两点间距离公式在初中数学中渗透的思考
两点间距离公式在中考试题中的应用
两点间距离公式是用来计算两点间直线距离的公式。
在中考试题中，常用于计算两点间直线距离，如计算两点间距离，计算两点间直线距离等。
例如，在平面直角坐标系中，两点间距离公式为：d = √((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
在中考试题中，还可以用两点间距离公式来解决一些几何问题，比如：
求三角形中两边长度之和与第三边长度的关系
求线段中点到端点距离的关系
求圆心距离
求抛物线焦点到顶点距离
两点间距离公式是中考几何中的基础公式，学好它对于中考考试是很有帮助的。
此外，两点间距离公式在中考试题中还可以用于解决以下问题：
求两点之间最短路径
求两点之间最短距离
求两点之间最短时间
求两点之间距离最短的路径
在数学中，两点间距离公式是一种常用的计算两点间距离的方法，在现实生活中也有很多应用。
例如，在地图导航系统中，两点间距离公式可以用来计算两点之间的距离，帮助我们找到最短路径和最短时间。
最后，记住两点间距离公式是中考几何考试中重要公式，需要熟练掌握应用。
初中数学知识归纳平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标
初中数学知识归纳平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标平面直角坐标系中，两点的距离和中点的坐标是初中数学中的基础知识。
通过学习和归纳，我们可以更好地理解和应用这些概念。
本文将对初中数学中关于平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标进行归纳总结。
1、两点间的距离在平面直角坐标系中，两点的距离可以通过勾股定理来求解。
设两点的坐标分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则两点间的距离d可表示为：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2、中点的坐标中点是指连接两点线段的中心点，也是线段的对称点。
我们可以通过平均两点的x坐标和y坐标来求解中点的坐标。
设两点的坐标分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标M（x，y）可表示为：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 2下面，结合具体的例子来说明两点的距离和中点的坐标的计算方法。
例子1：已知平面直角坐标系中点A（2，3）和点B（5，6），求两点间的距离和中点的坐标。
解：根据两点间的距离公式，可以得到两点A、B间的距离d：d = √((5-2)^2 + (6-3)^2)= √(9 + 9)= √18≈ 4.24根据中点的坐标公式，可以得到中点M的坐标：x = (2 + 5) / 2 = 3.5y = (3 + 6) / 2 = 4.5所以，点A和点B间的距离为4.24，中点的坐标为（3.5，4.5）。
例子2：已知平面直角坐标系中点C（-1，2）和点D（3，-4），求两点间的距离和中点的坐标。
解：根据两点间的距离公式，可以得到两点C、D间的距离d：d = √((3-(-1))^2 + (-4-2)^2)= √(16 + 36)= √52≈ 7.21根据中点的坐标公式，可以得到中点N的坐标：x = (-1 + 3) / 2 = 1y = (2 + (-4)) / 2 = -1所以，点C和点D间的距离为7.21，中点的坐标为（1，-1）。
解析几何两点距离公式两个
解析几何两点距离公式两个在咱们学习解析几何的时候啊，有两个非常重要的两点距离公式，这俩公式就像是打开数学世界大门的神奇钥匙。
咱先来说说这第一个两点距离公式。
假设平面上有两个点 A(x₁,y₁) 和 B(x₂, y₂) ，那这两点之间的距离 d 就可以通过公式d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 来计算。
我给您说个我之前遇到的事儿，有次我去超市买东西，我从水果区走到饮料区，就想到了这个公式。
水果区在坐标 (10, 20) ，饮料区在(30, 50) ，我就想啊，这两个区域之间的距离，不就可以用这个公式算出来嘛。
我就一边走一边在心里算，感觉数学真是无处不在。
这个公式的推导其实也不难理解。
咱就是利用勾股定理，把两点在x 轴和 y 轴上的距离差看作直角三角形的两条直角边，那两点之间的距离就是斜边。
这样一琢磨，是不是就觉得挺简单的？再来说说第二个两点距离公式。
