《高等代数》欧氏空间
第八讲 欧氏空间
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
高等代数 欧式空间3
构成一个欧氏空间； 构成一个欧氏空间； (2)求 的维数； (2)求 V 的维数； (3)求使 (3)求使 的维数； tr ( A) = 0 的子空间 W 的维数；
n×n
(4)求 (4)求 W ⊥ 的维数。 的维数。 解 (1) 显然 V 是实数域上线性空间 集。若 A, B ∈ V , k ∈ ，则 的非空子
作业： 消化401-408页的内容 页的内容； 作业：1 消化401-408页的内容； 2 预习409-414页的内容。 预习409-414页的内容 页的内容。
γ 1, γ 2 , γ 3 , γ 4
1 1 T γ3 = ( 0, −1,1, 0 ) , γ 4 = 0, −1, −1, 2 . 2 2 4
(
)
α 2 = t 21β 1 + β 2 ,
1
1
................................... α n = t n1β 1 + t n 2 β 2 + L + t n ,n −1β n −1 + β n ⋅
T T T T
记
[ A, A] = ∑ i =1 ∑ j =1 a ij a ji = ∑ i =1 ∑ j =1 a ij2 ≥ 0 ， 当且仅当 a = 0, i, j = 1,2,L, n ，即 A=O 时 [ A, B] = 0 . ij
n n n n
A = ( a ij )
，其中
nn
a ji = a ij , i, j = 1, 2,L , n ，则
α i , β j , i = 2,L , n, j = 1, 2,L , i − 1. 其中 t ij = β j , β j
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
高等代数教案第 章欧氏空间
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
向量的夹角不变，故它保持几何形状不变. 容易证明，同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性和传递性，因而它是欧氏空间的等.
价关系. 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 所以，任意一个 n 维欧氏空 间都与 Rn 同构.
α
cosθ
为向量α
在向量 β
上的投影，称向量 (α , β )
β2
β
是向量α
在向量 β
上的投影向量.
注意，α
在向量 β 上的投影可表示为
α
cosθ
=
(α, β
β
)
=
α
,
β β
，
向量α 在向量 β 上的投影向量亦可以表示为
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
(α, β
（1）σ (α + β ) = σ (α ) + σ (β ) ， （2）σ (kα ) = kσ (α ) ，
（3）(σ (α ),σ (β )) = (α, β ) ，
这里α, β ∈V , k ∈ R ，则称欧氏空间V 与V ′ 同构，称σ 是V 到V ′ 的一个同构映射. 注 两个欧氏空间V 到V ′ 的“同构映射”是指：首先，把V 和V ′ 看成线性空间时它是同构映射
Ⅲ.重点与难点 重点: 内积、欧氏空间的概念，向量的正交性，正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化； 难点: 正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化.
Ⅳ.教学内容
§8.1 欧氏空间的概念
高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.4
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 1 , 2 , , n ,
数学与计算科学学院
所以，A是正交矩阵．
" " 设 1 , 2 , , n 为V的标准正交基，且
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A
即， 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A 由于当A是正交矩阵时， 1 , 2 , , n 也是V的 标准正交基， 再由 1 即得 为正交变换．
定义线性变换 为：
1 1
i i ,
i 2, 3, n .
则 为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
一、一般欧氏空间中的正交变换
1.定义
欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变， 即 ， ( ), ( ) ( , ), , V 则称 为正交变换.
注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度
不变的正交变换的推广.
1 , 2 , , n A
当 是正交变换时，由1知， 1 , 2 , , n 也是V
的标准正交基， 而由标准正交基 1 , 2 , , n 到标准
正交基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵是正交矩阵.
§9.4 正交变换
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
高等代数欧氏空间的定义与基本性质
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足 右齐次性 (α, kβ) = k(α, β)；
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. .. . . ..
欧氏空间的度量
由欧氏空间定义中内积的正定性，有 √
(α,
α)
≥
0.
所以对于任意
的向量 α， (α, α) 是有意义的. 在几何空间中，向量的长度为
√ (α, α).
类似地，我们在一般的欧氏空间中引进：
定义 √
非负实数 (α, α) 称为向量 α 的长度，（或称范数，或称模）记 为 |α|.
