高等数学讲义(基础班

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汤家凤高数基础班讲义

汤家凤高数基础班讲义1. 引言本讲义旨在介绍汤家凤高数基础班的课程内容和教学方法。

汤家凤高数基础班是一门为初学者设计的高等数学课程，旨在帮助学生建立扎实的高数基础，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。

2. 课程目标•掌握代数与初等函数相关知识；•理解微积分的基本概念和方法；•学会运用微积分解决实际问题；•培养逻辑思维和问题解决能力。

3. 课程大纲3.1 代数与初等函数•实数与复数•集合论与不等式•函数与映射关系•初等函数及其性质3.2 极限与连续•数列极限及其性质•函数极限及其性质•连续性及其应用3.3 导数与微分•导数的概念与计算法则•高阶导数与隐函数求导法则•微分中值定理及其应用3.4 积分与应用•不定积分与定积分•定积分的计算法则•积分中值定理及其应用3.5 微分方程•常微分方程的基本概念•一阶常微分方程及其解法•高阶常微分方程及其解法4. 教学方法4.1 理论讲解教师将通过清晰明了的语言和示例，对每个知识点进行详细讲解。

教师会引导学生理解概念、掌握基本原理，并提供相关的数学推导过程。

4.2 练习与讨论教师将提供大量练习题，并指导学生进行课堂练习和小组讨论。

通过实际操作和合作交流，加深对知识点的理解和应用能力。

4.3 解题技巧分享教师将分享一些常见的解题技巧和方法，帮助学生更好地应对考试和实践中的各种问题。

同时，鼓励学生探索不同的解题思路，培养独立思考和创新能力。

4.4 实践案例分析教师将选取一些实际问题，通过案例分析的方式，将抽象的数学知识与实际问题相结合。

通过分析和解决实践问题，加深学生对数学应用的理解和体验。

5. 学习资源•教材：《高等数学》（第三版），汤家凤、吴立宗编著•参考书：《高等数学辅导教程》，汤家凤、吴立宗编著•网上资源：汤家凤高数基础班在线课程6. 考核方式•平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等；•期中考试：对前半个学期的知识进行检测；•期末考试：对全年知识进行综合考核。

高等数学讲义

第3讲导数与微分高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。

3.1导数的概念一、函数的变化率对于函数)(x f y =，我们要研究y 怎样随x 变化，进一步我们还要研究变化的速率，可以先看看下面这个图我们可以看出，对于相同的自变量的改变量x ∆，所对应的函数改变量y ∆是不同的。

xy∆∆可以表示变化的速率，但这是一个平均速率，怎样考虑函数)(x f y =在一点0x 的变化率呢？二、导数的概念根据前面的介绍，我们给出下面的定义。

定义3.1设函数)(x f y =在点0x 及其某个邻域U 内有定义，对应于自变量x 在0x 处的改变量x ∆，函数相应的改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时极限存在，则此极限值称为函数)(x f y =在点0x 处的导数，或在点0x 处函数)(x f 关于自变量x 的变化率，记作)(0x y '，或)(0x f '这时，称函数)(x f y =在点0x 处是可导的。

根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。

例1根据导数定义求c y =在点x 处的导数。

解根据定义求导数通常分三步：（Ⅰ）求)()(00x f x x f y -∆+=∆：（Ⅱ）求xy∆∆：（Ⅲ）求xyx ∆∆→∆0lim ：因此得出0)(='x y 。

如果函数)(x f 在其定义域内每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数)(x f '，称)(x f '为)(x f 的导函数。