如果是在空间中，有两个点 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂) ，它们之间的距离 d 就是d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] 。
这让我想起有一回我给学生们讲这个公式的时候，有个调皮的学生就问我：“老师，这在太空里能用不？”我笑着说：“当然能啦，哪怕是宇宙中的两个星球，只要能确定它们的坐标，就能用这个公式算出距离。
”您想想，这两个公式多有用啊。
不管是在解决数学题，还是在生活中的实际问题，比如计算地图上两个地点的距离，规划路线啥的，都能派上大用场。
咱们在学习这两个公式的时候，可别死记硬背，得多做几道题练练手，熟悉了才能运用自如。
就像学骑自行车，刚开始可能摇摇晃晃，但多骑几次，掌握了平衡的技巧，就能轻松驾驭啦。
而且啊，这两个公式还能和其他的数学知识结合起来，形成更复杂但也更有趣的问题。
比如说和函数图像结合，求两个函数图像上的点之间的最短距离。
优质课两点间的距离公式的设计与课后反思
优质课“两点间的距离公式”的设计与课后反思
这节课是在学生学习完两直线的位置关系后的一节新课。
在复习数轴上两点间的距离是如何计算的指示后结合勾股定理的指示在平面直角坐标系中很自然地推出两点间距离公式。
公式的应用只是这节课的一部分内容，重点是放在结合前几节课的有关知识来多角度的解决问题，培养学生综合解题的能力。
如对例2提出利用两直线垂直的判定方法。
对例3提出用解析法证明，特别是例4，除用两点间的距离公式解决问题外，还可引导学生回顾初中几何解决问题的方法在相应的解析几何中该怎么处理？及时巩固前几节课所讲的两直线的位置关系。
强调知识间的相互渗透和有机联系。
“两点间的距离公式”这一个知识点的容量是比较小的，但通过这样的设计，课堂的容量及其丰富，对学生的思维进行了较高强度的训练。
整节课思路清晰，能较好的构建学生的知识网络，注重学生思维能力的培养。
采取学案的形式，让学生课上得思考延伸到课后，让课上和课后形成一个有机的学习整体。
将军饮马问题初一下册数学
将军饮马问题一、引言将军饮马问题是一个经典的数学问题，经常出现在初中数学教材中。
它主要涉及到两点间距离公式、一次函数的性质、函数的对称性、直线的方程等方面。
本文将详细介绍这些问题，并给出相应的例题和解析。
二、两点间距离公式两点间距离公式是计算两点之间距离的基本公式。
对于任意两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们之间的距离d为：d = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]其中，√表示开方，^表示乘方。
这个公式在解决将军饮马问题中非常重要，因为它可以帮助我们计算出两个点之间的最短距离。
三、一次函数的性质一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
一次函数的性质包括：1.斜率k决定了函数的增减性。
当k>0时，函数为增函数；当k<0时，函数为减函数。
2.截距b决定了函数与y轴的交点。
当b>0时，交点在y轴正半轴上；当b<0时，交点在y轴负半轴上。
在解决将军饮马问题中，一次函数可以帮助我们描述道路的长度和位置关系。
四、函数的对称性函数的对称性是指函数图像关于某一直线或点对称。
对于一次函数y = kx + b，其对称轴为x轴。
因此，如果两点P和Q关于x轴对称，则它们的x坐标相同，y坐标互为相反数。
在解决将军饮马问题中，函数的对称性可以帮助我们判断两个点是否关于道路对称，从而确定最短路径。
五、直线的方程直线的方程通常用两点式或斜截式表示。
两点式方程为y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)(x-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为直线上两点坐标。
斜截式方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
在解决将军饮马问题中，直线的方程可以帮助我们描述道路的位置和长度。
六、三角形和四边形的性质三角形和四边形是初中数学中常见的几何图形。
它们的性质包括：1.三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2.三角形的角度关系：三角形内角和为180度，外角等于不相邻两个内角之和。
数学知识点上海教育版数学八上19.10《两点距离公式》word教案-总结
§19.10两点的距离公式教学目标：1、让学生经历探求直角坐标平面内任意两点之间距离的过程，体会从分外到大凡，再从大凡到分外的思维方法，掌握两点之间距离公式。
