高数下册期末考试复习总结

n
则级数收敛。
2、绝对收敛与条件收敛
(1)若 un 收敛，则 un必收敛.
n 1 n 1


（ 2） 定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n 1 n 0


若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n 1 n 1 n 1


f ( x )dx F ( x ) C f ( x )dx F ( x ) |b a F (b) F (a )
a
b
四、定积分的计算：方法与不定积分相同
1、换元积分法（既换元又换限）
令a ( ), b ( ), 则
b

a
f ( x )dx 令x ( t )
a
a b
五、无穷限的反常积分
f ( x )dx F ( x ) C


a
b
f ( x )dx F ( x ) |a lim F ( x ) F (a ) x


f ( x )dx F ( x ) |b F (b) lim F ( x )
u
n1

n
u1 u2 u3 un
级数的部分和 sn u1 u2 un
(2) 级数的收敛与发散

u
i 1
n
i
若 lim sn s, 则称 un收敛, 且级数的和 s un .
n n 1

若 lim sn不存在, 则称 un发散.
( 3) AC B 2 0, f ( x0 , y0 )可能是也可能不是极值 。
八、二元函数的最值
1、有界闭区域 D 上二元连续函数 f ( x, y ) 的最值：
求出f ( x, y )在D内部所有驻点处的函数 值及在D的边界
上的最大、最小值，比 较大小。
D 内部唯一驻点必为最值点情形。 2、实际问题求最值，

第八章 多元函数微分学
一、空间解析几何简介
理解空间直角坐标系，认识并会画简单的空间 曲面（平面、柱面、球面、椭球面、椭圆抛物 面、锥面） 二、多元函数的定义、极限及连续性
三、多元函数偏导数的概念与计算（本质：一元函数 的导数） 四、全微分的概念与计算
z z dz dx dy x y
(3)极点 O 是区域 D 的内点
D : 0 2 , 0 r r ( ).
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
0
2
r ( )
0
f (r cos , r sin )rdr.
第十一章 无穷级数
一、常数项级数的概念与性质
1、概念
(1)定义
该点是否为真的条件极值点，往往据问题性质可判断。
第九章 二重积分
一、二重积分的概念和性质
n
1、定义：
2、性质
f ( , ) f ( x, y )d lim
D 0 i 1 i i
i
3、几何意义：曲顶柱体的体积 二、二重积分的计算 1、直角坐标系下二重积分的计算
(1)若D : a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ).［X－型域］
六、二元隐函数求导法
u v
x
y
设z z( x, y )是由方程 F ( x, y, z )确定的隐函数 ,则 Fy F x z z , x Fz y Fz
七、二元函数极值的概念及其求法
f x ( x, y) 0 1、解方程组 f y ( x, y) 0
得f ( x , y )的所有驻点 ( x0 , y0 ).
n n 1

n 1
2、性质
(1) un与 kun ( k 0)具有相同敛散性。
n 1 n 1
(2) 若 un与 v n分别收敛于 A、B，则


(u
n 1 n 1

n 1 n
n 1
v n ) un v n A B 收敛。
un 1 lim n u n
一般项 un 中含阶乘或指数表达式 a n 情形的适用。
3、根值判别法
0 1, un收敛 n 1 lim n un 1, un发散 n n 1 un 敛散性需另外判别 1， n 1
n 1 n 1


二、正项级数 定义
u ，u
n 1 n

n
0
1、比较判别法 （ 1）
v n收 敛 un收 敛 n 1 n 1 un v n u 发散 v n发 散 n n 1 n 1
un l ( l 0为确定常数） , 则 un与 v n (2) lim n v n 1 n 1 n
d

r2 ( ) r1 ( )
f (r cos , r sin )rdr.
(2)极点 O 是区域 D 的边界点 D : , 0 r r ( ).
f (r cos , r sin )rdrd
D
d


r ( )
0
f (r cos , r sin )rdr.
a
b
bHale Waihona Puke Baidu
b
a
1
a
b
f ( x)dx k2 g( x)dx
a
b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
c
f ( x )dx
在[a, b]上f ( x ) g( x ), 则 f ( x )dx g( x )dx
a a
b
b

b
a
f ( x )dx f ( )(b a ) (a b)
设A f xx ( x0 , y0 ), B f xy ( x0 , y0 ), C f yy ( x0 , y0 ), 2、
(1) AC B 2 0, 且A 0( A 0), f ( x0 , y0 )为极小 (大)值
( 2) AC B 2 0, f ( x0 , y0 )不是极值
九、条件极值—拉格朗日乘数法
求目标函数 z f ( x, y )在约束条件 ( x, y ) 0下的极(最)值 :
1、构造拉格朗日函数
L( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y ) (为参数)
2、求驻点，即解方程组
Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0 Ly f y ( x , y ) y ( x , y ) 0 L ( x , y ) 0 满足该方程组的点 ( x , y )就是可能的条件极值点。至于
n 1 n 1


