图3），标记角∠SOP，标记比。

(2)、另作水平线h和圆O1，在圆O1上作正方形ABCD（如图4，图中为水平放置正方形），以A的垂足A1为中心，将A按(1)中的标记角和标记比进行旋转和缩放，得到点E，同理得点F，以O1为中心，将E、F

旋转180°得点G、H，连结E、F、G、H，平行四边形EFGH即为正方形ABCD的投影图。

(3)、定义图3中点T在圆O上的动画（P的轨迹为椭圆），可以看到图4中平行四边形EFGH随之绕水平直线h上下转动。

有了上述两种作法为基础，我们就可以作出既能水平方向转动又能垂直方向转动的正方体，作法如下：(1)、作圆O，水平线OT交圆O于点T，将T点以O为中心逆时针旋转90°得点S，以O为中心将S点缩放为原来的倍，得点S1（如图5）。

(2)、作圆O1和铅直线m，在圆O1上取动点A，以O1为旋转中心将点A顺次逆时针旋转90°，得点B、C、D，

作点A在直线m上的垂足A1，以A1为中心，将点A逆时针旋转45°并缩放为原来的倍，得点E，同理可得点F、G、H，取EH的中点K（如图6）。

(3)、标记向量FO，将线段FE按标记向量平移得到线段OE1，标记角∠S1OE1，标记比。

(4)、作水平直线n和圆O2，在圆O2上取动点A′，以O2为旋转中心将点A′顺次逆时针旋转90°，得点B′、C′、D′，作点A′在直线n上的垂足A2，以A2为中心，将点A′按(3)中的标记角和标记比进行旋转和缩放，得点E′，同理得点F′、G′、H′，连结E′、F′、G′、H′，得平行四边形E′F′G′H′（如图7）。

(5)、取点O3，标记向量KO3，将线段EH按标记向量平移得到线段MN；标记向量O2M，将四边形E′F′G′H′按标记向量平移，得四边形WXYZ；标记向量O2N，将四边形E′F′G′H′按标记向量平移，得四边形W1X1Y1Z1连结WW1、XX1、YY1、ZZ1，得正方体WY1（如图8）。

(6)、在图6中，定义点A在圆O1上的动画，在图7中，定义点A′在圆O2上的动画，双击按钮“动画A′”，可以看到图8中的正方体水平方向旋转，双击按钮“动画A”，可以看到图8中的正方体垂直方向旋转。

根据上文所述转动正方体的制作原理，还能作出既可水平转动又可垂直转动的正棱锥和正棱台等几何体，以这些转动几何体为模型，教师就可以制作出一系列CAI课例，从而使我们的立体几何教学突破原有教学手段的束缚，进入一个崭新的领域。

注：文[1]见范登宸等，让立体几何图形动起来，《数学通报》1999年第2期。

对于学生来说，学习高中立体几何的最大障碍是空间想像能力的不足。我们不妨举个例子。

如图1所示，PK垂直于矩形KLMJ于点K，连接PL、PM、PJ，请问在此图中有几个直角三角形。对这个题目，教师要花很大的功夫告诉学生侧面的四个三角形均为直角三角形，光证明不算，有时，还不得不在黑板上画出不同侧面的图形以帮助学生理解。后来笔者想到用《几何画板》把它制成了动画，让这个图形在水平面上旋转演示，学生便可以很好地理解了。

图1 几何题目示意图

1. 用画线段工具，在窗口的左下角画出一长一短两条线段。用文本工具分别标记它们为线段j和k。用画点工具，在窗口的中央画点，标记其为点A。用选择工具，按住“Shift”

键，同时选中点A和线段j及k，点击菜单命令“构造→由圆心和半径绘圆”，得到以点A为圆心的两个同心圆。改变线段的长短，可以同时改变两圆的大小。

2. 选中大圆，点击菜单命令“构造→Circle上的点”，得到圆上的一个动点，标记其为点B。同时选中点A和点B，点击菜单命令“构造→直线”，得到过点A和点B的一条直线。选中这条直线，同时选中点A，点击菜单命令“构造→垂线”，这样，我们就得到了两条互相垂直的直线。用画点工具，在两条直线与两圆的交叉处画点，并分别对它们进行标记（如图2）。

图2 构造点与线

3. 点击菜单命令“图像→定义坐标系”，在窗口中显示直角坐标系及网格。同时选中大圆上的点B及其下方的点E，并选中坐标系的y轴，点击菜单命令“构造→平行线”，得到两条与y轴平行竖直向下的直线。

4. 同时选中小圆的点F和H，并同时选中一条竖直向下的直线，点击菜单命令“构造→垂线”，得到两条水平直线。它们与两条竖直向下的直线会有四个交叉点。用画点工具在左下角和右上角的交叉处画点，用文本工具标记它们为点J和点K。同时选中这两个点，点击菜单命令“构造→线段”，得到线段JK。选中这条线段，点击菜单命令“显示→线宽→粗线”，使它变成粗线段（如图3）。

图3 长方体的一条边

5. 双击点A，使其标记为中心，选中线段JK，点击菜单命令“转换→旋转”，在弹出的“旋转”对话框中的“旋转角度”输入框中输入“180”。点击[旋转]按钮，得到线段JK关于点A的对称线段。用画点工具画出线段的两个顶点，用文本工具标记它们为点L和点M。同时选

中点L和点K，点击菜单命令“构造→线段”，另外选中点M和点J，同样构造线段。这样，我们就得到了长方体的底面KJML了（如图4）。

图4 长方体的面

6. 我们还要先清理一下窗口，因为现在画的辅助线有点多了。先选中除了底面KLMJ、点B、大圆之外的线条和点，按“Ctrl+h”快捷键将它们隐藏。选中点K，点击菜单命令“转换→平移”，弹出的“平移”对话框，在“距离”的输入框中输入“5”厘米（您可以根据需要的效果填写这个数字）。用前面的方法构造出线段PL、PM、PJ、PK。

7. 选中B点，点击菜单命令“编辑→动作按钮→动画…”，在弹出的对话框中，点击“动画”选项卡，在“方向”的下拉列表中选择“Clockwise”。点击“标签”选项卡，在输入框中输入“旋转”，其他项目都用默认的设置。完成后，在窗口中就多了一个[旋转]按钮，点一下，便开始旋转，再点一下就可以停下来。有了它，就不愁学生想像不出空间图形了。

其实，立体几何中的很多的问题都可以用这种方法来解决，只要利用前面的1~5步，得到可以在水平面转动的底面，那么在此基础上，搭建其他立体图形岂不简单得很？您不妨也试试。