2、学会应用数形结合、方程思想以及分类讨论等数学思想方法。
3、会利用两点的距离公式解决一些基本的简单问题。
教学重点、难点：重点：直角坐标平面内两点之间距离公式的推导及其应用难点：直角坐标平面内任意两点之间距离公式的推导教学过程：1、复习引入：已知直角坐标平面内A(-3,2),B(4,1),C(-3,1)求①B、C两点的距离X轴或平行于X轴的直线上的两点A（x,y)、B(x，y)12的距离AB=|x x|12②A、C两点的距离Y轴或平行于Y轴的直线上的两点C（x,y)、D(x，y)12的距离CD=|y y|1③A、B两点的距离22、探求新知：任意两点之间距离公式如果直角坐标平面内有两点A(x 1,y1)、B(x2,y2)，那么A、B两点的距离AB =（x 1x2)2(y1y2)23、练一练：求下列两点的距离（1）A(1,2)和B(4,6)（2）C(-3,5)和D（7,-2）4、例题讲解：例1、已知坐标平面内的△ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(-1,4)、B(-4,-2)、C(2,-5),判定这个三角形的形状？初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学例2：已知直角坐标平面内的两点分别是A(3，3)、B(6，1)①点P在x轴上，且PA = PB，求点P的坐标。
变一变：②点P在y轴上，且PA = PB，求点P的坐标。
5、归纳总结：6、布置作业：初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学。
二点间的距离公式 初中应用
二点间的距离公式初中应用距离计算是日常生活中最常见的数学应用之一，其公式D=√((x2−x1)2+(y2−y1)2)表示两点(x1，y1)和(x2，y2)之间的距离D。
本文主要介绍了如何用它来计算曲线的弧长，从而为广大同学提供更好的学习体验。
二点间的距离是在几何中重要的概念之一。
它是用于测量任何两点之间的实际距离。
它是学校数学和地理室讲求的一门必修课，让我们能够有效地计算出物体关于它们之间的距离。
特别是在初中阶段，对于二点间距离公式，我们能使用数学语言来测量两点之间的距离。
它是一种有用工具，可以帮助我们确定两个点之间的准确距离。
1. 了解二点间距离的概念计算两个点之间的直线距离需要一个叫做“二点间距离公式”的工具。
它是确定两点相距多远的最有效的方法，要求用户输入两点的坐标，它将返回两个点之间的距离。
2. 了解坐标系要使用二点间距离公式，我们首先需要了解坐标系。
坐标系包括：横轴(横坐标)和纵轴(纵坐标)。
两个点之间从一个特定的坐标系找到它们之间的距离，我们需要记住这些定义的坐标参数。
3. 了解二点间距离公式二点间距离公式是一种公式，它可以根据我们提供的两个点的坐标来为我们指定两个点之间的实际距离。
它通过使用勾股定理，并应用于点(x1, y1)和点(x2, y2)来求得两点之间的距离。
4. 使用公式计算距离一旦我们了解了坐标系和二点间距离公式，我们就可以使用它来计算两点之间的距离。
二点间距离公式由一个简单公式表示，表示为:距离= √（（x2-x1）的平方+ （y2-y1）的平方）5. 使用应用程序随着科技的发展，现在，数学家也可以使用二点间距离公式的计算来加快计算速度。
它们可以使用特定的应用程序来计算两点之间的距离，只需要输入两个点的坐标，它将自动为我们计算出两点之间的距离。
从上面的例子我们可以看出，在初中阶段，学习二点间距离公式是一个重要的数学建模。
它不仅可以帮助学生理解抽象的几何概念，而且还可以帮助他们解决许多传统的英国袖珍计算器的问题。
两点间距离公式及其在中考中的应用
ＰＪ ｌ ｃ ＿ ＝
４（ ＋２）
’
‘
．
虑 抛 物 线 与 轴 有 两个 交 点必 须满 足什 么 条 件． 例 ２ 已知 抛 物 线 ｙ＝ ＋ｂ ｘ＋ｃ的对 称 轴 在 ｙ轴 的 右
． ‘ ‘
Ｐ点 在 轴 下 方 ，． ． ．ｙ ＜０ ‘
Ｐ 一 ！ 一 ！ 兰 二 ＝ ± ： ｒ 一 二： ± ２ ２ ！ ２ １
Ｗ
／ －ａ 则 ｂ １ ＋ ２＝ｍ ， ・ ＂ ＝６ ， ＝ ４ ｍ ＝ ， ｍ Ｄ Ｌ ４ ｍ ６ ， ４
・
．
下 面举 列 说 明这 个 公 式 的应 用 ． 例 １ 当 ｃ为 何 值 时 ， 物 线 ，：２ ＋ ｘ＋ｃ与 轴 有 抛 ， ｘ ６
试）
（） ２ 由题 意 得
思路 探 索
根 据 直 角 三 角形 斜 边 上 中线 等 于 斜 边 的 一
ｆ Ｄｏ ｆ 。 ６ “÷，
’
