2019级第15次课第五节函数的微分与应用
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第五节 函数的微分与应用
一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、微分形式的不变性 七、微分在近似计算中的应用
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边 x0变 长 x0 到 由 x,
正方形A 面 x积 02, A (x 0 x )2 x 0 2
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常用近似公式 ( x很小时)
(1)n1x11x; (2)sinxx(x为弧);度 n
(3)taxnx(x为弧);(度 4)ex 1x;
(5)ln1(x)x.
证明
(1 )设 f(x )n1 x ,
f(x)1(1x)n 11, n
f(0)1, f(0)1. n
f( x ) f( 0 ) f( 0 ) x 1 x . n
3 x 0 2 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
(1)
(2)
当x很小,时(2)是x的高阶无 o(穷 x), 小
y3x0 2x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
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二、微分的定义
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例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
( 1 ) d () c t o ; d ( 2 s ) d t (x s 2 ) ( i ) d ( n x ).
解 ( 1 ) d (s t) i n c o t, d st
cotsdt1d(s in t)d(1sint);
解 d e y a c xb o ( b x ) s s x d b i e n a x d ( x a )x e a c xb o b x s s d b ix e n x a ( x a ) dx
e a(x b cb o x s a sb in )d x .x
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3、误差估计
由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做间接测量误差.
定义：如果某个量的精 A,它 度的 值近 为似值
为a,那末Aa叫做 a的绝对误 . 差 而绝对 a的 误比 差 Aa 值 叫 与a做 的相对 . 误
2x 0 x( x)2.
(1)
(2)
x0
x0x
x (x )2
x
Ax02
x0x x 0
(1) : x的线,性 且 函 为 A 的数 主;要部分
(2) : x的高阶,当 无 x很 穷小 小时. 可忽略
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再例如, 设函数 yx3在点x0处x的改变量 为x时, 求函数的改y变 . 量
y (x 0 x )3 x 0 3
微d分 叫 y 做函 y的 数线 增 .性 量 (微分主 的实质部 )
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由定义知: (1)d是 y 自变量的 x的 改线 变性 量 ; 函数
(2)yd yo(x)是 比 x高阶;无穷小
(3)当 A0时 ,d与 yy是等价;无穷小
y 1 o(x) 1 (x 0).
dy
A x
(4 )A 是 x 无 与关 ,但 f 的 (x ) 与 和 x 0 有 常 ; 关 数
( e 1 3 x ) 3 e 1 3 x ,(c x ) o sx s i .n
d c y x o ( 3 e 1 s 3 x ) d e 1 x 3 x ( sx ) i d n x
e 1 3 x(3 co x s six )n d.x
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六、微分形式的不变性
(5)当 x很小 , yd时 y(线性 ). 主部
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三、可微的条件
定理 函数 f(x)在点 x0可微的充要条件 数f(x)在点 x0处可, 导 且Af(x0).
证：(1) 必要性 f(x)在x点 0可,微
y A x o ( x ) ,yAo(x),
x
x
则 lx i0m x yA lx i0m o( x x)A.
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Baidu Nhomakorabea
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d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 dx xlna
d(arcsixn) 1 dx 1 x2
d(lnx) 1dx x
d(arccoxs) 1 dx 1 x2
d(arctaxn)
1 1 x2
dx
d(arccotx) 11x2 dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
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例2 计算下列各数的近似值. (1 )39.5 9 ; 8 (2 )e 0 .0.3
解 (1 )39.9 5 8 3101 0 .50
3 100(01 1.5 ) 13010.0015 1000
10(110.001) 59.99. 5 3
(2)e0.0310.03 0.9.7
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近似计算的基本公式 当x很小,时 yxx0 dyxx0f(x0) x.
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 ), 当x0时, f ( x ) f ( 0 ) f( 0 ) x .
d(1si n tC)co tsd. t
d(sinx2) 2xcoxs2dx
(2)
d( x)
1 dx 4x
xcox2s,
2x
d (s x 2 ) i( 4 n x x cx o 2 ) d (s x ).
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七、微分在近似计算中的应 用
计算函数增量的近似值
计算函数的近似值 误差估计----留作自学
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五、微分的求法
d yf(x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C)0
d(x)x1dx
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx
d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx
d(sexc)sexctanxdxd(csxc)csxccoxt dx
即 f ( x ) 在 函 x 0 可 ,且 点 A 数 f 导 ( x 0 ).