)(x f '在点0x x =的函数值)(0x f '就是)(x f 在点0x x =的导数。

例2根据导数定义求2)(x x f =在点x 处的导数。

解按照由定义求导数的步骤：因此得出x x f 2)(='。

例3根据导数定义求n x x f =)(（n 为自然数）在点x 处的导数。

高等数学第一章函数极限和连续讲义

第一章函数、极限和连续【考试要求】一、函数1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数．2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性．3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像．4．掌握函数的四则运算与复合运算．5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．6．了解初等函数的概念．二、极限1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限．4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理．5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较．6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．7．熟练掌握分段函数求极限的方法．三、连续1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题．4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限． 5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．【考试内容】一、函数（一）函数的概念1．函数的定义：设数集D R ⊂，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，通常简记为()yf x =，x D ∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域．说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“g ”、“F ”、“ϕ”等，相应的，函数可记作()y g x =，()y F x =，()y x ϕ=等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作()y y x =，这一点应特别注意．2．函数的解析（公式）表示法（1）函数的显式表示法（显函数）：()yf x =形式的函数，即等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，如2cos xy xe x =-，13sin ln x x e y x e x-=++等．（2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程310x y +-=解出31y x =-，就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的．（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如1,0()1,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩ 是由两个解析式表示的定义域为(,)-∞+∞的一个函数．（4）由参数方程确定的函数：如果自变量x 与因变量y 的关系是通过第三个变量t 联系起来 ()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ （t 为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数方程 2cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩ 表示的图形即为圆心在原点，半径为4的圆．（二）函数的几种特性1．有界性设函数()f x 的定义域为D ，数集X D ⊂，如果存在正数M，使得()f x M≤对任一x X ∈都成立，则称函数()f x 在X 上有界．如果这样的M不存在，就称函数()f x 在X 上无界．说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数M 是函数()f x 的一个界，则比M大的数都是函数()f x 的界．2．单调性设函数()f x 的定义域为D ，区间I D ∈．如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的；如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x >，则称函数()f x 在区间I 上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数． 3．奇偶性设函数()f x 的定义域D 关于原点对称．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=恒成立，则称()f x 为偶函数．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=-恒成立，则称()f x 为奇函数．例如：()cos f x x =、2()f x x =都是偶函数，()s i n f x x =、()arctan f x x =是奇函数，而()sin cos f x x x =+则为非奇非偶函数．偶函数的图形关于y 轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证． 4．周期性设函数()f x 的定义域为D ．如果存在一个正数l ，使得对于任一x D ∈有()x l D ±∈，且()()f x l f x +=恒成立，则称()f x 为周期函数，l 称为()f x 的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．例如：函数sin x 、cos x 都是以2π为周期的周期函数，函数tan x 是以π为周期的周期函数．（三）函数的运算1．和差积商运算设函数()f x ，()g x 的定义域依次为1D ，2D ，12D D D φ=≠，则我们可以定义这两个函数的下列运算：（1）和（差）f g ±：()()()()f g x f x g x ±=±，x D ∈；（2）积f g ⋅：()()()()f g x f x g x ⋅=⋅，x D ∈；（3）商f g ：()()()f f x x g g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，\{()0,}x D x g x x D ∈=∈． 2．反函数（函数的逆运算）对于给定的y 是x 的函数()y f x =，若将y 当作自变量而x 当作因变量，则由关系式()y f x =所确定的函数()x y ϕ=称为函数()f x 的反函数，记为1()y f x -=，()f x 叫做直接函数．若直接函数()yf x =的定义域为D ，值域为M ，则反函数1()y f x -=的定义域为M ，值域为D ．且直接函数的图像与反函数的图像关于直线y x =对称．3．复合函数（函数的复合运算）设函数()y f u =的定义域为fD ，函数()ug x =的定义域为g D ，且其值域g f R D ⊂，则由下式确定的函数[()]y f g x =，g x D ∈称为由函数()u g x =与函数()y f u =构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量．说明：g 与f能构成复合函数的条件是函数g 的值域g R 必须含在函数f的定义域fD 内，即gf R D ⊂，否则不能构成复合函数．此外，复合函数可以由多个函数复合而成．（四）基本初等函数与初等函数1．基本初等函数幂函数：yx μ=（R μ∈是常数）；指数函数：x y a =（0a >且1a ≠）；对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠，特别当a e =时记为ln y x =）；三角函数：sin yx =，cos y x =，tan y x =，cot y x =，sec y x =，csc y x =；反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x =．以上五类函数统称为基本初等函数．说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记．（1）反正弦函数arcsin yx =：是由正弦函数sin y x =在区间[,]22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[,]22ππ-．（2）反余弦函数arccos y x =：是由余弦函数cos y x =在区间[0,]π上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[0,]π．（3）反正切函数arctan yx =：是由正切函数tan y x =在区间(,)22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(,)22ππ-．（4）反余切函数cot yarc x =：是由余切函数cot y x =在区间(0,)π上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(0,)π． 2．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：22sin cos y x x =，22y x =-，2ln(1)y x x =++，2arccos(1)y x =-等都是初等函数．在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数．二、极限（一）数列的极限1．数列极限的定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n x A ε-<都成立，那么就称常数A 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于A ，记为lim n n x A →∞=或n x A →（n →∞）．如果不存在这样的常数A ，就说数列{}n x 没有极限，或者说数列{}n x 是发散的，习惯上也说lim n n x →∞不存在．说明：数列极限中自变量n 的趋向只有一种，即n →∞，虽然含义表示正无穷，但不要写做n→+∞，注意与函数极限的区别．2．收敛数列的性质性质（1）：（极限的唯一性）如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一．性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界．说明：对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得对一切n ，都有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的，否则称数列{}n x 是无界的．性质（3）：（收敛数列的保号性）如果lim nn x A →∞=，且0A >（或者0A <），那么存在正整数N ，当n N >时，都有0n x >（或0n x <）．（二）函数的极限1．函数极限的定义（1）0xx →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某个去心邻域内有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式00x x δ<-<时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A就叫做函数()f x 当0x x →时的极限，记作0lim ()x x f x A →=或()f x A →（当0x x →）．说明：函数的左极限lim ()x x f x A -→=或0()f x A -=；右极限0lim ()x x f x A +→=或0()f x A +=；左极限与右极限统称单侧极限．函数()f x 当0x x →时极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等，即00()()f x f x -+=．（2）x →∞时函数的极限：设函数()f x 当x大于某一正数时有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X ，使得当x 满足不等式x X >时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当x →∞时的极限，记作lim ()x f x A →∞=或()f x A →（当x →∞）．说明：此定义包含lim ()x f x A →+∞=和lim ()x f x A →-∞=两种情况．2．函数极限的性质（以0xx →为例）性质（1）：（函数极限的唯一性）如果0lim ()x x f x →存在，那么这极限唯一．性质（2）：（函数极限的局部有界性）如果0lim ()x x f x A →=，那么存在常数0M >和0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x M ≤．性质（3）：（函数极限的局部保号性）如果0lim()x x f x A →=，且0A >（或0A <），那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >（或()0f x <）．（三）极限运算法则1．如果0lim()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，则有（1）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±；（2）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x fx g x f x g x A B →→→⋅=⋅=⋅；（3）000lim ()()lim()lim ()x x x x x x f x f x A g x g x B→→→==，其中0B ≠；（4）0lim[()]lim ()x x x x cfx c f x →→=，其中c 为常数；（5）0lim[()][lim ()]n n x x x x fx f x →→=，其中n 为正整数．2．设有数列{}n x 和{}n y ，如果lim nn x A →∞=，lim n n y B →∞=，则有（1）lim()nn n x y A B →∞±=±；（2）lim()nn n x y A B →∞⋅=⋅；（3）lim n n nx Ay B →∞=，其中0n y ≠（1,2,n =）且0B ≠．3．如果()()x x ϕψ≥，而0lim ()x x x A ϕ→=，0lim ()x x x B ψ→=，则A B ≥．4．复合函数的极限运算法则：设函数[()]y f g x =是由函数()u g x =与函数()y f u =复合而成，[()]f g x 在点0x 的某去心邻域内有定义，若00lim ()x x g x u →=，0lim ()u u f u A→=，且存在00δ>，当00(,)x U x δ∈时，有()g x u ≠，则lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==．说明：本法则以0xx →为例，其他趋向下亦成立．（四）极限存在准则1．准则I 如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）从某项起，即0n N ∃∈，当0n n >时，有n n n y x z ≤≤，（2）lim nn y A →∞=，lim n n z A →∞=，那么数列{}n x 的极限存在，且lim nn x A →∞=．准则I ' 如果函数()f x 、()g x 及()h x 满足下列条件：（1）当0(,)x U x r ∈（或x M >）时，()()()g x f x h x ≤≤，（2）0()lim ()x x x g x A →→∞=，0()lim ()x x x h x A →→∞=，那么0()lim ()x x x f x →→∞存在，且等于A ．说明：准则I 及准则I '称为夹逼准则．2．准则II 单调有界数列必有极限．准则II ' 单调有界函数必有极限．（函数有界一般是指在某个邻域内有界）（五）两个重要极限1．0sin lim1x xx→=，可引申为()0sin ()lim1()x x x ϕϕϕ→=，式中不管自变量x 是哪种趋向，只要在此趋向下()0x ϕ→即可（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）．2．10lim(1)xx x e →+= 或 1lim(1)x x e x→∞+=，可引申为1()()0lim (1())x x x e ϕϕϕ→+=（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）或()()1lim (1)()x x ex ϕϕϕ→∞+=（()x ϕ→+∞或()x ϕ→-∞时亦成立）．说明：数列亦有第二种极限形式，即1lim(1)nn e n→∞+=．两个重要极限是考试的必考内容，请大家务必好好掌握．（六）无穷小和无穷大1．定义（1）无穷小的定义：如果函数()f x 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，那么称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷小量（简称无穷小）．特别地，以零为极限的数列{}n x 称为n→∞时的无穷小．说明：以后我们再提到无穷小时，把数列{}n x 当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本质上就是函数，并且一定是在自变量x 的某一趋向下才有意义．（2）无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）．说明：在自变量的同一变化过程中，如果()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，如果()f x 为无穷小且()0f x ≠，则1()f x 为无穷大． 2．无穷小的比较设α，β均为自变量同一趋向下的无穷小，且0α≠，（1）如果lim0βα=，则称β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=；（2）如果lim βα=∞，则称β是比α低阶的无穷小；（3）如果lim0c βα=≠，则称β与α是同阶无穷小；（4）如果lim 1βα=，则称β与α是等价无穷小，记作~αβ；（5）如果lim0k c βα=≠，0k >，则称β是关于α的k 阶无穷小． 3．无穷小的性质（1）有限个无穷小的和是无穷小．（2）常数与无穷小的乘积是无穷小．（3）有限个无穷小的乘积是无穷小．（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设α，β，α'，β'均为自变量同一趋向下的无穷小，且~αα'，~ββ'，limβα''存在，则lim lim ββαα'='（lim 表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此意，不再解释）．说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记．0x →时sin ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()x x ϕϕ； 0x →时tan ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，tan ()~()x x ϕϕ；0x →时sin ~arc x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()arc x x ϕϕ； 0x →时211cos ~2x x -，可引申为()0x ϕ→时，211cos ()~()2x x ϕϕ-；0x →时111~n x x n +-，可引申为()0x ϕ→时，11()1~()n x x nϕϕ+-；0x →时1~x e x -，可引申为()0x ϕ→时，()1~()x e x ϕϕ-；0x →时ln(1)~x x +，可引申为()0x ϕ→时，ln(1())~()x x ϕϕ+．三、连续（一）连续的概念1．连续的定义连续性定义（1）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()yf x =在点0x 连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零）．连续性定义（2）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()yf x =在点0x 连续．2．左连续、右连续及区间连续（1）左连续：lim ()x x f x -→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x -=；（2）右连续：：lim ()x x f x +→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x +=；（3）区间连续：若函数()f x 在区间每一点都连续，则称()f x 为该区间上的连续函数，或者说函数()f x 在该区间上连续．如果区间包括端点，则函数()f x 在右端点连续是指左连续，()f x 在左端点连续是指右连续．说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．（二）函数的间断点1．定义：设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：（1）在0xx =处没有定义；（2）虽在0x x =处有定义，但0lim ()x x f x →不存在；（3）虽在0x x =处有定义，且0lim ()x x f x →存在，但00lim ()()x x f x f x →≠，则函数()f x 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()f x 的不连续点或间断点．2．分类：（1）第一类间断点：如果0x 是函数()f x 的间断点，但左极限0()f x -和右极限0()f x +都存在，那么0x 称为函数()f x 的第一类间断点．00()()f x f x -+=时称0x 为可去间断点，00()()f x f x -+≠时称0x 为跳跃间断点．（2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点．（三）闭区间上连续函数的性质1．有界性与最值定理：在闭区间[,]a b 上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值． 2．零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()0f ξ=． 