半 列 方 程 求 值 ， 中斜 边 即 为 抛 物 线 与 轴 两 交 点 间 的距 其 离， 斜边 上 中 线 长 等 于 顶 点 纵 坐 标 的绝 对 值 ， 们 都 可 以根 它
交 点 之 间 的距 离 为 ２ 则 Ｉ。 Ｉ ２ ， 一 ＝．
由
：
顶 点 纵 坐 标 的绝 对 值 ， 为 坐 标 平 面 内 的 点 到 轴 的 距 离 因
等 于 它 的纵 坐 标 的绝 对 值 ， 里 不 要 漏 掉 绝 对 值 符 号 ． 这 例 ３ 抛 物 线 ）＝（ ＋２ 一（ ＋１ 一１与 轴 交 于 ， ） ）
．
抛 物 线 开 口 向上 ，． ＋ ０ ． ＋ ０ ． ２＞ ，． ３＞ ． ’
两点之间的距离公式是初几的知识点
两点之间的距离公式是初几的知识点在数学中，计算两点之间的距离是一项基础的几何问题，它在初等数学的学习中被广泛涉及。
计算两点之间的距离公式可以帮助我们解决直角三角形的相关问题，同时也是后续学习几何和解析几何的基础。
本文将介绍两点之间的距离公式，以及它在初等数学中的应用。
两点之间的距离公式假设平面上有两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们需要计算这两点之间的距离。
根据勾股定理，我们可以得到以下距离公式：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]其中，d表示两点之间的距离。
该公式通过计算两点在水平和垂直方向的差值的平方和的平方根来求得。
这个距离公式可以用于计算平面上任意两点之间的距离。
应用举例例1：计算两点之间的距离假设平面上有两点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。
根据公式：d = √[(5 - 2)² + (7 - 3)²] = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5所以，点A和点B之间的距离为5个单位。
例2：判断点的位置关系利用距离公式，我们还可以判断一个点与原点之间的距离，从而确定这个点的位置关系。
考虑平面上的一个点P(x, y)，我们可以计算它与原点之间的距离。
当√[(x - 0)² + (y - 0)²] = 0 时，点P与原点重合，即P的坐标为(0, 0)；当√[(x - 0)² + (y - 0)²] > 0 时，点P与原点不重合，即P的坐标不为(0, 0)。
通过这种方法，我们可以直观地判断一个点在平面上的位置。
总结两点之间的距离公式是初等数学中的重要知识点之一。
它不仅能够用来计算平面上任意两点之间的距离，还可以应用于判断点的位置关系。
通过学习和理解这个距离公式，我们可以更好地解决与直角三角形相关的几何问题，并为后续的几何学习打下坚实的基础。
初中数学教学案例范文
初中数学教学案例范文初中数学教学案例：两点间的距离教学目标：学生能够计算平面直角坐标系上两点间的距离，并应用到实际问题中。
教学内容：两点间的距离公式教学过程：1. 引入新课，提出问题：如何计算平面直角坐标系上两点之间的距离？2. 引导学生探究：教师在黑板上画出一张平面直角坐标系，选择两个点A和B，问学生如何计算AB的距离。
3. 学生合作讨论，找出关键问题：如何确定两点的坐标差？4. 学生进行思考，探索，尝试寻找答案。
教师鼓励学生思考，给予适当提示。
5. 学生集体讨论，每个小组选择一名代表进行演讲，阐述自己的思路和答案。
6. 教师点评，引导学生总结出两点之间的距离公式：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，同时解释公式的由来。
7. 教师示范几个例子，帮助学生理解和掌握公式的应用方法。
8. 学生个人或小组活动，完成相关练习题，提供必要的指导和帮助。
9. 教师巡视课堂，关注学生学习的情况，及时指导和纠正错误。
10. 学生展示自己的解题思路和答案，进行互评互鉴。
11. 教师作总结，强调两点间距离的重要性和应用领域。
12. 布置作业：完成给出的习题。
板书设计：两点间距离公式：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)教学反思：本节课设计了一系列启发性教学环节，充分调动了学生的学习积极性和创造性思维，提高了他们解决问题的能力。
通过合作讨论和展示，学生不仅学会了计算两点间距离的方法，还学会了如何应用到实际问题中。
在布置作业时，应考虑到学生的实际情况，避免过多的机械计算题，提供一些拓展性题目，鼓励学生思考和发散性思维的发展。
初中学过两点间的距离公式吗
初中学过两点间的距离公式吗在初中阶段的数学学习中，咱们还真没学过两点间的距离公式呢！回想我当年上初中那会，数学可是一门让我又爱又恨的学科。
