高等流体力学第四章(2)

内的偶极子流体，填充以固体材料形成一个固体圆
柱，圆外的流动将保持不变，也就是说速度为U的均
2 匀来流和强度为 μ =Ua
的偶极子流动叠加后在
Ra
的区域形成的流场即是速度为 U 的均匀
来流绕流 R＝a 的圆柱流动。
4.7 圆柱的无环量绕流
达朗贝尔佯谬
均匀来流绕流圆柱的速度场对 x 轴和 y 轴都是对称的， 因此压强分布对 x 轴和 y 轴也是对称的，于是圆柱所 受流体作用力的合力为零，即圆柱不但不承受与气流 垂直的升力，也不承受沿流动方向的阻力。
有环量绕流速度场对 y 轴对称，压强场也对 y 轴对称，因此在 x 轴方向圆柱所受表面力合力为零。 由于环量的存在，流场对 x 轴不再对称，在圆柱上表面顺时针 的环流和无环量的绕流方向相同，因此速度增加，而在下表面 则方向相反，速度减少。根据伯努利方程上表面压强减小，下 表面压强增大，于是产生向上的合力，称升力。
4.7 圆柱的无环量绕流
叠加原理
势函数和流函数满足的控制方程是线性的，因此它们的解具有可 叠加性。依据这一原理，上面给出的基本流动的复位势函数可以叠 加起来给出较为复杂的流动问题的解。
4.7 圆柱的无环量绕流
均匀流与偶极子叠加
沿 x 方向的均匀流和在原点的偶 极子叠加给出圆柱绕流的解，
F(z) Uz +
ε <<1 z
ε 2 m ε ε = ln + + + 0 2 2π z z z ε m ε ε m ε ln + + 0 2 = + 0 2 2π z z 2π z z
前者是和实际情况符合的，而后者则与实际不符， 这就是著名的达朗贝尔佯谬。这主要是由于没有考 虑粘性对流动的影响。在粘性流动中圆柱将承受由 于存在壁面切应力所产生的摩擦阻力和由于边界层 分离所产生的压差阻力。 尽管如此圆柱无环量绕流问题仍具有重要的理论意 义。
4.8 有环量圆柱绕流
复势函数
无环量圆柱绕流和顺时针旋转的点涡叠加，
0 sin 0 0,
0 1 4Ua
1 4Ua
•有环量流动，
0 1 4Ua
有两个驻点，分别位于3，4象限，且关于y轴对称。 顺时针点涡流场与绕流圆柱流场叠加在 1 ， 2 象限速度方 向相同，速度增加；在 3 ， 4 象限速度方向相反，速度减 少，于是分别在 3 ， 4 象限的某个点处速度为零。相当于 把θ＝0和π的两个驻点分别移动至3，4象限。
4.9 布拉修斯公式 求圆柱受力和力矩的方法
•压强积分方法 从复位势求出柱体表面速度分布； 再利用伯努利方程求出柱体表面压强分布，作积分求出表面力合 力与合力矩。 •复变函数方法 布拉修斯公式
X - Yi = i M =-
ρ 2 W dz C 2 0
ρ 2 Re z W dz C0 2
与动量定理求出的柱体受力X，Y的表达式相比得，
X - iY = i
ρ 2 W dz C 2 0
上式中X，Y是作用在柱体重心的力，方向分别沿 x 与 y 轴正向；C0 是包围柱体的任意曲面；W为复速度。
4.9 布拉修斯公式
n
动量矩定理
M
Y
X
n
udy
vdx
Co
r M = u ρ δQ
CS
Ci
pdy
对我们研究的控制体，只需要考虑z方向分量方程，
pdx
-M + (xpdx+ ypdy)= ρvx(udy - vdx)- ρuy(udy - vdx)
C0 C0
方程左边第一项是柱体对流体的反力矩， 第二项是C0 外的流体作用在C0上的压力对坐标原点（柱体重心）的矩。 方程右边则是单位时间净流出控制面的流体动量矩，方括号内两项分别 表示动量 ρvδQ, ρuδQ 对坐标原点的矩。由于没有流体通过柱体 表面Ci，积分只在C0上进行。
a2 iΓ F(z) U ( z + ) + ln z +c z 2π
z = aeiθ
F(z) U (aei θ + ae-i θ ) +
令
c= -
iΓ lna 2π
iΓ Γ iΓ ln(aei θ ) +c = 2U cos θ - θ + ln a +c 2π 2π 2π
，则在圆柱面Ψ ＝0 。于是，
而曲线积分则可利用留数定理求出。
4.9 布拉修斯公式
n
柱体受力分析
Y
设定常均匀来流绕流任意形 状的柱体，周围流体对柱体 的作用力可简化为作用在柱 体重心的力X、Y 以及力矩 M（取xoy坐标原点在柱体 质心）。
M
Ci
n
X
udy
vdx
Co
dl
pdx
pdy
取任意形状封闭曲面C0 包围柱体，柱体表面为Ci。以C0 ，Ci 间 的空间为控制体，控制体内的流体受到C0 外流体的压强p的作 用，同时受到柱体的反作用力 － X，－Y，以及反力矩－ M的 作用。
a2 iΓ z F(z) U(z + )+ ln z 2π a
点涡的流线是同心圆，圆柱表面是一条流线不会因在原点增加点涡而改变。
4.8 有环量圆柱绕流
速度场
dF a2 iΓ 1 a 2 -2 i θ iΓ e-i θ a 2 -i θ iΓ -i θ iθ W(z) = U (1- 2 ) + = U (1- 2 e ) + = U (e - 2 e ) + e dz z 2π z R 2π R R 2πR a2 a2 Γ -i θ = U (1- 2 ) cos θ +i U (1+ 2 ) sin θ + e R R 2 πR a2 u = U (1- 2 ) cos θ R R 2 u = -U (1+ a ) sin θ - Γ θ R2 2πR
4.9 布拉修斯公式
n
应用动量定理于上述控制体， x方向， -X - pdy = uρ(udy - vdx)
C0 C0
Y
y方向， -Y + pdx = vρ(udy - vdx)
C0 C0
M
X
n
udy
vdx
Co
Ci
Ci 是一条流线，没有流体穿过