若 un收敛， 则 ( un v n )发散。 vn发散，
n 1 n 1
(3) 在级数中去掉、增加或改变前面有限项，不 改变级数的敛散性。
un 0. (4) un收敛 lim n
n 1

lim un 0 un发散. 注： lim un 0 un收敛. n n
第五章 定积分及其应用
一、定积分的概念与性质 1、定义：

b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi
0
i 1
n
2、几何意义：曲边梯形的面积 3、性质：
[k f ( x) k g( x)]dx k
a
a
f ( x )dx 0
1 2

a
b
f ( x)dx f ( x)dx
具有相同敛散性
n 等比级数 aq , q 1时收敛， q 1时发散 n 0 1 比较级数 发散 调和级数 n 1 n 1 P 1时发散 P 级数 p , P 1时收敛， n 1 n
2、比值判别法
0 1, un收敛 n 1 1, un发散 n 1 un 敛散性需另外判别 1， n 1
第六章 一阶常微分方程
一、可分离变量方程
g( y )dy f ( x )dx
两边积分 得通解

g ( y )dy

f ( x )dx
G( y ) F ( x ) C
二、可化为可分离变量方程—齐次方程
dy y ( ), 令u y , 即y x u dx x x dy du 则 ( x )u xu u x , 代入原微分方程得 dx dx
du du u x ( u) x ( u) u dx dx 1 1 du dx 可分离变量方程 ( u) u x
三、一阶非齐次线性微分方程
dy p( x ) y Q( x )(Q( x ) 0) dx P ( x ) dx P ( x ) dx 通解公式： y ( Q( x )e dx C )e
五、多元复合函数求导法（画出各变量间的函数关系 结构图，看图写公式）
如z f (u, v ), u ( x, y ), v ( x, y ) z z u z v z x u x v x z z u z v y u y v y
一般项 un 中含有某个表达式 n 次幂情形的适用。
三、任意项级数
1、交错级数
n1 n ( 1 ) u 或 ( 1 ) un (其中un 0) 定义 n n1 n1
莱布尼兹判别法 如果交错级数满足条件
(1)un un1 ( n 1,2, ) ( 2) lim un 0
a a a a
积分中值定理
当f ( x )是奇函数时，f ( x )dx 0;
a
当f ( x )是偶函数时， f ( x)dx 2
x a
0
f ( x )dx.
二、积分上限的函数及其导数 1、定义： ( x ) 2、导数：
x d x f ( t ) dt ( f ( t ) dt ) f ( x) a dx a
f ( x , y )d dx
D a
b
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy .
(2)若D : c y d , 1 ( y) x 2 ( y ).［Y－型域］
f ( x, y)d
D
d
c
dy
2 ( y)
1 ( y)
f ( x , y )dx.
f (t )dt (a b)
d u( x ) f ( t )dt f [u( x )] u( x ) dx a d u( x ) f ( t )dt f [u( x )] u( x ) f [v ( x )] v ( x ) dx v ( x )
三、牛顿—莱布尼茨公式
x


f ( x )dx F ( x ) | lim F ( x ) lim F ( x ) x x
六、定积分的应用 1、微元法
2、平面图形的面积 (1)直角坐标情形 (2)极坐标情形 3、体积 (1)平行截面面积为已知的立体体积 (2)旋转体体积


(1)三角代换 f [ ( t )] ( t )dt ( 2)根式代换
2、分部积分法

b
a
u( x )dv( x ) [u( x )v( x )] | v( x )du( x )
b a
b
[u( x )v( x )] |b a v ( x )u ( x )dx
2、极坐标系下二重积分的计算
题型特点：a.积分区域 D的边界为圆或部分圆弧；
b.被积函数在极坐标下较简单，如 f ( x y ).
2 2
(1)极点 O 是区域 D 的外点
D: ,
D
r1 ( ) r r2 ( ).
f (r cos , r sin )rdrd