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(2) 充分性 函f(数 x)在x0 点 可,导
lxi m 0 xyf(x0),
即 x yf(x0),
从 y f ( x 而 0 ) x ( x ) , 0( x 0 ),
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例3 正方形边 2.41长 0.0为 0米 5,求出它的 , 面 并估计绝对误差 . 与相对
解 设正方形边 x,面 长积 为y为 ,则 y x2. 当 x2.4时 1, y(2.4)2 15.80(m 8 2)1 .
yx2.41 2xx2.41 4.8.2
边长的绝对 x 误 0.0差 0,5为
A d A 2 r r 2 1 0 0 .05 (厘米 2).
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2、计算函数的近似值
1.求 f(x)在x点 x0附近的;近似值
y f ( x 0 x ) f ( x 0 )f(x0) x. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x .(x很小时 )
定义 设函数y f (x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f (x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f (x)在点x0可微, 并且称A x为函数 y f (x)在点x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy xx0 或df ( x0 ), 即dy xx0 A x.
设y 函 f(x )有 数 f导 (x ), 数
(1)若 x是自,变 d yf量 (x)d时 ;x
(2)若 x是中间,变 即量 另时 一 t的 变 可 量
微函 x数 (t),则d yf(x ) (t)dt
(t)d td,x d yf(x)d.x
结论：无论 x是自变量还是中 , 函间数变量
y f(x)的微分形式d总 yf是 (x)dx
该函数.的 导导 数数 "也 微叫 " 商 .
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四、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
M
yf(x)
N
P
o(x)
dy y
x
）
o
x0 x0x
x
当x很小,时 在点 M的附,近
切线M 段可 P 近似代替M 曲N.线段
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1、计算函数增量的近似值
若 yf(x)在x0处 点的 f(x0 导 )0,且 数 x很小 , 时
yxx0 dyxx0 f(x0) x.
例1 半径 10厘米的金属圆,半 片径 加伸 热长 后了 0.05厘米 ,问面积增大? 了多少
解 设Ar2, r 1厘 0, 米 r0 .0厘 5. 米
微分形式的不变性
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例4 设 y si2 x n 1 ) (求 ,d.y 解 y su i ,u n 2 x 1 .
dycousd uc2 o x 1 ) s d ( 2 ( x 1 )
co 2xs 1 ()2 d x 2co 2xs 1 ()d.x
例5 设 ye as x ibn ,求 xd.y
例1 计c算 o6so030的近.似值
解 设 f(x)cox,s f(x)six n ,(x为弧 ) 度
x03,
x , 360
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f()1, f()3. 32 3 2
co6so0 30cos()cossin 3 360 3 3 360
1 3 0.49.24 2 2 360
2.求 f(x)在点 x0附近的近 ; 似值 令 x 0 0 , xx . f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x , f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x .
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
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例2 设 yln x (ex2)求 , d.y
解
y
12xex2 xex2
,
12xex2 dy xex2 dx.
例3 设 ye1 3xco x ,求 sd.y
解 d c yx o d (e s 1 3 x ) e 1 3 x d (c x )os
★ 导数与微分的联系: 可导 可.微
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★ 导数与微分的区别:
1.函数 f(x)在点 x0处的导数是一 f(个 x0),定 而微d分 y f(x0)(xx0)是x的线性,函 它数 的 定义域 R,实 是际,它 上是无.穷小
x l x i 0 d m x l y x i 0fm ( x 0 )x ( x 0 )0. 2.从几何意义, f上 (x0来 )是看 曲y线 f(x)在 点(x0, f(x0))处切线的 ,而斜微 d率 yf(x0) (xx0)是曲y线 f(x)在点 (x0, f(x0))处的切 方程在 x0的 点纵坐标 . 增量
a
问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
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办法:将误差确定在某一个范围内.
如果某个量的精度A,值 测是 得它的近似a值, 是 又知道它的误差不A超 ,即过
Aa A, 那末A叫做测A量的绝对误差,而限aA叫做测量 A的相对误差. 限
通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差.
f(x 0 ) x o ( x ),
函 f ( x ) 在 数 x 0 可 , 点 且 f ( 微 x 0 ) A .
可 可 . 导 A 微 f ( x 0 ). 函y数 f(x)在任x的 意微 点 , 称 分 为函数 微,分 记d作 或 yd(fx),即 d yf(x)x.
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例1 求函 yx 3当 数 x2 , x0 .0时 2 的 .
解 d y(x3)x3x2x.
dyx2 3x2xx2 0.2.4
x0.02
x0.02
通常把自 x的变增量 x量 称为自变量 , 的
记作 dx, 即dxx.
d yf(x)d.x dy f(x).
dx 即函数d的 与 y 微 自分 变量 d之 x的商 微等 分于
面积的绝对 y 误 4.82 差 0.0为 050.024 (m 12).