3．介值定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值()f a A =及()f b B =，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f C ξ=（a b ξ<<）．【典型例题】【例1-1】求复合函数． 1．设()12xf x x =-，求[()]f f x ．解：求[()]f f x 就是用()f x 代替x 然后化简，得12[()]122141212xx xx f f x x x x x x -===----⋅-． 2．设2,01()3,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨<≤⎩ ，()xg x e =，求[()]f g x ．解：当01xe ≤≤即0x ≤时，22[()]()x xfg x e e ==，当12xe <≤即0ln 2x <≤时，[()]3xfg x e =，故2,0[()]3,0ln 2x x e x f g x e x ⎧≤=⎨<≤⎩ ．【例1-2】求函数的定义域． 1．()arcsin(21)ln(1)f x x x =-+-．解：由arcsin(21)x -可得1211x -≤-≤，即01x ≤≤；由arcsin(21)x -可得arcsin(21)0x -≥，即0211x ≤-≤，112x ≤≤；由l n (1)x -可得10x->，即1x <，故原函数的定义域为三部分的交集，即1[,1)2． 2．21()arccos(2)2x f x x x x -=+---．解：由1x -可得10x -≥，即1x ≥；由220x x --≠即(1)(2)0x x +-≠可得1x ≠-且2x ≠；由arccos(2)x -可得121x -≤-≤，13x ≤≤，故原函数的定义域为三部分的交集，即为[1,2)(2,3]．【例1-3】判断函数的奇偶性． 1．设()f x 和()g x 为任意函数，定义域均为(,)-∞+∞，试判定下列函数的奇偶性．（1）()()()()f x f x g x g x +-++-解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x +-与()()g x g x +-均为偶函数，故其和亦为偶函数．（2）()()()()f x f x g x g x --++-解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x --为奇函数，()()g x g x +-为偶函数，故其和为非奇非偶函数． 2．判定函数2()ln(1)f x x x =++的奇偶性．解：因2()ln(()1)f x x x -=-+-+2ln(1)x x =-++21ln 1x x=++2ln(1)()x x f x =-++=-，故原函数为奇函数．【例1-4】计算下列极限．1．22212lim()n nn n n→∞+++．解：当n →∞时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算：222221(1)121212lim()lim lim 2n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++++++===． 2．222111lim()12n n n n n→∞++++++．解：因22222111121nn n n n n n nn <+++<+++++，并且2l i m1n nn n→∞=+，2lim 11n nn →∞=+，故原极限值为1．（夹逼准则）3．222lim(1)nn n n→∞++．解：22(22)222222222222lim(1)lim(1)lim(1)n n n n n n n n n n n n e n n n n+⋅+→∞→∞→∞++++=+=+=．4．23lim()21nn n n →∞-+．解：21424212344lim()lim(1)lim(1)212121n nn n n n n n n e n n n +-⋅--+→∞→∞→∞---=+=+=+++．【例1-5】计算下列极限． 1．sin limx xx→∞．解：当x →∞时，1x为无穷小，sin x 虽没有极限但却是有界函数，故根据无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，可得sin lim0x xx→∞=．说明：本极限与01lim sin x x x →意义是一样的．2．21lim 1n x x x x nx →+++--．解：2211111lim lim 11n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-++-=--2121lim[1(1)(1)(1)]n n x x x x x x x --→=+++++++++++(1)1232n n n +=++++=．说明：此题也可用洛必达法则（见第三章）求解，过程如下：2111(1)lim lim(12)12n n x x x x x n n n x nx x -→→+++-+=+++=-．3．0sin(1)lim 3x x e x→-．解：因当0x →时，sin(1)~1xx ee --，1~x e x -，故 00sin(1)11limlim 333x x x x e e x x →→--==．说明：本题可以使用洛必达法则求解如下：00sin(1)cos(1)1lim lim 333x x x x x e e e x →→--⋅==． 4．sin 0limsin x x x e e x x→--．解：sin sin sin 00(1)lim lim 1sin sin x x x x x x x e e e e x x x x-→→--==--（0x →时，sin ~sin x x e x x --）．5．23lim()2xx x x→∞++．解：2(2)2222311lim()lim(1)lim(1)222x x x x xx x x x e x x x+⋅+→∞→∞→∞+=+=+=+++． 6．11lim(sincos )x x x x→∞+．解：111(sin cos 1)11sin cos 11111lim(sin cos )lim[1(sin cos 1)]x x x x x xx x x x x x⋅+-+-→∞→∞+=++-211111sin cos 1sincos 12limlim lim 1lim 111110x x x x x x x x x xx xxe e e e e →∞→∞→∞→∞-+--+++=====．【例1-6】已知()f x 是多项式，且32()2lim 2x f x x x →∞-=，0()lim 3x f x x→=，求()f x ．解：利用前一极限式可令32()22f x x x ax b =+++，再利用后一极限式，得 00()3lim lim()x x f x ba x x→→==+，则 3a =，0b =，故32()223f x x x x =++．【例1-7】当0x →时，比较下列无穷小的阶． 1．2x 比1cos x -．解：因 22002limlim 211cos 2x x x x x x →→==-，故2x 与1cos x -是同阶无穷小． 2．2x 比11x +-．解：因 220limlim 01112x x x x x x→→==+-，故2x 是比11x +-高阶的无穷小． 3．11x x +--比x ．解：因 0011(11)(11)lim lim (11)x x x x x x x x x x x x →→+--+--++-=++-2lim 1(11)x x x x x →==++-，故11x x +--与x 是等价无穷小． 4．2x 比tan sin x x -．解：因 2220002cos limlim lim 1tan sin sin (1cos )2x x x x x x x x x x x x x →→→===∞--⋅，故2x 是比tan sin x x -低阶的无穷小．说明：本题中的四个题目均可用洛必达法则求解．【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性．1．2,01()1,11,1x x f x x x x ⎧≤<⎪==⎨⎪+>⎩在1x =处的连续性．解：因(1)1f =，11(1)lim ()lim 22x x f f x x ---→→===， 11(1)lim ()lim(1)2x x f f x x +++→→==+=，从而1lim ()2(1)x f x f →=≠，故函数在1x =处不连续．2．1,0()ln(1),0x e x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪+≥⎩ 在0x =处的连续性．解：因(0)0f =，1(0)lim ()lim 0xx x f f x e ---→→===，(0)lim ()lim ln(1)0x x f f x x +++→→==+=，从而0lim ()0(0)x f x f →==，故函数在0x =处连续．【例1-9】当常数a 为何值时，函数2,0()ln(1),0x a x f x x x x-≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩ 在0x =处连续？解：因(0)f a =-，0(0)lim ()lim(2)x x f f x x a a ---→→==-=-，10000ln(1)1(0)lim ()lim lim ln(1)lim ln(1)1xx x x x x f f x x x xx +++++→→→→+===+=+=，故由连续性可得，(0)(0)(0)f f f -+==，即1a -=，故1a =-．【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型． 1．1()xf x e= ．解：所给函数在0x =处无定义，故0x =是间断点．又1lim x x e +→=+∞，10lim 0xx e -→=，故0x=是()f x 的第二类间断点．2．()sin xf x x= ．解：所给函数在x k π=（0,1,2,k =±±）处无定义，故0x =、x k π=（1,2,k=±±）是间断点．又0lim1sin x xx→=，故0x =是第一类间断点，且是可去间断点；lim sin x k xxπ→=∞，故x k π=是第二类间断点，且是无穷间断点．3．111()1xxe f x e -=+ ．解：所给函数在0x=处无定义，故0x =是间断点．又111(0)lim 11xx xe f e ++→-==+，111(0)lim 11xx xe f e --→-==-+，故0x =是()f x 的第一类间断点且是跳跃间断点．4．1arctan ,0()0,0x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ．解：该题是分段函数的连续性问题，因0x ≠时1arctanx 是初等函数，故1arctan x在0x ≠时是连续的，所以该题主要考虑分界点0x =处的连续性．由1(0)lim arctan 2x f x π++→==，01(0)lim arctan 2x f x π--→==-，可知0x =是()f x 的第一类间断点且是跳跃间断点．【例1-11】证明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根．证：函数32()41f x x x =-+在闭区间[0,1]上连续，又(0)10f =>，(1)20f =-<，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即32410ξξ-+= （01ξ<<），该等式说明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根是ξ．【例1-12】证明方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根．证：由题意，函数()21x f x x =⋅-在区间[0,1]上连续，又(0)10f =-<，(1)10f =>，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即210ξξ⋅-= （01ξ<<），该等式说明方程21x x ⋅=在区间(0,1)内至少有一个小于1的正根ξ．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）函数211arccos 2x y x +=--的定义域是（）（A ）[3,1]- （B ）[3,1]-- （C ）[3,1)-- （D ）[1,1]-解：因 2101112x x ⎧-≥⎪⎨+-≤≤⎪⎩，故 11212x x -≤≤⎧⎨-≤+≤⎩ ， 1131x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ，所以 11x -≤≤，故选（D ）． 2．（2010年，1分）极限0sin3lim x xx→等于（）（A ）0 （B ）1 （C ）13（D ）3 解：00sin33limlim 3x x x xx x→→==，故选（D ）． 3．（2009年，1分）极限(1)limnn n n→∞+-=（）（A ）1 （B ）0 （C ）∞ （D ）不存在解：(1)(1)(1)lim lim[1]1lim 101n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+---=+=+=+=，故选（A ）．4．（2009年，1分）若1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则0lim ()x f x →=（）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）不存在解：因00lim ()lim(1)1x x f x x --→→=-=-，0lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=+=，lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，故0lim ()x f x →不存在，选（D ）． 5．（2009年，1分）2x π=是函数tan xy x=的（）（A ）连续点（B ）可去间断点（C ）跳跃间断点（D ）第二类间断点解：因 2lim 0tan x x x π→=，故2x π=是函数tan xy x =的可去间断点，选（B ）． 6．（2008年，3分）设1()sinf x x x= ，则lim ()x f x →∞等于（）（A ）0 （B ）不存在（C ）∞ （D ）1解：1sin1lim ()lim sin lim11x x x x f x x x x→∞→∞→∞===，故选（D ）．7．（2008年，3分）当0x →时，23x 是2sinx 的（）（A ）高阶无穷小（B ）同阶无穷小，但不等价（C ）低阶无穷小（D ）等价无穷小解：因 22220033lim lim 3sin x x x x x x→→==，故选（B ）．8．（2007年，3分）当0x →时，tan 2x 是（）（A ）比sin3x 高阶的无穷小（B ）比sin3x 低阶的无穷小（C ）与sin3x 同阶的无穷小（D ）与sin3x 等价的无穷小解：因0tan 222limlim sin333x x x x x x →→==，故选（C ）． 9．（2006年，2分）设()sin f x x = ，,0(),0x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩ ，则[()]f g x =（）（A ）sin x （B ）cos x （C ）sin x - （D ）cos x - 解：当0x ≤时，[()]()sin()sin()sin f g x f x x x x πππ=-=-=--=-；当0x>时，[()]()sin()sin f g x f x x x ππ=+=+=-，故选（C ）． 10．（2005年，3分）设120lim(1)xx mx e →-=，则m =（）（A ）12- （B ）2 （C ）2- （D ）12解：由11()20lim(1)lim[1()]m m xmxx x mx mx e e ⋅---→→-=+-==，得2m =-，选（C ）．11．（2005年，3分）设1xy e-=是无穷大，则x 的变化过程是（）（A ）0x+→ （B ）0x -→ （C ）x →+∞ （D ）x →-∞解：0x +→时，1x →+∞，1x-→-∞，10x e -→；0x -→时，1x →-∞，1x-→+∞，1x e -→+∞；故选（B ）．二、填空题1．（2010年，2分）若函数21,1(),1x x f x x a x -+≤⎧=⎨->⎩ 在1x =处连续，则a = ．解：11lim()lim(21)1x x f x x --→→=-+=-，11lim ()lim()1x x f x x a a ++→→=-=-，因()f x 在点1x =处连续，故11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即11a -=-，2a =． 2．（2010年，2分）0x =是函数1()cos f x x x=的第类间断点．解：因1lim ()lim cos0x x f x x x→→==，故0x =是函数()f x 的第一类间断点．3．（2009年，2分）设1,1()0,11,1x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，()x g x e =，则[(l n 2)]g f = ．解：因0ln 21<<，故 (ln 2)1f =，所以 1[(ln 2)](1)g f g e e ===．4．（2009年，2分）1sin y x=在0x =处是第类间断点．解：因0x →时，1x→∞，1sin x 没有极限，故 0x = 是第二类间断点．5．（2008年，4分）函数ln arcsin yx x =+的定义域为．解：由题意，011x x >⎧⎨-≤≤⎩ ，故原函数的定义域为 (0,1]．6．（2008年，4分）设数列n x 有界，且lim 0n n y →∞=，则lim n n n x y →∞= ．解：数列可看作特殊的函数，因数列n x 有界，数列n y 为无穷小，所以根据无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可得，lim 0n nn x y →∞=．7．（2008年，4分）函数31y x =+的反函数为．解：由31yx =+可得，31y x =+，31x y =-，故反函数为 31y x =-．8．（2007年，4分）函数21arcsin 3x y -=的定义域为．解：由21113x --≤≤得，3213x -≤-≤，即12x -≤≤，所以定义域为[1,2]-． 9．（2007年，4分）21lim()xx x x→∞-= ．解：22(2)2111lim()lim(1)lim(1)x x x x x x x e x x x-⋅--→∞→∞→∞---=+=+=．10．（2006年，2分）若函数2121212(),0()12,0x x x f x xx a x +⎧->⎪=⎨+⎪-≤⎩在0x =处连续，则a = ．解：0lim()lim(2)x x f x x a a --→→=-=-，22211221(3)3322000123lim ()lim()lim(1)11x x x x x x xx f x e xx+++++⋅---→→→--==+=++，因()f x 在0x =处连续，故0lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即3a e --=，故3a e -=-．三、计算题1．（2010年，5分）求极限lim xx x c x c →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭，其中c 为常数．解：22222lim lim 1lim 1x c cxxxc x cc x x x x c c c e x c x c x c -⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2．（2010年，5分）求极限3tan limx x xx→-．解：22322000tan sec 1tan 1lim lim lim 333x x x x x x x x x x →→→--===．说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下：232000tan sec 12sec sec tan 1lim lim lim 363x x x x x x x x x x x x →→→--⋅===． 3．（2009年，5分）求极限 3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ ．解：此题为“∞-∞”型的极限，解法如下：23321111313(1)(2)lim lim lim 1111(1)(1)x x x x x x x x x x x x x →→→++--+⎛⎫-===- ⎪----++⎝⎭． 4．（2009年，5分）求极限 0limsin x x x e e x-→- ．解：002limlim 2sin cos 1x x x x x x e e e e x x --→→-+===．5．（2008年，5分）求极限 2sin 2lim cos()x xx ππ→- ．解：22sin 22cos2limlim 2cos()sin()(1)x x x x x x ππππ→→==----⋅-．6．（2007年，5分）求极限011lim()1x x x e →-- ．解：20000111111lim()lim lim lim 1(1)22x x x x x x x x x e x e x e x e x e x x →→→→------====--．说明：0x →时，1~xex -．7．（2006年，4分）求极限 011limcot ()sin x x x x→- ．解：2300011cos (sin )sin limcot ()lim lim sin sin x x x x x x x xx x x x x x→→→---== 2220011cos 12lim lim 336x x xx x x →→-===．8．（2006年，4分）设1cos 20()sin xf x t dt -=⎰，56()56x xg x =+，求0()lim()x f x g x →．解：因0x →时，1cos 20()sin 0xf x t dt -=→⎰，56()056x xg x =+→，且1cos 220()(sin )sin sin(1cos )xf x t dt x x -''==-⎰，45()g x x x '=+，故 2245450000()()sin sin(1cos )(1cos )lim lim lim lim ()()x x x x f x f x x x x x g x g x x x x x →→→→'--==='++224454500011()124lim lim lim 041x x x x x x x x x x x x x→→→⋅====+++．9．（2005年，5分）求极限111lim()1ln x x x→-- ．解： 1111111ln 1lim()lim lim 11ln (1)ln ln x x x x x xx x x x x x x→→→--+-==---+11111limlim ln 1ln 112x x x x x x x →→--===-+-++．。

