三角函数大题六大常考题型

【一】知识要点详解

1.要点：

（1）三角函数的化简、求值与证明；

（2）三角函数的图像与性质：图像的变换和作图；周期性、奇偶性，单调性；

（3）三角函数的最值问题；

（4）解三角形:在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理；

（5）解三角函数的实际应用.

2.方法：

（1）使用三角函数公式进行解题时应考虑使用诱导公式进行化简；使用两角和与差的三角函数公式合并三角函数；使用二倍角的三角函数公式降幂扩角、升幂缩角；使用同角三角函数关系式，结合已知条件，化弦为切或化切为弦，化到最简后，带入已知的三角函数值，求得结果.

（2）三角函数最值的三个方面：

化成“三个一”：化成一个角的一种三角函数的一次方形式；如；

化成“两个一”：化成一个角的一种三角函数的二次方结构；

“合二为一”：辅助角的使用；

（3）解三角形方法：一法化边；二法化角；注意要考虑三角形内角的范围.

【二】例题详解

题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值

【例1】（2007年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，，求的值．【解答】因为为的最小正周期，故．因为，又，故．

由于，所以

．

【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、

差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入

求值或化简。

题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题

【例2】（2006年高考浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的

夹角。

【解答】（I）因为函数图像过点，

所以即

因为，所以.

（II）由函数及其图像，得

所以从而

，故.

【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。

题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算

【例3】（山东卷）在中，角的对边分别为，．（1）求；

（2）若，且，求．

【解答】（1），,

又，解得：，

，是锐角，．

（2），，，

又，，，

，．

【评析】根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。

题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算

【例4】（2007年高考陕西卷），其中向量，

，，且函数的图象经过点．（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合。

【解答】（Ⅰ）

由已知，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

∴当时，的最小值为，

由，得值的集合为．

【评析】涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如

，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。

题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法

【例5】（2007年高考湖北卷）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

【解答】∵，∴平移后的解析式为

，选．

【评析】理清函数按向量平移的一般方法是解决此类问题之关键，

平移后的函数解析式为．

题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题

【例6】（2006年高考湖北卷）设向量，函数.

（Ⅰ）求函数的最大值与最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式成立的的取值集.

【解答】（Ⅰ）∵

∴的最大值为，最小正周期是

（Ⅱ）要使成立，当且仅当，

即,

即成立的的取值集合是．【评析】结合向量的坐标运算法则，求出函数的三角函数关系式，再根据三角公式对函数的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解

集。

【跟踪训练】

1．设函数，其中向量，

．

（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的．

2．已知向量．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）求的最大值．

【参考答案】

1．解：(Ⅰ)由题意得，

，

所以，的最大值为，最小正周期是.

（Ⅱ）由得，即，于是，．

因为为整数，要使最小，则只有，此时即为所求．

2．解：（Ⅰ）若，则，由此得：，所以，．

（Ⅱ）由得：

当时，取得最大值，即当时，的最大值为．