CS

2 2
m
= F( z )


m
mε π z
上式推导中用到 , 设
0 m
x <1时, ln(1+ x) = x+ o( x2 )
lim mε = π μ
μ z
F( z )
4.6 偶极子流动
流函数
F( z ) μ μz μ(x - iy) = = 2 z zz x + y 2
Ψ = -μ
y x2 + y 2
令 等于常数，
x2 + y 2 +
μ y=0 Ψ
2
μ 2 μ x2 + ( y + ) = 2Ψ 2Ψ
流线是圆心在 y 轴且通过原点的圆族。dF μ μ = - 2 = - 2 e-2 i θ dz z R μ = - 2 (cos θ - i sin θ ) e-i θ R = (uR - i uθ ) e-i θ
4.6 偶极子流动
F( z ) μ z
显然 z ＝ 0 处是上述函数的奇点。
4.6 偶极子流动
偶极子是一对无限接近的非常强的点源和非常强的点汇
ε m m m z+ε m z F( z ) ln z + ε ln(z - ε)= ln = ln 2π 2π 2π z - ε 2π - ε z +
2
圆柱无环量绕流的复势函数
取
μ =Ua2
则圆柱无环量绕流的复势函数
μ F(z) Uz + z a2 =U z+ z
4.7 圆柱的无环量绕流
叠加流场是绕流圆柱的解
用一个半径为a的圆柱状薄金属壳垂直于均匀流插入
流场并与圆 R＝a 的流线相重合，将不会对圆内的偶 极子流动和圆外的均匀来流形成干扰。移去金属壳
Ci

C0

C0
通过C0上的微分面积的体积流量
δQ = udy - vdx
dl
pdx
pdy
微元面在x和y方向受到的压力则分别为：－p dy，p dx 伯努利方程 p = c -
ρ 2 2 u +v 2
代入 x 和 y 方向的动量方程，并考虑到

C0
cdx C cdy 0 ，得
圆方程
z = a eiθ
μ z
μ F(z) U a ei θ + e- i θ a μ μ (U a + ) cos θ +i (Ua - ) sin θ a a μ 圆表面的流函数 Ψ = (U a - ) sin θ a
μ =Ua ，则在圆表面上 0 显见，只要选 。流动图谱见附图。 可见看出圆R＝a把流场分为两部分：由于流体不可能穿越一条流线流动，可以 断定偶极子流动被包围在圆内，而均匀来流则被排斥在圆外。偶极子向上游的 流动由于受到均匀来流作用，折转方向流向下游，均匀来流流线则发生弯曲， 围绕圆R＝a从圆外流过。
在圆柱面上（R＝a）
uR = 0 Γ u = -2U sin θ θ 2πa
uR = 0 ， 即 un = 0 ，正是理想流体绕流圆柱时在圆柱表面应满足的 边界条件。