2010_考研数学基础班高等数学讲义(全全部)

第一章函数、极限、连续第二章§1.1 函数（甲）内容要点一、函数的概念1.函数的定义设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集{}|(),Z y y f x x D ==∈称为函数的值域。

2.分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。

这类函数称为分段函数。

例如21<1() -115 >1x x y f x x x x x +-⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。

需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。

3.隐函数形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。

4.反函数如果y =f (x )可以解出()x y ϕ=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1()xfy -=。

有时也用1()y fx -=表示。

二、基本初等函数1.常值函数 y ＝C （常数）2.幂函数y xα=（α常数）3.指数函数xy a =（a ＞0，a ≠1常数）xy e=（e ＝2.7182…，无理数）4.对数函数 log a y x=（a ＞0，a ≠1常数）常用对数 10log lg y x x == 自然对数 log ln e y x x ==5.三角函数sin ;cos ;tan .y x y x y x ===cot ;sec ;csc .y x y x y x ===6.反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==arctan ;cot .y x y arc x ==基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。

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高等数学讲义第一章函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求 1.理解函数的概念．2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念．3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.4.会建立简单实际问题的函数模型. （二）内容提要 1.函数的定义 (1) 函数的定义定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量.当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值，记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}D x x f y y ∈=),(称为函数的值域.定义2 设D 与B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f ，使得对D 中任何一个实数x ，在B 中都有惟一确定的实数y 与x 对应，则对应规则f 称为在D 上的函数，记为B D f y x f →→: :或,y 称为x 对应的函数值，记为D x x f y ∈=),(,其中，x 称为自变量，y 称为因变量.由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数)(x f y =中，f 表示函数，)(x f 是对应于自变量x 的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在x 处的函数值y 称为函数，并用)(x f y =的形式表示y 是x 的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则f .例如104(23-+=x x x f ）就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为10)(4)()(23-+=f就是一个函数.(2) 函数的两要素函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2v z x y ==与，就是相同的函数.2．函数的三种表示方法(1) 图像法(2) 表格法 (3) 公式法在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： ① 分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间]5,(-∞上的分段函数.② 用参数方程确定的函数用参数方程 ⎩⎨⎧ψ=ϕ=)()(t y t x （t ∈Ι）表示的变量x 与y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数)]1,1[(12-∈-=x xy 可以用参数方程)0(sin cos π≤≤⎩⎨⎧=t tty 表示.③ 隐函数如果在方程0),(=y x F 中，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的惟一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数.例如方程01e =-+xy x 就确定了变量y 是变量x 之间的函数关系.注意能表示成)(x f y =(其中)(x f 仅为x 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01e =-+xy x可以化成显函数xy x e 1-=.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如-+xy x e 0e =y .3．函数的四种特性设函数)(x f y =的定义域为区间D ，函数的四种特性如下表所示.函数的四种特性表⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<+=,52,ln ,20,,0,1)(2x x x x x x x f4．基本初等函数六种基本初等函数见下表5. 反函数、复合函数和初等函数二、主要解题方法1．求函数定义域的方法例1 求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .小结函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数 x x arccos ,arcsin ，要满足1≤x ；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 2．将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法例2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1) 11sin22+=x y ，（2） )e ln(tan sin 22xxy +=.小结（I ）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II ）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 3．建立实际问题的函数模型的方法例3 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.例4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为A ，A 是一常量。