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样 定义的长度符合熟知的性质：
|kα| = |k||α|,
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
欧氏空间的度量
这里，k ∈ αR, α ∈ V. 事实上，
√
高等代数欧氏空间的同构
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
(σ(α), σ(β)) = X′Y = (α, β)
定理 两个有限维欧氏空间同构当且仅当它们有相同的维数.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
同构的性质
σ(α + β) = (X + Y)′ = X′ + Y′ = σ(α) + σ(β); σ(kα) = (kX)′ = kX′ = kσ(α);
(σ(α), σ(β)) = X′Y = (α, β)
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
同构的性质
σ(α + β) = (X + Y)′ = X′ + Y′ = σ(α) + σ(β); σ(kα) = (kX)′ = kX′ = kσ(α);
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
同构的概念
定义 欧氏空间 V 与 V′ 称为同构的，若有双射 σ : V −→ V′ 满足：
1 σ(α + β) = σ(α) + σ(β)； 2 σ(kα) = kσ(α)； 3 (σ(α), σ(β)) = (α, β).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
同构的概念
定义 欧氏空间 V 与 V′ 称为同构的，若有双射 σ : V −→ V′ 满足：
高等代数_李海龙_习题第8章欧氏空间
第八章 欧氏空间8.1 向量的内积1． 证明，在一个欧氏空间里，对于任意向量,ξη，以下不等式成立： （1） | ξ +η |2+|ξ -η |2=2| ξ |2+2| η |2；（2）2211,44ξηξηξη=+--．在解析几何里，等式（１）的几何意义是什么？证：（１） | ξ +η |2+| ξ -η |2=<ξ +η,ξ +η>+<ξ -η,ξ -η> =< ξ,ξ > + 2<ξ,η> + <η,η> + < ξ,ξ >-2<ξ,η>+ <η,η> =2| ξ |2+2| η |2；几何意义：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．（２）221144ξηξη+--11,,4411(,2,,)(,2,,)44,ξηξηξηξηξξξηηηξξξηηηξη=++---=++--+=1． 在欧氏空间R n里，求向量(1,1,,1)α= 与每一向量()(0,,0,1,0,,0)i i ε= ，1,2,,i n = 的夹角．解：,cos i iαεθαε==2． 在欧氏空间4R 里找出两个单位向量，使它们同时与向量(2,1,4,0),(1,1,2,αβγ=-=--=中每一个正交．解：只需求下面线性方程组的两个单位解向量1231234123424022032540x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩，其解向量为：±．3． 利用内积的性质证明，一个三角形如果有一边是它的直径，那么这个三角形一定是直角三角形．证：设圆的内接三角形为ABC ，AB 为直径，O 为圆心．则向量OA ＝－OB ，AC=OC －OA ，CB=OB －OC ，且OA ，OB 和OC 的长度相等,,,0AC C B O C O A O B O C O C O A O A O CO A O A O C O C =--=---=---=所以AC 与CB 正交，三角形为直角三角形． 4． 设,ξη是一个欧氏空间里彼此正交的向量，证明：|ξ +η|2=|ξ|2+|η|2 （勾股定理）证：| ξ +η |2=<ξ +η,ξ +η>=< ξ,ξ > + 2<ξ,η> + <η,η> （ξ与η正交）=|ξ|2+|η|2；5． 设α1, α2, ⋯ , αn , β都是一个欧氏空间的向量，且β是α1, α2, ⋯, αn 的线性组合．证明，如果β与每一个αi 正交，1,2,,i n = ，那么0β=．证：令1122n n a a a βααα=+++ 则,ββ＝1122,n n a a a βααα+++ ＝1,niii aβα=∑＝０．所以0β=．6． 设12,,,n ααα 是欧氏空间的n 个向量．行列式11121212221212,,,,,,(,,,),,,n nn n n n nG ααααααααααααααααααα=叫做12,,,n ααα 的格兰姆（Gram ）行列式．证明，12(,,,)0n G ααα= 必要且只要12,,,nααα 线性相关．