(2020年编辑)大一高数期末考试复习题及答案

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一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

1．

2

1

lim()

x

x x e x →-=

.

2．

()()120051

1x x x x e e dx --+-=

⎰

.

3．设函数()y y x =由方程2

1

x y

t e dt x

+-=⎰确定，则0

x dy

dx

==

.

4. 设()x f 可导，且1

()()x

tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .

二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）

1．设常数0>k ，则函数

k e x x x f +-

=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.

(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.

（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *

=;

（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *

=+; （D ）

x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）.

（A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤b

a

d c dx x f dx x f ;

（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b

a

f x dx ≥⎰;

（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有

()()⎰⎰

+=T

T a a

dx

x f dx x f 0

;

（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0x

t f t dt ⎰也为奇函数.

4. 设

()x

x e e

x f 11

321++=

, 则0=x 是)(x f 的（ ）.

(A) 连续点; (B) 可去间断点;

(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分2

230

x x e dx

-⎰

.

2．计算不定积分dx x x

x ⎰

5cos sin .

本页满分36分 本页得分

本页满分 12分 本页得分

欢迎来主页 3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在

2π=

t 处的切线的方程. 4. 设

20

()cos()x

F x x t dt

=-⎰，求)(x F '.

5．设n n n n n x n

n )

2()3)(2)(1( +++=

，求n n x

∞→lim .

四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.

2．设平面图形D 由22

2x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x

旋转一周所生成的旋转体的体积.

3. 设

1,a >at a t f t

-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.

五．证明题（7分）

设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且

1

(0)=(1)0,(

)1

2f f f ==，

试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ' 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：

1． 2

1

lim()x x x e x →-=

2

1

e .

2．

()()120051

1x x x x e e dx --+-=

⎰

e 4.

3．设函数()y y x =由方程2

1

x y

t e dt x +-=⎰确定，则0

x dy

dx

==

1-e .

4. 设()x f 可导，且

1

()()

x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 22

1x e

.

5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为x

e x C C y 221)(-+=.

二．选择题（每小题4分，4题共16分）： 本页满分 12分 本页得分

本页满分15分 本页得分

本页满分18分 本页得分

本页满分7分 本页得分

1．设常数0>k ，则函数

k

e x x x

f +-

=ln )( 在

),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）

（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *

=+； （D ）x A y 2sin *

= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）

(A) (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有

()()⎰⎰

≤b

a

d

c

dx

x f dx x f ;

(B) (B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b

a

f x dx ≥⎰;

(C) (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有

()()⎰⎰

+=T

T a a

dx

x f dx x f 0

;

(D) (D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0x

t f t dt ⎰也为奇函数.

4. 设

()x

x e e

x f 11

321++=

, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;

(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-2

032

dx

e x x .

解：

⎰⎰

⎰

----===2

02

02

322121,2

t t x tde dt te dx e x t x 则设 -------2

⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 22

23210221----=--=e

e e t --------2

2．计算不定积分dx x x x ⎰5cos sin .

解：

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3 C x x x x x d x x x +--=+-=

⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41

cos 43

424 -----------3