2014武忠祥高数基础班讲义(人信)

2014年考研数学基础班讲义（高等数学）第一章函数极限连续一、函数1 函数的概念（定义域，对应法则，值域）2 函数的性态：单调性奇偶性周期性有界性有界性：定义：若,0>∃M 使得,I x ∈∀恒有,)(M x f ≤则称)(x f 在I 上有界。

3 复合函数与反函数 (求复合函数和反函数) 4 基本的初等函数与初等函数 1）基本初等函数:将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。

了解它们的定义域、性质、图形. 2）初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数. 常考题型：1。

函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2。

复合函数；【例1】 )(e |sin |)(cos +∞<<-∞=x x x x f x 是（A ）有界函数. （B ）单调函数. （C ）周期函数（D ）偶函数.【例2】已知[],1)(,sin )(2x x f x x f -==ϕ则______)(=x ϕ的定义域为._______【解】 )1arcsin(2x -； ].2,2[-【例3】设⎩⎨⎧≥-<=⎩⎨⎧>+≤-=0,,0,)(,0,2,0,2)(2x x x x x f x x x x x g 则[].________)(=x f g【解】 =)]([x f g ⎩⎨⎧≥+<+.0,2,0,22x x x x二、极限 1 极限的概念 1) 数列极限:A a n n =∞→lim ：0 ,0>∃>∀N ε,当N n >时，恒有ε<-||A a n .2）函数极限:（1）A x f x =∞→)(lim ： 0 ,0>∃>∀X ε,当X x >||时，恒有ε<-|)(|A x f .类似的定义 A x f x =-∞→)(lim ，A x f x =+∞→)(lim 。

2011年基础班讲义(高数)

一函数、极限与连续（一）本章重点内容1.本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能正确求出各种极限，求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有：（1）利用极限的四则运算法则及函数的连续性；（2）利用两个重要极限，两个重要极限即11lim 1lim 1n xn x e n x →∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0sin lim1x x x →= （3）利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限；（4）利用等价无穷小代替（常会使运算简化）；（5）利用夹逼定理；（6）先证明数列的极限存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），再利用关系式求出极限；（7）利用定积分求某些和式的极限；（8）利用导数的定义；（9）利用级数的收敛性证明数列的极限为零。

这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有多种计算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活.2.由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限，因此这部分也是重点。

3.在函数这部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算,以及常用的4类函数及函数的8种表现形式.通过历年试题归类分析，本章常见的典型题型有：1.直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数；2.讨论函数的连续性、判断间断点的类型；3.无穷小的比较；4.讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；5.求分段函数的复合函数。

(二)题型分析主要是求未定式的极限及反求参数主要方法：①洛必达法则 ②等价无穷小替换 ③8个重要极限的应用 ④左右极限法⑤未定型中1∞型的解题技巧⑥两边夹准则的应用 ⑦递归法求极限⑧利用连续性反求极限 ⑨利用导数求极限 ⑩利用定积分求极限⑾利用级数反求极限（4个反求极限） ⑿利用函数极限求数列极限 ⒀利用泰勒公式求极限1.关于无穷小例1. 比较当0x →时，()ln 1sin x +6，1ln x的阶. 例2.记住① 当n →+∞时ln n ，n ，ne ，!n ，nn ，()2!n 趋于+∞的速率为依次递增. ② 当n →+∞时1ln n ，1n ，1n e ，1!n ，1n n ，()21!n 趋于零的速率为依次递增.例3. ()()220ln 1ln 1limsin x x x x x x x→+++-+例4. sin 0lim x xx +→练习 a r c t a n 0l i m a r c t a n x x x e e x x →--；0lim x +→ 2.关于洛必达法则例1. 2220100cos limsin x x x t dtx→-⎰例2. ()22220023limxt x t xe dte dt→∞⎰⎰例3.确定a,b,c 使 ()30s i n l i ml n 1x x b a x xc t dtt →-=+⎰3. 1∞型中一个重要技巧例1. 210arctan lim x x x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭例2. 21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4.左右极限法①用于分段函数分界点处极限的处理②用于函数左右极限不相等情况的处理.如10lim xx e →，01lim arctanx x→ ③特别带绝对值符号的情况的处理。

高等数学基础班讲义(张宇)

f
(x) x
dx, 其中f
(x)
=
x
∫1
ln(1 + t
t)
dt
【考点分析】本题核心考察了求解积分的四种基本方法：
凑积分：
把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。
换元积分法：利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。
分部积分法： ∫ udv = uv − ∫ vdu
有理函数的积分： Pn (t) n < m
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( ) 【例】求 lim sin x + 2014 − sin x x→+∞
【答案简析】
对f (t) = sin t在[ x, x + 2014]上用拉格朗日中值定理
⇒ sin x + 2014 − sin x = 1 cos ξ ⋅ 2014 ξ ∈( x, x + 2014)
cos x cos 2x (1− 3 cos 3x )
= lim x→0
x2
+ lim x→0
x2
+ lim x→0
x2
= 1 +1+ 3 = 3 22
【练习】求 lim1− cos x cos 2x cos 3x 求a,b
x→0
axb
2、加强计算指标：①准 ②快
1.用思想 2.用知识 3.熟能生巧
a,
b]
∫ 上的一个原函数，则 b a
f
(x)dx
=
F (b)
−
F (a)
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3
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《高等数学讲义》(上、下册)--目录樊映川等编

第一篇解析几何《高等数学讲义》 (上、下册) -- 目录第五章极坐标樊映川等编12.平面束的方程第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积10.两矢量的夹角11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离5.两平面的夹角6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法4.曲线的凹性及其判定法5.曲线的拐点及其求法6.曲线的渐进线7.函数图形的描绘方法8.弧微分曲率9.曲率半径曲率中心10.方程的近似解第七章不定积分1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本积分表4.换元积分法5.分步积分法6.有理函数的分解7.有理函数的积分8.三角函数的有理式的积分9.简单无理函数的积分10.二项微分式的积分11.关于积分问题的一些补充说明第八章定积分1.曲边梯形的面积变力所作的功2.定积分的概念3.定积分的简单性质中值定理4.牛顿-莱布尼兹公式5.用换元法计算定积分6.用分部积分法计算定积分7.定积分的近似公式8.广义积分第九章定积分的应用1.平面图形的面积2.体积3.曲线的弧长4.定积分在物力力学上的应用第十章级数I. 常数项级数1.无穷级数概念2.无穷级数的基本性质收敛的必要条件3. 正项级数收敛性的充分判定法4.任意项级数绝对收敛5.广义积分的收敛性6.T- 函数II. 函数项级数7.函数项级数的一般概念8.一致收敛及一致收敛级数的基本性质III 幂级数9.幂级数的收敛半径10.幂级数的运算11.泰勒级数12.初等函数的展开式13.泰勒级数在近似计算上的应用14.复变量的指数函数欧拉公式第十一章傅立叶级数1.三角级数三角函数系的正交性2.欧拉-傅立叶公式3.傅立叶级数4.偶函数及奇函数的傅立叶级数5.函数展开为正弦和余弦级数6.任意区间上的傅立叶级数第十二章多元函数的微分法及其应用1.一般概念2.二元函数的极限及连续性3.偏导数4.全增量及全微分5.方向导数6.复合函数的微分法7.隐函数及其微分法8.空间曲线的切线及法平面9.曲面的切平面及法线10.高阶偏导数11.二元函数的泰勒公式12.多元函数的极值13.条件极值--拉格朗日乘数法则第十三章重积分1.体积问题二重积分2.二重积分的简单性质中值定理3.二重积分计算法4.利用极坐标计算二重积分5.三重积分及其计算法6.柱面坐标和球面坐标7.曲面的面积8.重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分1.对坐标的曲线积分2.对弧长的曲线积分3.格林公式4.曲线积分与路线无关的条件5.曲面积分6.奥斯特罗格拉特斯公式第十五章微分方程1.一般概念2.变量可分离的微分方程3.齐次微分方程4.一阶线性方程5.全微分方程6.高阶微分方程的几个特殊类型7.线性微分方程解的结构8.常系数齐次线性方程9.常系数非齐次线性方程10.欧拉方程11.幂级数解法举例12.常系数线性微分方程组。