证：必要性 由12(,,,)0n G ααα= 知齐次线性方程组11112122122212,,,0,,,0,,,0n nn n n n nx x xαααααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭必有非零解，设()12,,,n a a a 为其一组非零解，则有1,0,1,2,,ni j jj a i nαα===∑令1njjj a βα==∑，则β与12,,,n ααα 中每一个都正交，知β与12,,,n ααα 每一个线性组合都正交，所以与β也正交，即,0ββ=，得0β=．又12,,,n a a a 不全为零，所以12,,,n ααα 线性相关．充分性 由12,,,n ααα 线性相关知存在不全为零的数12,,,n a a a ，使1niii a α==∑．因而1,0nj i i i a αα==∑，即1,0nij i i aαα==∑, 1,2,,j n = .从而可知()12,,,n a a a 是上面方程组的一个解向量且不全为零．所以12(,,,)0n G ααα=7． 设,αβ是欧氏空间的两个线性无关的向量，满足以下条件：2,,αβαα和2,,αβββ都是≤的整数．证明，α与β的夹角只可能是23,,234πππ或56π．证明概要：由与线性无关，证明24,04,,αβααββ≤<，从而,αβαβ只可能取０，1,222---．得证．8． 证明，对于任意实数12,,,n a a a ，1ni i a =≤∑证明概要：取12(,,,)n a a a α= ，(1,1,,1)β= ．利用柯西－施瓦兹不等式即可证明．8.2 正交基1． 已知α1=(0,2,1,0); α2=(1,-1,0,0); α3=(1,2,0,-1); α4=(1,0,0,1)是4R 的一个基．对这个基施行正交化方法，求出4R 的一个规范正交基． 解：结果为10)γ=；20)γ=；3γ=；4γ=-．2． 在欧氏空间[1,1]C -里，对于线性无关的向量组23{1,,,}x x x 施行正交化方法，求出一个规范正交组．解：结果为1γ=22γ=；2344x γ=-；3444γ=-．3． 令{}12,,,n ααα 是欧氏空间的一组线性无关的向量，{}12,,,n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组．证明，这两个向量组的格莱姆行列式相等，即12121122(,,,)(,,,),,,n n n n G G αααβββββββββ==证：由施密特正交化方法可知，存在可逆矩阵1**01*01P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭使1212(,,,)(,,,)n n P αααβββ= ，显然1P =．又设基{}12,,,n ααα 的度量矩阵为：()()11,,,ijn nnA αααααα⎛⎫ ⎪==<> ⎪ ⎪⎝⎭基{}12,,,n βββ 的度量矩阵为：()()11,,,i jn nnB ββββββ⎛⎫ ⎪==<> ⎪ ⎪⎝⎭，则 ()()1111,,',,n n n n A P P αβααββαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=<>=<> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11',,'n nP P P BP ββββ⎛⎫⎪=<>= ⎪ ⎪⎝⎭又,0,()i j i jββ=≠12121122(,,,)'(,,,),,,n n n nG A P BP P B P BG αααβββββββββ======4． 令12,,,n γγγ 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基，又令1{,01,1,2,,}niii i K V x x i n ξξγ==∈=≤≤=∑K叫做一个n -方体．如果每一i x 都等于0或1，ξ就叫做K 的一个顶点．K 的顶点间一切可能的距离是多少？1,2,,i n =5． 设12{,,,}m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组．证明，对于任意V ξ∈，以下不等式成立：221,nii ξαξ=≤∑．证明概要：令12(,,,)m W L ααα= ，则V W W ⊥=⊕．此不等式左边是ξ在W 上的正射影的长度，右边是ξ的长度，因此不等式成立．6． 设V 是一个n 维欧氏空间．证明：(i) 如果W 是V 的子空间，那么()W W ⊥⊥=．(ii) 如果12,W W 都是V 的子空间，且12W W ⊆，那么21W W ⊥⊥⊆(iii) 如果12,W W 都是V 的子空间，那么1212()W W W W ⊥⊥⊥+= ．证明：(i) 对于任意W ξ∈，有,0Wξ⊥=，所以()W ξ⊥⊥∈，即()W W ⊥⊥⊆，同样可以证明()W W ⊥⊥⊆，即得()W W ⊥⊥=．(ii)因为12,W V W V ⊆⊆，且12W W ⊆．所以取112(,,,)r W L ααα= ，1121(,,,,,)r r s W L ααααα+= ．这里121{,,,,,}r r s ααααα+ 是的一个规范正交组．对每一个2W ξ⊥∈，有2,0W ξ=，于是,0i ξα=，1,2,,i s = ，故有1,0W =．即1W ξ⊥∈，从而21W W ⊥⊥⊆(iii) 设12W W ξ⊥⊥∈ ，则12,,0W W ξ==，于是，1212,,,0W W W W ξξξ+=+=，即12()W W ξ⊥∈+，所以，1212()W W W W ⊥⊥⊥⊆+ ．