记得有一次数学课上，老师在黑板上画了一个坐标系，然后随便点了两个点，问我们怎么求这两点之间的距离。
当时大家都一脸懵，各种猜测和尝试，但都没说到点子上。
最后老师笑着说：“同学们，别着急，咱们初中阶段还没学到这个厉害的工具呢，等以后上了高中，你们就会学到两点间的距离公式啦。
”那时候我就特别好奇，这高中才能学到的公式到底是啥样的。
初中数学主要还是在打基础，像代数运算、几何图形的性质和简单的函数等等。
比如说求解一元二次方程，那可是重点中的重点。
我们得熟练掌握配方法、公式法这些方法，去求出方程的根。
还有三角形全等的判定定理，什么“边角边”“角边角”，那都得记得牢牢的，考试的时候一看到相关的题目，就得迅速反应过来。
但是两点间的距离公式，确实不在初中数学的范畴里。
这个公式是在高中的平面直角坐标系中才会深入学习的。
高中阶段，当我们再次面对平面直角坐标系时，知识的深度和广度都有了很大的提升。
两点间的距离公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们更准确、更快速地求出两点之间的距离。
假设在平面直角坐标系中有两个点 A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，那么两点间的距离公式就是：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 。
这个公式看起来有点复杂，但只要多做几道题，多练习练习，其实也不难掌握。
比如说，给你两个点 A(1, 2)和 B(4, 6)，那我们就可以代入公式：x₁ = 1，y₁ = 2，x₂ = 4，y₂ = 6 ，算出来d = √[(4 - 1)² + (6 - 2)²] = √[3² + 4²] = √25 = 5，这样就求出了 A 和 B 两点之间的距离是 5 。
虽然初中阶段没有接触到这个公式，但初中数学为我们后续学习这个公式以及更复杂的数学知识奠定了坚实的基础。
初中是否学过两点间的距离公式湘教版
初中是否学过两点间的距离公式湘教版在初中数学中，学生通常学习了两点间的距离公式。
下面将通过1200字以上的篇幅来详细介绍。
在初中数学中，学生会学习到两点间的距离公式，这是解决几何问题中非常重要的一部分。
在几何学中，两点之间的距离指的是连接这两个点之间的最短直线距离。
这个距离可以在坐标平面上或在三维空间中进行计算。
湘教版是中国湖南省教育厅出版发行的教材，也可能会包含两点间的距离公式。
为了说明两点间的距离公式，我们来看一个简单的例子。
假设我们有两个点A和B，它们的坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)。
我们想要计算出这两个点之间的距离。
根据勾股定理，两点间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)这个公式是由直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度平方和的平方根推导而来。
我们可以将这个公式应用到坐标平面上。
例如，如果我们有两个点A(2,3)和B(5,7)，我们可以使用上述公式计算出这两个点之间的距离。
d=√((5-2)^2+(7-3)^2)=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5所以，点A和B之间的距离是5个单位。
除了在二维坐标平面上计算两点之间的距离，学生也可能会在三维空间中遇到这个问题。
在三维空间中，两点之间的距离公式稍有不同。
假设我们有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们可以使用以下公式计算它们之间的距离：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)同样，我们可以通过一个示例来说明这个公式。
假设我们有两个点A(1,2,3)和B(4,5,6)。
我们可以使用上述公式计算出这两个点之间的距离。
d=√((4-1)^2+(5-2)^2+(6-3)^2)=√(3^2+3^2+3^2)=√(9+9+9)=√27=3√3所以，点A和B之间的距离是3√3个单位。
总结起来，两点间的距离公式是初中数学中的重要知识点。
通过这个公式，学生可以计算出坐标平面上或三维空间中两点间的最短距离。
初中是否学过两点间的距离公式湘教版
初中是否学过两点间的距离公式湘教版在初中数学中，会学到两点间的距离公式，该公式是用于计算平面上两点之间的直线距离的基本工具。
根据题目的要求，我们可以使用这个公式来解决与距离相关的各种问题。