高等数学基础第七讲-精品.ppt

高等数学基础第七讲
马黎（2019. 12.13）
复习凑微分法新授分部积分法
不定积分的定义：
如果函数 F(X)是函数 f ( x) 在某区间上的一个原函数，那么 f ( x)的全体原函数 F(X)+C(C 为
任意常数)，称为 f(x)在该区间上的不定积分，
记为 f ( x)dx.
导数基本公式
用了凑微分小妙招也不灵，怎么办？我们还有一招—分部积分法
分部积分法
2
x ln x
xd
(ln
x
)
2
x ln x 2
x 1 dx x
1
2 x ln x 2 x 2 d x
1
2 x ln x 4 x 2 c
2 x ln x 4 x c
作业四
三、计算题 P17页 6、7、8
(coxt) 1 sin2 x
积分基本公式
coxdsxsixnc
sixn dxcox sc co12sxdxtanxc
si12nxdxcoxtc
定理若已知 f(x)dxF(x)c, 则有
f u x u ( x ) d x F u x c
其中 u ( x ) 是可微函数 , c 是任意常数
下面是积分部分的考题
小结
1.理解原函数的定义； 2.记住导数和积分公式； 3.记住“积分常用小妙招”； 4.熟练运用凑微分和分部积分法进行积分计算。
积分基本公式
(c) 0
0dx c
(x)x1
(ln x) 1 x
xdx1 1x1c 1
1xdxlnx c
(a x) a xln a(a 0 ,a 1 )
axdxax c (a0,a1) ln a

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高等数学期末通关讲义一次搞定搞定数学1.本讲义由Mr.J学长整理，部分内容来源于网络，仅供群内同学个人打印学习使用，请勿用于商业用途。