面积的相对误差y为 0.0241 0.4%.
y 5.8081
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•小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.
一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、微分形式的不变性 七、微分在近似计算中的应用
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边 x0变 长 x0 到 由 x,
正方形A 面 x积 02, A (x 0 x )2 x 0 2
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常用近似公式 ( x很小时)
(1)n1x11x; (2)sinxx(x为弧);度 n
(3)taxnx(x为弧);(度 4)ex 1x;
(5)ln1(x)x.
证明
(1 )设 f(x )n1 x ,
f(x)1(1x)n 11, n
f(0)1, f(0)1. n
f( x ) f( 0 ) f( 0 ) x 1 x . n
3 x 0 2 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
(1)
(2)
当x很小,时(2)是x的高阶无 o(穷 x), 小
y3x0 2x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
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二、微分的定义
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例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
( 1 ) d () c t o ; d ( 2 s ) d t (x s 2 ) ( i ) d ( n x ).
解 ( 1 ) d (s t) i n c o t, d st
cotsdt1d(s in t)d(1sint);
解 d e y a c xb o ( b x ) s s x d b i e n a x d ( x a )x e a c xb o b x s s d b ix e n x a ( x a ) dx
e a(x b cb o x s a sb in )d x .x
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3、误差估计
由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做间接测量误差.
定义：如果某个量的精 A,它 度的 值近 为似值
为a,那末Aa叫做 a的绝对误 . 差 而绝对 a的 误比 差 Aa 值 叫 与a做 的相对 . 误
2x 0 x( x)2.
(1)
(2)
x0
x0x
x (x )2
x
Ax02
x0x x 0
(1) : x的线,性 且 函 为 A 的数 主;要部分
(2) : x的高阶,当 无 x很 穷小 小时. 可忽略
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再例如, 设函数 yx3在点x0处x的改变量 为x时, 求函数的改y变 . 量
y (x 0 x )3 x 0 3
微d分 叫 y 做函 y的 数线 增 .性 量 (微分主 的实质部 )
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由定义知: (1)d是 y 自变量的 x的 改线 变性 量 ; 函数
(2)yd yo(x)是 比 x高阶;无穷小
(3)当 A0时 ,d与 yy是等价;无穷小
y 1 o(x) 1 (x 0).
dy
A x
(4 )A 是 x 无 与关 ,但 f 的 (x ) 与 和 x 0 有 常 ; 关 数
( e 1 3 x ) 3 e 1 3 x ,(c x ) o sx s i .n
d c y x o ( 3 e 1 s 3 x ) d e 1 x 3 x ( sx ) i d n x
e 1 3 x(3 co x s six )n d.x
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六、微分形式的不变性
(5)当 x很小 , yd时 y(线性 ). 主部
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三、可微的条件
定理 函数 f(x)在点 x0可微的充要条件 数f(x)在点 x0处可, 导 且Af(x0).
证：(1) 必要性 f(x)在x点 0可,微
y A x o ( x ) ,yAo(x),
x
x
则 lx i0m x yA lx i0m o( x x)A.
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d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 dx xlna
d(arcsixn) 1 dx 1 x2
d(lnx) 1dx x
d(arccoxs) 1 dx 1 x2
d(arctaxn)
1 1 x2
dx
d(arccotx) 11x2 dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
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例2 计算下列各数的近似值. (1 )39.5 9 ; 8 (2 )e 0 .0.3
解 (1 )39.9 5 8 3101 0 .50
3 100(01 1.5 ) 13010.0015 1000
10(110.001) 59.99. 5 3
(2)e0.0310.03 0.9.7
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近似计算的基本公式 当x很小,时 yxx0 dyxx0f(x0) x.
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 ), 当x0时, f ( x ) f ( 0 ) f( 0 ) x .
d(1si n tC)co tsd. t
d(sinx2) 2xcoxs2dx
(2)
d( x)
1 dx 4x
xcox2s,
2x
d (s x 2 ) i( 4 n x x cx o 2 ) d (s x ).
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七、微分在近似计算中的应 用
计算函数增量的近似值
计算函数的近似值 误差估计----留作自学
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五、微分的求法
d yf(x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C)0
d(x)x1dx
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx
d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx
d(sexc)sexctanxdxd(csxc)csxccoxt dx
即 f ( x ) 在 函 x 0 可 ,且 点 A 数 f 导 ( x 0 ).