首先，我们来回顾一下两点之间的距离公式：设平面上的两点分别为A（x1,y1）和B（x2,y2），则这两个点之间的距离可以使用以下公式来计算：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，d代表AB两点之间的距离。
这个公式的推导可以通过利用勾股定理来实现。
我们可以把这两个点与坐标轴的交点连接，这样我们就得到了一个直角三角形。
根据勾股定理，我们可以得出这个三角形的斜边（即两点之间的距离）的平方等于两个直角边的平方和。
然后我们再对这个等式开方，就可以得到距离公式。
在初中数学中，通常会通过具体的例题来帮助学生理解和熟悉这个距离公式。
以下是几个例子：例题1：已知平面上的两个点A（3，4）和B（7，10），求AB两点之间的距离。
解：根据距离公式，我们可以得到：d=√((7-3)²+(10-4)²)=√(4²+6²)=√(16+36)=√52=2√13所以，AB两点之间的距离为2√13例题2：平面上有三个点A（1，2）、B（5，1）和C（3，-4），求AB和AC两线段的长度。
解：首先，我们可以使用距离公式求得AB和AC的长度。
对于AB，我们有：dAB=√((5-1)²+(1-2)²)=√(4²+(-1)²)=√(16+1)=√17对于AC，我们有：dAC=√((3-1)²+(-4-2)²)=√(2²+(-6)²)=√(4+36)=√40=2√10所以，AB的长度为√17，AC的长度为2√10。
这些例题可以帮助学生理解和应用距离公式。
同时，也可以通过解决一些实际问题来加深对距离公式的理解。
两点间距离公式的应用
两点间距离公式的应用在直角坐标平面内，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点间的距离公式表示为d(P 1，P 2)＝222121()()x x y y ，注意到此公式的特点，在做题的过程中进行适当的联想、类比，有好多问题可以借助于两点间的公式来解答。
一、求函数的值域有些带根式的函数，在求其值域时，联想到两点间的距离公式，利用函数的几何意义可以很容易地求出函数的值域来。
例1、求函数y =222222x x x x 的值域。
解：∵y ＝222222x x x x ＝22(1)1(1)1x x ＝2222[(1)](01)(1)(01)x x ，∴函数y 可以看作是动点P （x ，0）到两个定点A （-1，1）、B （1，1）的距离之和，由三角形的三边关系可知 | PA | ＋ | PB | ≥ | AB |，当P 点在线段AB 上时，取得等号。
而易求得| AB | ＝22，∴y ≥22。
即所求函数的值域是{ y | y ≥22}。
二、证明不等式有些不等式的证明难以下手，但是若与两点间的距离公式联系起来，进行恰当的变形后就可以找到证明的思路。
例2、已知x 1＞0，x 2＞0，求证：2212212111()22x x x x 。
证明：当x 1＞0，x 2＞0时，原不等式2212212111()22x x x x 等价于22212121121()2x x x x ，也就是等价于2221212114()x x x x 至此，我们令A （x 1，1），B （-x 2，-1），则 | OA | ＝211x ，| OB | ＝221x ，而 | AB | ＝2124()x x ，根据三角形三边间的关系可得| OA | ＋| OB | ≥| AB |，即2221212114()x x x x ，从而有2212212111()22x x x x 得证。
三、判断三点共线对于三点共线问题，有若干种证法，当然也可以用两点间的距离公式来进行证明。
数学思想在课堂上的渗透——“空间两点间的距离公式”课例对比及反思
数学思想在课堂上的渗透——“空间两点间的距离公式”课
例对比及反思
姚卫
【期刊名称】《广西民族师范学院学报》
【年(卷),期】2012(029)003
【摘要】数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
在实际的数学教学中，不少老师往往只重视题型与方法的重复训练，而忽略数学思想的培养，这样的课堂的有效性就不可能很高。
如果教师能在其他内容的教学中渗透类比的思想的话，不仅可以在教学章节中显得顺理成章，也能更早好地培养学生的数学思想。
%Based on the teaching practice and combined with the basic concept, this paper studies to improve the effectiveness of mathematics class through permeating mathematical thought in teaching.