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1第一讲函数【教学目的】掌握微积分的理论基础【教学重点】基本初等函数的简单性质，掌握三角函数之间的常用关系【内容展开】一、函数的概念 1.函数的定义设两个变量x 和y 之间有一个对应规律,使变量x 在可取值的数集内每取一个值时，变量y 按照这个规律总有确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记作)(x f y =，x 的取值范围为定义域，所有函数值构成的集合称为值域. 注：定义域的求解若函数是用解析式表示的，则定义域就是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数的集合若由实际问题建立的函数，定义域就是具有实际意义的自变量取值的集合；复杂函数的定义域，就是求解由简单函数的定义域所构成的不等式组的解集；表达式与自变量的表示符号无关 2．函数的分类及表示方法基本初等函数（定义域、值域、图形、特性要非常清楚）（1）常值函数 y ＝C （常数）（2）幂函数y x α=（α为常数）（3）指数函数 x y a =（0>a 且1≠a ）（4）对数函数 log a y x =（0>a 且1≠a ）（5）三角函数 sin ;cos ;tan .y x y x y x ===cot ;sec ;csc .y x y x y x ===（6）反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==arctan ;cot .y x y arc x ==初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或复合所构成的用一个解析表达式表示的函数称为初等函数分段函数：如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示 3.函数的四大特性（1）奇偶性：（要求定义域关于原点对称）若)()(x f x f =-，则称)(x f 为偶函数；若)()(x f x f -=-，则称)(x f 为奇函数；2注：奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于y 轴对称；常见的奇函数有：x x x x arcsin ,arctan ,tan ,sin 等；常见的偶函数有：x x arccos ,cos 等（2）周期性：若)()(x f T x f =+，则称T 为)(x f 的周期.由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中的最小正周期称为周期.注：常见的周期函数有：x x cos ,sin 以π2为周期，x x x x x 2sin ,cos ,sin ,cot ,tan 等以π为周期（3）单调性：若)(x f 在区间I 上有定义，若I x x ∈∀21,（21x x <）总有)()(21x f x f <，则称)(x f 在I 上单调递增；若)()(21x f x f >，则单调递减. 注：一个函数的单调性取决于区间（4）有界性)(x f 在区间I 上有定义，,I x ∈∀ 都有M x f <)(，则称)(x f 在区间I 上有界，否则就无界.注：)(x f 有界与否依赖于区间I ，)(x f 在I 上有界的充要条件是既有上界又有下界. 常见的有界函数为:正弦、余弦以及四个反三角函数3第二讲极限【教学目的】掌握微积分的理论基础【教学重点】会套用公式求解简单极限无穷小的概念，性质及无穷小的比较，会灵活运用等价无穷小化简复杂的计算【教学难点】灵活运用等价无穷小化简复杂0的运算【内容展开】1.极限的定义：变化过程+变化趋势；2.极限的性质：（1）函数（数列）极限存在必唯一； (2) 极限的局部保号性：1）若)0(0)(lim 0<>=→A x f x x ，则存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有)0(0)(<>x f2）若)0(0)(≤≥x f ，且A x f =)(lim ，则)0(0≤≥A（3）极限的局部有界性：A x f x x =→)(lim 0，则存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有M x f ≤)(3．极限的计算（1）极限存在的两个准则定理1（单调有界准则）：若数列{}n x 满足单调上升（下降）有上界（下界），则有极限. 定理2（夹逼准则）：设数列{}n x 满足以下两个条件 1）从某项起n n n z x y ≤≤2）a z y n n n n ==∞→∞→lim lim则{}n x 有极限且a x n n =∞→lim .（2）关于极限的计算 1）套用基本公式求极限C C =lim ；)()(lim 00x P x P n n x x =→；)()()()(lim000x Q x P x Q x P m n mn x x =→ （)0)(0≠x Q m 11101110lim m m m m n n x n n a x a x a x a b x b x b x b ---→∞-++++++++0 mnm n a m n b m n ⎧<⎪⎪=⎨⎪⎪∞>⎩ 当时＝当时　当时2）套用两个重要极限4利用第一个重要极限1sin lim 0=→xxx 求极限例：计算下列极限 1）x xx 3sin 2sin lim0→2） xkxx sin lim0→ 3）xx x cot lim 0→利用第二个重要极限e x xx =+→1)1(lim 求极限例：计算下列极限 1）xx x 10)1(lim -→2）x x x 3)21(lim +∞→ 3）xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→11lim 4.无穷小与无穷大（1）无穷小量定义：若()lim 0f x =，则称()f x 为无穷小量（2）无穷小的性质：有界变量乘无穷小量仍是无穷小量.在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 常数与无穷小的乘积是无穷小. 有限个无穷小的乘积是无穷小. （3）无穷小的比较：设()()lim 0lim 0f x g x ==，，且()()lim f x l g x =1)0l =，称()f x 是比()g x 高阶的无穷小量，称()g x 是比()f x 低阶的无穷小量记为()()f x o g x =⎡⎤⎣⎦2)0l ≠，称()f x 与()g x 是同阶无穷小量.3)1l =，称()f x 与()g x 是等价无穷小量，记为)(~)(x g x f 4）)0()()(lim≠=c c x g x f k，称)(x f 是)(x g 的k 阶无穷小注：（1）等价无穷小有个良好的性质可用定理表示如下：定理3：设)(~)(1x f x f ，)(~)(1x g x g ，若)()(l i m11x g x f 存在，则)()(lim )()(lim 11x g x f x g x f =. 该定理表明求的极限时，可对分子分母分别做等价代换其结果将保持不变，此结论可使得计算简单许多.（2）常见的等价无穷小（)0→x5xx x x e x x x x x x x αα~1)1(21~cos 11~)1ln(~arctan ~tan ~arcsin ~sin ~2-+--+（3）等价无穷小不能滥用，一般建议应用于乘除法因子中做等价代换. 例:计算下列极限)3sin 11sin3(lim 0x xx x x +→ )3sin 11sin3(lim x xx x x +∞→ xx x x 30sin sin tan lim-→ 112cos 1lim20-+-→x x x （4）无穷大量定义：任給0M >，当x 变化一定以后，总有()f x M >，则称()f x 为无穷大量，记()lim f x =∞.（5）无穷小和无穷大的关系： 1)若∞=)(lim x f ，则0)(1lim=x f ； 2)若0)(lim =x f ，且0)(≠x f ，则∞=)(1limx f .6第三讲连续【教学目的】掌握微积分的理论基础【教学重点】连续的定义以及间断点的类型【教学难点】连续与间断的判定【内容展开】1．函数在某点连续的定义：定义1：设函数)(x f 在)(0x U δ内有定义, 且0lim 0=∆→∆y x ,此时就称函数)(x f 在点0x 连续,并称0x 为)(x f 的连续点.否则称0x 为)(x f 的间断点.定义2：设函数)(x f 在)(0x U δ内有定义，如果有)()(lim 00x f x f x x =→，那么就称)(x f 在0x 处连续，否则在0x 处间断.注：)()(lim )(lim )()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x x x ==⇔=-+→→→，即)(x f 在0x 处连续的充要条件是既要左连续又要右连续.2.间断点的类型1）第一类间断点：左右极限都存在的点.若左极限等于右极限，称此时的间断点为第一类的可去间断点（可通过修改或者补充原函数的定义使此类间断点变成连续点）；若左极限不等于右极限，称此时的间断点为第一类中的跳跃间断点. 2）第二类间断点：左右极限至少有一个不存在,若∞=→)(lim 0x f x x ，则称0x 是)(x f 的无穷间断点.例：判定下列函数在给定点处的连续性，若不连续请指明间断点的类型，若是可去间断点请修改或者补充原函数的定义使其成为连续点1） ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=010001)(x x x x x x f 0=x 2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=02sin )(x x xx x f 0=x3）xx f 1)(=0=x 【教学总结】本部分主要涉及微积分的基本理论，介绍了什么是函数，我们要研究的函数都有哪些；介绍了什么是极限，有什么性质，都该如何去计算等；介绍了连续与间断的定义，如何利用定义表明这个点是函数的连续点还是间断点.7第四讲导数与微分【教学目的】理解导数的定义，会利用几何意义建立切线（法线）方程，会求简单函数的导数，并能利用导数借助于洛必达法则求解未定式的极限【教学重点】导数的定义和几何意义借助于求导法则求导数掌握洛必达法则【教学难点】借助于求导法则求导数，洛必达法则【内容展开】一、导数与微分概念1.导数的定义（增量比的极限）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00y f x x f x ∆=+∆-，如果极限()()0000limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称此极限为函数()f x 在0x 处的导数，记作()0f x '或()00x x x x df x dyy x x dxdx =='= ，，等，并称函数()y f x =在点0x 处可导，如果上面的极限不存在，则称函数()y f x =在点0x 处不可导.注：()f x 在点0x 处可导()f x ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等. 2.导数的几何意义：如果函数()y f x =在点0x 处导数()0f x '存在，则在几何上()0f x '表示曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线的斜率，于是有切线方程()()()000y f x f x x x '-=-法线方程：()()()()()000010y f x x x f x f x '-=--≠' 3.求导法则1)基本求导公式：80)(='C x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' xx x 22cos 1sec )(tan =='221(cot )csc sin x x x'=-=-x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -='a a a x x ln )(=' a x xaln 1)(log =' 211)(arcsin x x -=' 211)(arccos x x --='211)(arctan x x +=' 211)cot (x x arc +-='2）四则运算的求导法则设v u ,均为x 的可导函数，则v u v u '±'='±)( uv v u uv '+'=')(2v uv v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ （0≠v ） 3）复合函数的求导法则设)(),(x u u f y ϕ==均可导，则)]([x f y ϕ=可导，且dxdudu dy dx dy =即y 对x 的导数等于y 对中间变量的导数乘以中间变量对x 的导数，可见要学好复合函数的导数得学会分析复合函数的形成过程. 4）隐函数的求导法则设()y y x =是由方程()0F x y =，所确定，求y '的方法如下：把()0F x y =，两边的各项对x 求导，把y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y '的表达式. 5）反函数的求导法则设()y f x =的反函数()x g y =，两者皆可导，且0)(≠'y g dydxdx dy 1=6）分段函数的求导：分段函数分段求，分段点处定义求 4.洛必达法则：定理1：设（1）)(0)(lim 0∞=→x f x x )(0)(lim 0∞=→x g x x（2）在0x 的某去心邻域内)(),(x g x f 都可导，且满足)()()(lim∞=''→a x g x f x x ，其中0)(≠'x g 则，=→)()(limx g x f x x )()()(lim 0∞=''→a x g x f x x9例：计算下列极限30sin lim x x x x -→30)sin(sin sin lim x x x x -→xnx e x +∞→lim x x x ln lim+∞→xx x ln lim 0+→ )tan 11(lim 0xx x -→二、微分1.微分的定义：设函数()y f x =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量()()00y f x x f x ∆=+∆-有下面的表达式()()()00y A x x o x x ∆=∆+∆∆→ 其中()0A x 与x ∆无关，()o x ∆是0x ∆→时比x ∆高阶的无穷小，则称()f x 在0x 处可微，并把y ∆中的主要线性部分()0A x x ∆称为()f x 在0x 处的微分，记以0|x x dy =或()0x x df x =.2.可微的计算：定理2：)(x f y =在0x 处可微的充要条件是)(x f y =在0x 处可导且x x f dyx x ∆'==)(00.【教学总结】本部分讲述了导数的定义和常用的求导法则，能够根据导数解决曲线在某点的切线和法线方程，利用导数和洛必达的法则求解未定式的极限.第五讲不定积分【教学目的】理解原函数和不定积分的定义，会求不同类型函数的不定积分【教学重点】原函数的不定积分的定义第一换元法，第二换元法，分部积分法【教学难点】第一换元法【内容展开】一、原函数与不定积分的概念与性质 1．原函数与不定积分的概念设函数()f x 和()F x 在区间I 上有定义，若()()F x f x '=在区间I 上成立．则称()F x 为()f x 在区间I 的原函数，()f x 在区间I 中的全体原函数称为()f x 在区间I 的不定积分，记以()f x dx ⎰.其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式.2.性质：分析性质和运算性质（1）()()F x dx F x C'=+⎰或()()dF x F x C=+⎰（2） ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰或()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰（3） ()()kf x dx k f x dx=⎰⎰（4）()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰二、基本积分公式⎰+=C kx kdx ⎰+-=C x xdx cos sin ⎰+=C x xdx sin cos C x xdx +-=⎰cos ln tan C x xdx +=⎰sin ln cot C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec Cx x xdx +-=⎰cot csc ln csc ⎰+=Cx xdx x sec tan sec Cx xdx x +-=⎰csc cot csc x x tan sec2=⎰ Cx dx x +-=⎰cot csc 2Cx dx x +=+⎰arctan 112Cx dx x+=-⎰arcsin 112三、不定积分积分法1.第一换元法的基本原理()()()()()()u x f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰令()()F u C F x Cϕ=+=+⎡⎤⎣⎦注：目的是化为能带基本积分公式的方法例：计算下列不定积分dxe ex x⎰+1dxx x ⎰21sindxxx ⎰sin dxx x ⎰2ln dx x x ⎰2cos sin ⎰xdx x cos sin dx x x⎰-2arccos 1100 dxx x ⎰-212．第二换元法的基本原理()()()()()()1x t f x dxf t t dt G t C G x C ϕϕϕϕ=-'⎡⎤=+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰令，其中()1t x ϕ-=为()x t ϕ=的反函数.注：是一种化繁为简的方法，主要的目的是为了去掉被积函数中的根号例：计算下列不定积分dxx a ⎰-22)0(>a ⎰+22x a dx )0(>a ⎰+xx dx 13.分部积分法的基本原理设()()u x v x ，均有连续的导数，则()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰例：计算下列不定积分⎰xdx x sin ⎰xdxx arctan ⎰xdx x ln xdx e x sin ⎰⎰xdx arctan ⎰-dx xe x4.有理函数积分法的基本原理（1）有理函数的相关定义：有理函数是指两个多项式的商表示的函数 mm m nn n b x b x b a x a x a x Q x P ++++++=-- 110110)()(其中n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 为常数，且00≠a ，00≠b .如果分子多项式)(x P 的次数n 小于或等于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为真分式；如果分子多项式)(x P 的次数n 大于或等于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为假分式. 利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和. （2）定理：若上面定义中的)(x Q 可以被因式分解成s l k q px x b x a x b x Q )()()()(20++--= （)042<-q p则++++++++++++++-++-+-++-++-+-=sll k k q px x Q x P q px x Q x P q px x Q x P b x B b x B b x B a x A a x A a x A x Q x P )()()()()()()()()()(2112222211221221例:求下列不定积分⎰+-dx x x 6512⎰++dx x x )1)(1(12【教学总结】本部分主要涉及不定积分定义与计算，要求能掌握不定积分的三大核心计算方法，第一换元法，第二换元法，分部积分法例：计算下列定积分dxx x ⎰202cos sin πdx x a a⎰-022 )0(>a3.定积分的分部积分法原理⎰⎰-=babab a vduuv udv 例：计算下列定积分⎰e xdx x 1lndx ex⎰1【教学总结】本部分涉及了定积分的概念和性质，要理解定积分的定义为以后的定积分应用打下基础，会利用牛顿莱布尼茨计算定积分的值.第六讲定积分【教学目的】理解定积分的定义和性质，掌握定积分的计算方法【教学重点】定积分的定义和性质定积分的计算方法【教学难点】定积分的定义【内容展开】一、定积分的概念与性质1．定义：设函数],[)(b a x f 在上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把区间[]b a ,分成n 个小区间],,[,],,[],,[12110n n x x x x x x - 各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x .在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i i i i x x ≤≤-εε1(),作函数值)(i f ε与小区间长度i x ∆的乘积),,,2,1()(n i x f i i =∆ε并作出和∑=∆=ni iixf S 1)(ε.记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[i i x x ,1-]上点i ε怎样取法,只要当1→λ时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[a,b]上的定积分(简称积分),记作⎰badx x f )(,即⎰badx x f )(=I =∑=→∆ni i i x f 1)(lim ελ,其中)(x f 叫做被积函数, dx x f )(叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限, []b a ,叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即：⎰⎰⎰==bab abaduu f dt t f dx x f )()()(函数可积（定积分存在）的两个充分条件：定理1 设],[)(b a x f 在上连续，则)(x f 在[]b a ,上可积.定理2 设],[)(b a x f 在上有界，且只有有限个间断点，则],[)(b a x f 在上可积. 2．定积分的性质为方便定积分计算及应用，作如下补充规定：（1）当b a =时，0)(=⎰ba dx x f （2）当b a >时，-=⎰badx x f )(⎰abdxx f )(性质1：函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即=±⎰dx x g x f ba)]()([±⎰badx x f )(⎰badxx g )(性质2 ：被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即=⎰badx x kf )(k⎰badx x f )( (k 是常数)性质3 ：如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，则=⎰badx x f )(⎰+cadx x f )(⎰bcdxx f )(注意：我们规定无论c b a ,,的相对位置如何，总有上述等式成立. 性质4 ：如果在区间[]b a , 上，则,1)(≡x f =⎰ba dx x f )(ab dx ba-=⎰性质5 ：如果在区间[]b a ,上，则,0)(≥x f0)(≥⎰badx x f )(b a <推论1 如果在[]b a ,上，则),()(x g x f ≤≤⎰badx x f )(⎰badx x g )( （b a <）推论2≤⎰badx x f )(⎰badxx f )(性质6 ：“设M 与m 分别是函数],[)(b a x f 在上的最大值及最小值，则≤-)(a b m ≤⎰badx x f )()(a b M - （b a <）二、定积分的计算 1.牛顿莱布尼茨公式设)(x f 在[]b a ,上连续，则)()()()(a F b F x F dx x f bab a -==⎰2.定积分的换元法原理设)(x f 在[]b a ,上连续，函数)(t x ϕ=满足a =)(αϕ，b =)(βϕ，则dtt t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)())(()(练习例1 239lim 3x x x →--.例2 2322lim 3x x x x →-+-.例32x →.例4 2237lim 24x x x x x →∞+--+.例5lim x . . 例6)limx x →+∞.例7 25lim 35n nn nn →∞-+.例8（1）()2lim ln sin x x π→（2）()lim ln arctan x x →+∞例9 求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim . 例10 求下列极限（1）1lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）()0ln 1lim x x x →+ （3）01lim x x a x →-（4）()2sin 0lim 1xx x →+ （5）()211lim 2x x x +→-+例11（1）x x x 5sin 2tan lim→（2）x x x x 3sin lim 30+→（3）1cos 1)1(lim 3120--+→x x x （4）30sin tan lim x x x x -→例12（1）0x → （2）4x π→例13 xx a x )1(log lim )1(0+→ 3sin 0(2)lim(12)x x x →+例14 设211(),()1412x x x x f x x x x x x φ≤≤⎧⎧==⎨⎨>+>-⎩⎩，求复合函数)]([x f ϕ.例15 求下列函数的极限.（1）xx x πsin 1lim 21-→（2）xx xx 1)321(lim +++∞→例16 求)1)(1(sin )1()(-++=x x x xx x f 的间断点，并判别其类型.。

