第五节函数的微分与近似计算详解

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1.基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (loga
x)
1 x lna
dx
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x)
1
1 x2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
解 dy cos x d(e13x ) e13x d(cos x)
(e13x ) 3e13x , (cos x) sin x. dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx
e13x (3cos x sin x)dx.
3. 复合函数的微分 则复合函数
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y Ax o(x), y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y limx0 x即函源自的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
微分的几何意义:
微分 d y f ( x0 )x y
T
tan x
N
表示切线纵坐标的增量.
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x

o
x0 x0 x
x
二、微分公式与运算法则
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
(2) : x的高阶无穷小,当 x 很小时可忽略.
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y
3
x
2 0
x.
既容易计算又是较好的近似值
eax cos bx bdx sin bx eax (a)dx eax (b cos bx a sin bx)dx.
例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
(1) d( ) cos tdt; (2) d(sin x2 ) ( )d( x).
解 (1)d(sin t) cos tdt,
例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
通常把自变量x的增量x称为自变量的微分,
记作dx, 即dx x.
dy f ( x)dx
dy f ( x). dx
第五节 函数的微分与近似计算 一、微分的定义
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x (x)2
正方形面积 A x02,
x0x
x
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
A x02
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否
所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 y f ( x)在点 可微, 而 A x 称为
的微分, 记作
即 dy A x.
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
其中 lim 0 , x0
从而y f ( x0 )x x f ( x0 )x o(x),
函数 f ( x)在点x0可微, 且dy f ( x0 )x.
函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x), 即 dy f ( x)x.
cos tdt 1 d(sin t) d ( 1 sin t );
d
(
1
sin
t
C
)
cos
tdt
.
(2) d(sin x 2 ) 2x cos x 2dx
d( x)
1 dx
4x
x cos x 2 ,
2x
d(sin x2 ) (4x x cos x2 )d( x).

★ 微分学所要解决的两类问题:
当 x 很小时, 有近似公式
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
(x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
可微的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
分别可微 , 的微分为
f (u) ( x)dx
du d y f (u) du
微分形式的不变性
例4 设 y sin( 2x 1), 求dy. 解 y sin u, u 2x 1. dy cos udu cos(2x 1)d(2x 1)
cos(2x 1) 2dx 2cos(2x 1)dx. 例5 设 y eax sin bx, 求dy. 解 dy eax cos bxd(bx) sin bx eaxd(ax)
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy.

y
1 2 xe x2 x ex2
,
dy
1 2 xe x2 x ex2
dx.
例3 设 y e13x cos x, 求dy.
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