【总页数】4页(P86-89)
【作者】姚卫
【作者单位】东莞市厚街中学,广东东莞523960
【正文语种】中文
【中图分类】G642
【相关文献】
1.平面上两点间的距离公式的灵活应用 [J], 黄尚玲
2.数轴上两点间的距离公式及应用 [J], 李德旺
3.对“问题链·导学”教学模式的思考——以人教“空间两点间的距离公式”为例[J], 杨静
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两点间距离公式在初中数学教学中渗透的思考
吴中区迎春中学 215128 江巧根
一、两点间距离公式的推导过程
数轴上两点间的距离公式：如图（1），A 、B 两点在数轴上对应的值分别为12,x x ，则AB 两点间的距离为
12x x -．
平面直角坐标系中的两点间距离公式：在平面直角坐标系中，如果设A 、B 两点坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，221212()()x x y y -+-点间的距离公式．
其推导过程如下：如图（2），设在平面直角坐标系中，设点A 1,1()x y 、B 22(,)x y ，分别过
点A 、B 作AE ⊥x 轴、BF ⊥x 轴交
于点E 、F ，过点A 作AC ⊥BF 于点
C ， 因为 A 1,1()x y 、B 22(,)x y
所以 12AC EF x x ==-，同理，得12BC y y =-
∴ 由勾
股定理可得，
AB
两点间距离公式的特殊形式：
当A 、B 两点的横坐标相等时，设A ,1()x y 、B 2(,)x y ，
则12y y -；当A 、B 两点的纵坐
标相等时，设A 1(,)x y 、B 2(,)x y ，同理，得到AB ＝12x x -．
二、对两点的间距离公式渗透的分析
两点间距离公式的教学内容，教材安排在高中阶段的平面解析几何中学习．在初中教学的过程中，并不要求掌握这一公式，那么把高中的知识往初中教学迁移，是否会增加学生的学习负担呢？
首先，考虑到两点间距离公式研究不属于初中教学的研究范畴，这一知识点渗透可以放在习题课中或复习课中进行，从这个公式的推导过程来看，是对勾股定理在平面直角坐标系中的拓展和延伸，是对部分成绩优秀学生进行提高与加强，旨在提高他们的分析问题和解决问题能力，符合因材施教的教学理念，因此不会增加学生的学习负担，在一定程度上来讲，是减轻了学生的负担，因为直接运用这个公式，可以简化掉繁琐的推导过
程。
其次，在平面直角坐标系中，经常会碰见求线段长度的相关问题，特别在各地的中考试卷中，在解答最后压轴综合题时，经常会涉及到两点间的距离公式的运用，虽然可以利用勾股定理等方法来解决，但事实上碰到题型比较复杂时，往往很难想到点的坐标与勾股定理联系起来，更难想到的是通过作辅助线来构造出直角三角形，这样会导致许多成绩中等偏上的学生望而止步，也会使许多成绩优秀的同学由于考虑时间较多，无法及时完成试题而放弃。
最后，解答数学问题应提倡思路要清晰，过程要简练，方法要多样。
两点间距离公式很简单，但作用却非常大，如果这个知识点渗透在平时的教学中，那么就可以开阔了学生分析问题的视野，简化了解题过程，做到了数与形的结合，提升了学生的解答问题的思想方法，促进了学生数学的思维品质发展。
三、两点间距离公式在解答问题中的运用
1、解答含有绝对值方程问题的运用
【问题1】：若32
-+-＝1，求x的取值范围．
x x
【分析】：若用常规方法解答，应把x的取值范围分三种情况讨论，当2
x≤时，原方程可化为－（x－3）－（x－2）＝1，解得x＝2；当23
x
<<时，原方程可化为－（x－3）＋（x－2）＝1，解得1＝1，所以，23
<<均
x
符合；当3
x≥时，原方程可化为（x－3）＋（x－2）＝1，解得x＝3，综上所述，满足题意的解为：23
x
≤≤．其实，如果设点P在数轴上所对
应的值为x，则32
x x
-+-＝1可看成
点P到数3，2所表示点的距离之和等于1，如图（3）所示，而数3、2所表示的点的距离为1，所以x的取值范围为：23
≤≤．
x
【说明】：本题若运用常规方法解答，利用绝对值的代数意义，分三种情况进行讨论，化去绝对值再求解，显然比较繁琐；而利用了绝对值的几何意义，即数轴上的两点间距离公式，解答过程非常简练，同时也体现了数形结合的思想．
2、解答在平面直角坐标系中与线段长度相关问题的运用
【问题2】：已知抛物线经过点A（－4，0）、B（2，0）、
C（0，－4），设抛物线对称轴与AC的交点为D,试判断ΔBDC的形状，并说明理由．
【分析】根据A（－4，0）、B（2，0），求得抛物线对称轴为1
x=-，根据A（－4，0）、C（0，－4），可求得直线AC的解析式为：4
D--，根据两
y x
=--，得(1,3)
点间距离公式得，22
BD=+++=
(21)(03)32
22
(01)(43)2
CD=++-+=
(20)(04)25
BC=-++=22
因为2220
BD CD BC
+=
+=，220
BC=即222 BD CD
所以ΔBDC是以BC为斜边的直角三角形
【说明】由于要识别的三角形的顶点坐标都可以求出，则可根据两点间距离公式，计算出
三角形三边的长度，然后根据勾股定理
的逆定理，识别三角形的形状，解答问
题思路非常清晰．
【问题3】如图（4），直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(5，0)，动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点O从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x s．
(1)Q点的坐标为(＿＿＿，＿＿＿)（用含x的代数
式表示）
(2)当x 为何值时，△APQ 是一个以AP 为腰的等腰三角形?
