(2020年编辑)大一高数期末考试复习题及答案
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一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）
1．
2
1
lim()
x
x x e x →-=
.
2．
()()120051
1x x x x e e dx --+-=
⎰
.
3．设函数()y y x =由方程2
1
x y
t e dt x
+-=⎰确定，则0
x dy
dx
==
.
4. 设()x f 可导，且1
()()x
tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .
二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）
1．设常数0>k ，则函数
k e x x x f +-
=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.
（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *
=;
（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *
=+; （D ）
x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）.
（A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤b
a
d c dx x f dx x f ;
（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b
a
f x dx ≥⎰;
（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有
()()⎰⎰
+=T
T a a
dx
x f dx x f 0
;
（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0x
t f t dt ⎰也为奇函数.
4. 设
()x
x e e
x f 11
321++=
, 则0=x 是)(x f 的（ ）.
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分2
230
x x e dx
-⎰
.
2．计算不定积分dx x x
x ⎰
5cos sin .
本页满分36分 本页得分
本页满分 12分 本页得分
欢迎来主页 3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在
2π=
t 处的切线的方程. 4. 设
20
()cos()x
F x x t dt
=-⎰，求)(x F '.
5．设n n n n n x n
n )
2()3)(2)(1( +++=
，求n n x
∞→lim .
四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.
2．设平面图形D 由22
2x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x
旋转一周所生成的旋转体的体积.
3. 设
1,a >at a t f t
-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.
五．证明题（7分）
设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且
1
(0)=(1)0,(
)1
2f f f ==，
试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ' 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：
1． 2
1
lim()x x x e x →-=
2
1
e .
2．
()()120051
1x x x x e e dx --+-=
⎰
e 4.
3．设函数()y y x =由方程2
1
x y
t e dt x +-=⎰确定，则0
x dy
dx
==
1-e .
4. 设()x f 可导，且
1
()()
x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 22
1x e
.
5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为x
e x C C y 221)(-+=.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）： 本页满分 12分 本页得分
本页满分15分 本页得分
本页满分18分 本页得分
本页满分7分 本页得分
1．设常数0>k ，则函数
k
e x x x
f +-
=ln )( 在
),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）
（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *
=+； （D ）x A y 2sin *
= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）
(A) (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有
()()⎰⎰
≤b
a
d
c
dx
x f dx x f ;
(B) (B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b
a
f x dx ≥⎰;
(C) (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有
()()⎰⎰
+=T
T a a
dx
x f dx x f 0
;
(D) (D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0x
t f t dt ⎰也为奇函数.
4. 设
()x
x e e
x f 11
321++=
, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-2
032
dx
e x x .
解：
⎰⎰
⎰
----===2
02
02
322121,2
t t x tde dt te dx e x t x 则设 -------2
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 22
23210221----=--=e
e e t --------2
2．计算不定积分dx x x x ⎰5cos sin .
解：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3 C x x x x x d x x x +--=+-=
⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41
cos 43
424 -----------3