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(2) 充分性 函f(数 x)在x0 点 可,导
lxi m 0 xyf(x0),
即 x yf(x0),
从 y f ( x 而 0 ) x ( x ) , 0( x 0 ),
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例3 正方形边 2.41长 0.0为 0米 5,求出它的 , 面 并估计绝对误差 . 与相对
解 设正方形边 x,面 长积 为y为 ,则 y x2. 当 x2.4时 1, y(2.4)2 15.80(m 8 2)1 .
yx2.41 2xx2.41 4.8.2
边长的绝对 x 误 0.0差 0,5为
A d A 2 r r 2 1 0 0 .05 (厘米 2).
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2、计算函数的近似值
1.求 f(x)在x点 x0附近的;近似值
y f ( x 0 x ) f ( x 0 )f(x0) x. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x .(x很小时 )
定义 设函数y f (x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f (x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f (x)在点x0可微, 并且称A x为函数 y f (x)在点x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy xx0 或df ( x0 ), 即dy xx0 A x.
设y 函 f(x )有 数 f导 (x ), 数
(1)若 x是自,变 d yf量 (x)d时 ;x
(2)若 x是中间,变 即量 另时 一 t的 变 可 量
微函 x数 (t),则d yf(x ) (t)dt
(t)d td,x d yf(x)d.x
结论：无论 x是自变量还是中 , 函间数变量
y f(x)的微分形式d总 yf是 (x)dx
该函数.的 导导 数数 "也 微叫 " 商 .
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四、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
M
yf(x)
N
P
o(x)
dy y
x
）
o
x0 x0x
x
当x很小,时 在点 M的附,近
切线M 段可 P 近似代替M 曲N.线段
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1、计算函数增量的近似值
若 yf(x)在x0处 点的 f(x0 导 )0,且 数 x很小 , 时
yxx0 dyxx0 f(x0) x.
例1 半径 10厘米的金属圆,半 片径 加伸 热长 后了 0.05厘米 ,问面积增大? 了多少
解 设Ar2, r 1厘 0, 米 r0 .0厘 5. 米
微分形式的不变性
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例4 设 y si2 x n 1 ) (求 ,d.y 解 y su i ,u n 2 x 1 .
dycousd uc2 o x 1 ) s d ( 2 ( x 1 )
co 2xs 1 ()2 d x 2co 2xs 1 ()d.x
例5 设 ye as x ibn ,求 xd.y
例1 计c算 o6so030的近.似值
解 设 f(x)cox,s f(x)six n ,(x为弧 ) 度
x03,
x , 360
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f()1, f()3. 32 3 2
co6so0 30cos()cossin 3 360 3 3 360
1 3 0.49.24 2 2 360
2.求 f(x)在点 x0附近的近 ; 似值 令 x 0 0 , xx . f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x , f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x .
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
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例2 设 yln x (ex2)求 , d.y
解
y
12xex2 xex2
,
12xex2 dy xex2 dx.
例3 设 ye1 3xco x ,求 sd.y
解 d c yx o d (e s 1 3 x ) e 1 3 x d (c x )os
★ 导数与微分的联系: 可导 可.微
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★ 导数与微分的区别:
1.函数 f(x)在点 x0处的导数是一 f(个 x0),定 而微d分 y f(x0)(xx0)是x的线性,函 它数 的 定义域 R,实 是际,它 上是无.穷小
x l x i 0 d m x l y x i 0fm ( x 0 )x ( x 0 )0. 2.从几何意义, f上 (x0来 )是看 曲y线 f(x)在 点(x0, f(x0))处切线的 ,而斜微 d率 yf(x0) (xx0)是曲y线 f(x)在点 (x0, f(x0))处的切 方程在 x0的 点纵坐标 . 增量
a
问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
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办法:将误差确定在某一个范围内.
如果某个量的精度A,值 测是 得它的近似a值, 是 又知道它的误差不A超 ,即过
Aa A, 那末A叫做测A量的绝对误差,而限aA叫做测量 A的相对误差. 限
通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差.
f(x 0 ) x o ( x ),
函 f ( x ) 在 数 x 0 可 , 点 且 f ( 微 x 0 ) A .
可 可 . 导 A 微 f ( x 0 ). 函y数 f(x)在任x的 意微 点 , 称 分 为函数 微,分 记d作 或 yd(fx),即 d yf(x)x.
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例1 求函 yx 3当 数 x2 , x0 .0时 2 的 .
解 d y(x3)x3x2x.
dyx2 3x2xx2 0.2.4
x0.02
x0.02
通常把自 x的变增量 x量 称为自变量 , 的
记作 dx, 即dxx.
d yf(x)d.x dy f(x).
dx 即函数d的 与 y 微 自分 变量 d之 x的商 微等 分于
面积的绝对 y 误 4.82 差 0.0为 050.024 (m 12).
面积的相对误差y为 0.0241 0.4%.
y 5.8081
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•小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.