2011年基础班讲义(高数)

(二)题型分析主要是求未定式的极限及反求参数主要方法：①洛必达法则 ②等价无穷小替换 ③8个重要极限的应用 ④左右极限法⑤未定型中1∞型的解题技巧⑥两边夹准则的应用 ⑦递归法求极限⑧利用连续性反求极限 ⑨利用导数求极限 ⑩利用定积分求极限⑾利用级数反求极限（4个反求极限） ⑿利用函数极限求数列极限 ⒀利用泰勒公式求极限1.关于无穷小例1. 比较当0x →时，()ln 1sin x +6，1ln x的阶. 例2.记住① 当n →+∞时ln n ，n ，ne ，!n ，nn ，()2!n 趋于+∞的速率为依次递增. ② 当n →+∞时1ln n ，1n ，1n e ，1!n ，1n n ，()21!n 趋于零的速率为依次递增.例3. ()()220ln 1ln 1limsin x x x x x x x→+++-+例4. sin 0lim x xx +→练习 a r c t a n 0l i m a r c t a n x x x e e x x →--；0lim x +→ 2.关于洛必达法则例1. 2220100cos limsin x x x t dtx→-⎰例2. ()22220023limxt x t xe dte dt→∞⎰⎰例3.确定a,b,c 使 ()30s i n l i ml n 1x x b a x xc t dtt →-=+⎰3. 1∞型中一个重要技巧例1. 10arctan lim x x x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭例2. 21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4.左右极限法①用于分段函数分界点处极限的处理②用于函数左右极限不相等情况的处理.如10lim xx e →，01lim arctanx x→ ③特别带绝对值符号的情况的处理。

(完整word版)高等数学讲义(一)

高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。

用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。

它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。

“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。

时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。

第1讲函数1.2 函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。

一、常量与变量先看几个例子：圆的面积公式2πr S =自由活体的下落距离2021gt t v s += 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。

变量可以视为实属集合（不止一个元素）。

二、函数的定义定义1.1 设D 是一个非空数集。

如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。

实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 的值域。

看看下面几个例子中哪些是函数：}6,3,1{=Xf}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ⊂。

}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。

}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。

}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。

由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。

大学数学课件：高等数学完整PPT讲义

多元函数和偏微分方程
探索多元函数和偏微分方程的特性和解法。研究多元函数的极限、连续性，并学习偏导数和偏微分方程的求解方法。
向量分析和线性代数基础
深入研究向量分析和线性代数的基本概念和技巧。掌握向量的运算法则、曲线和曲面的参数方程，以及线性方程组的解法。
大学数学课件：高等数学完整PPT讲义
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高等数学课程概述
探索高等数学的广阔世界。从数学的起源和发展，到各个数学领域的实际应用。了解数学对科学、工程和经济的重要性。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学符号和思维导图
掌握数学中常用的符号和记号。了解符号的含义和用法，以便更好地理解和推导数学公式。使用思维导图来整理和呈现复杂的数学概念。
微积分基础知识
深入研究微积分的基本原理和概念。包括导数、积分和微分方程等重要概念，以及它们在实际中的应用。
微分学和积分学
学习微分学和积分学的高级概念。探索微分学的极限、连续性和微分法则，以及积分学的定积分、不定积分和积分方法。
常微分方程和级数
了解常微分方程和级数的基本理论和解法。研究一阶和高阶常微分方程的解析解和数值解法，以及级数的收敛性和求和方法。

高等数学讲义(基础班)

第一章求极限极限的定义： A x f x =→)(lim [] （唯一性、局部保号性、局部有界性）若0>A ，则([])0U x →有f(x)>0。

极限存在的充要条件：)()()(lim lim lim 0x f x f A x f x x x x x x -+→→→=⇔=求极限的方法 1. 四则运算若A x f x =→)(lim []，B x g x =→)(lim []，则(1).B A x g x f x g x f x x +=±=±→→→)]()([)()(lim lim lim [][]x [](2).B A x g x f x g x f x x x •=•=•→→→)()()()(lim lim lim [][][](3).若0≠B ，则BAx g x f x g x f x x x ==→→→)()()()(lim lim lim [][][]若A x f x =→)(lim []，)(lim []x g x →不存在，则)()(lim []x g x f x ±→一定不存在，)()(lim []x g x f x •→不一定存在。

例：01sin lim 0=•→xx x若]()([lim []）x g x f x ±→存在，则)(lim []x f x →，)(lim []x g x →都存在或者都不存在。

若C x g x f x =±→)]()([lim []，A x f x =→)(lim []，则)(lim []x g x →一定存在。

2. 函数的连续性⇔=→)()(0lim 0x f x f x x f(x)在0x 是处连续的。

初等函数在其定义域内都是连续的。

两个重要的极限：1sin lim 0=→xx x ，e xx x =+→)11lim(0（证明过程）3. 洛必达、泰勒公式（求未定式型，，，，，，∞•∞∞∞∞∞∞001-0000）以上指数形式用对数转化，即)([])(lim x g x x f →=A e x g x f x e=→)()(ln lim []若''[])()(lim x g x f x →不存在，也不是∞，则''[])()(lim x g x f x →一定不存在。

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