圆锥曲线第二定义

大成培训教案

圆锥曲线第二定义及其应用

教学目标：理解熟悉圆锥曲线统一定义，会利用统一定义灵活解题；

教学重难点：会利用统一定义灵活解题；

教学过程：

● 回顾圆锥曲线第二定义：

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率.

当0＜e ＜1时，轨迹为

当e=1时，轨迹为

当e ＞1时，轨迹为

● 统一定义的应用

一、焦点弦长

例 1 过抛物线x 4y 2=的焦点F 作直线交抛物线于A （11y x ，）、B （22y x ，），若6x x 21=+，求|AB|的长。

例2 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为

二、求离心率

例3 设椭圆22

22b

y a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。

练习：已知过椭圆的左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若F1A ＝2F1B ，则椭圆的离心率为________．

三、求点的坐标

例4 双曲线13

y x 2

2

=-的右支上一点P ，到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2：1，求点P 的坐标。

例5 P 点在椭圆120

452

2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 .

练习：1、抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是

2、点P 在椭圆19

252

2=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______

四、求离心率的范围

例6 已知椭圆)0b a (1b

y a x 22

22>>=+，21F F 、分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，求椭圆的离心率e 的取值范围。

练习：若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32

a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是

五、求最值

例7 已知点A （32，-），设点F 为椭圆112

y 16x 2

2=+的右焦点，点M 为椭圆上一动点，求|MF |2|MA |+的最小值，并求此时点M 的坐标。

练习：若点A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线y2=2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P 点的坐标为( )

例8 已知点)0,22(Q 及抛物线42

x y =上一动点P （x,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____

练习：1、椭圆13

42

2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______

2、已知点A （3，2），F （2，0），双曲线x y 2

2

31-=，P 为双曲线上一点，求||||PA PF +12

的最小值。

例9 （海南宁夏卷理11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ．

练习：（辽宁卷理10）已知点P 是抛物线2

2y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．