【分析】⑴ 求得 34(2,4)55Q x x +-；
⑵ 由(2,4)A 、34(2,4)55
Q x x +-、(5,0)P x -根据两点间距离公式得，2(2)16AP x =-+229162525AQ x x x =
+=，2284(3)(4)55PQ x x =-+- ①当AP AQ =时，2(3)16x -+x = ， 解之，得 256
x = ②当AP PQ =时，
即2(3)16x -+＝
2284(3)(4)55x x -+-，解之，得12500,11
x x ==（舍） 所以， 当256x =
或5011x =时，△APQ 是一个以AP 为腰的等腰三角
形．
【问题4】设抛物线
22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的
点A （－1，0），B （m ，0），与y 轴交于点C ，已知∠ACB=90º,
⑴求m 的值和抛物线的解析式
⑵已知点D （1，n ）在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ，若点P 在x 轴上，以点P ，B ，D 为顶点的三角形与ΔAEB 相似，求点p 的坐标
【分析】 ⑴求得m ＝4，抛物线的解析式为213222
y x x =--，（解答过程略） ⑵通过计算，得∠ABD ＝∠EAB ＝45º，点P 一定在点的左边，故分ΔAEB ∽ΔBDP 和ΔAEB ∽ΔBPD 两种情况进行讨论。
联立方程2113222
y x y x x =+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解之，得121216,07
x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，得(6,7)E 当x ＝1时，代入213222y x x =--，求得y ＝－3，所以 D （1，－3），设P （x ，0），根据两
点间距离公式，求出AE =AB ＝5
，BD =BP ＝4－x ，根据相似三角形的对应边成比例的性质，列出关于x 方程，求出x 的值．
① 当ΔAEB ∽ΔBDP 时，满足AE AB BD BP
= 代入，得
5
4x
=-，所以137x = 即 13(,0)7P ②当ΔAEB ∽ΔBPD 时，同理，可得225x =-
即 22(,0)5
P - 所以，当13
(,0)7P 、22(,0)5
P -时，以点P ，B ，D 为顶点的三角形与ΔAEB 相似．
【说明】 在解答问题3和问题4时，都要用x 的代数式来表示几条线段的长，常见的方法是构造出以所要表示的线段为斜边的直角三角形，根据线段两个端点的坐标，表示出两条直角边的长度，根据勾股定理，得出斜边的表达式，这样的解答就是两点间距离公式的推导过程，绕了一个小圈子，过程不直观，添加辅助线后，图形变得更加复杂。
既然线段两个端点的坐标都能表示出来，那么越过勾股定理，直接利用两点间距离公式，这样解答问题，思路清晰，过程简练．
在初中阶段，在研究平面直角坐标系的时候，不论从知识的运用还是对学生数学思维品质的培养，两点间距离公式有必要给学生渗透，不仅能让学生对勾股定理有了更深层次的理解，而且这一公式的运用过程也是数
与形结合一个过程，培养了学生的数学思想．因此在编写新教材时，有这样一个建议：是否可以安排一节阅读材料，或者课题学习，内容是关于两点间距离公式的介绍，一方面能让学生对两点间距离公式有所进一步了解，另一方面统一了对两点间距离公式教学渗透程度．。