反之，因为112W W W ⊆+，212W W W ⊆+．由(ii)知 121122(),()W W W W W W ⊥⊥⊥⊥+⊆+⊆所以 1212()W W W W ⊥⊥⊥+⊆ 所以 1212()W W W W ⊥⊥⊥+= ．7． 证明,3R 中向量000(,,)x y z 到平面3{(,,)0}W x y z Rax by cz =∈++=的最短距离等于证明概要：000(,,)x y z α=到W 的最短距离等于它到W ⊥的正射影，容易看出W ⊥的规范正交基是γ=，所以，此最短距离等于,αγ=8． 证明，实系数线性方程组1,1,2,,njij i j ax b i n===∑有解的充要条件是向量12(,,,)nn b b b R β=∈ 与齐次线性方程组10,1,2,,njij j ax i n===∑的解空间正交． 证明：设()ij A a =，令i α是A 的第i 行，1,2,,i n = ．12(,,,)n W L ααα= 是nR 的一个子空间．设0AX =的解空间的基是12,,,r ηηη ，则,0i j αη=，1,2,,i n = ，1,2,,j r= ．因而1212(,,,)(,,,)r n L L Wηηηααα⊥⊥==于是n R W W ⊥=⊕．故AX β=有解的充要条件是W β∈，而W β∈的充要条件是,0Wβ⊥=．9． 令α是ｎ维欧氏空间的一个非零向量．令{,0}P Vαξξα=∈=P α称为垂直于α的超平面，它是Ｖ的一个ｎ－１维子空间．V 中两个向量ξ，η说是位于P α的同侧，如果,ξα与,ηα同时为正或同时为负．证明，Ｖ中一组位于超平面P α同侧，且两两夹角都大于2π的非零向量一定线性无关．证明：设12{,,,}r βββ 是满足题设的一组向量，则,0i j ββ≤，()i j ≠，且可以设,0i βα>，(1)i r ≤≤，下证12{,,,}r βββ 线性无关．如果1riii c β==∑，则可设11nriij ji j s c c ββ==+=-∑∑，其中12,,0s c c c ≥ ，1,,0s r c s +≤ ．令1siii c γβ==∑．考虑1111,,,srsriij ji j i ji j s i j s c c c c γγββββ==+==+=-=-∑∑∑∑可以推出,0γγ≤，又,0γγ≥．故,0γγ=，即0γ=．所以11,,,0srii j j i j s cc γαβαβα==+==-=∑∑由,0i βα>知若i c ，()1i s ≤≤，j c ，(1)s j r +≤≤不全为零，则必有1,0si i i c βα=>∑，1,0rj j j s c βα=+->∑，因而i c ，1i s ≤≤，j c，1s j r +≤≤全为零，因而12{,,,}r βββ 线性无关．10．设U 是一个正交矩阵．证明： （i ）Ｕ的行列式等于１或－１； （ii ）U 的特征根的模等于１；（iii ）如果λ是U 的一个特征根，那么1λ也是U 的一个特征根； （iv ）U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵． 证明：（i ）给等式'U U I =两边取行列式得证．（ii ）因为,UX X UX X λ==，所以X X λ=，所以，1λ=．（iii ）因为U X X λ=，11U X X λ--=，1'U X X λ-=，又U 和U’有相同的特征根，得证．（iv ）因为*1*'U U UUU-===±，所以**''U U U U I ==，故 V β∈是正交矩阵．11．设cos2θ≠，且100cos sin 0sin cos U θθθθ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，证明，I U +可逆，并且100()()tan012010I U I U θ-⎛⎫ ⎪-+= ⎪ ⎪-⎝⎭．证明：U 是正交矩阵，2001cos sin 0sin 1cos I U θθθθ⎛⎫⎪+=+- ⎪ ⎪+⎝⎭2210020cos sin cos2220sincoscos 222θθθθθθ⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎝⎭所以计算得22cos2I U θ+=≠，则I U +可逆．又求得()12cos 00210cossin 222cos 20sincos22IUθθθθθθ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭所以1()()I U I U --+cos 00000212sin 0sin cos 0cos sin 222222cos20cossin0sincos2222θθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭000tan0012010θ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭12．证明：如果一个上三角形矩阵11121312223233300000n nn nn a a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交矩阵，那么A 一定是对角形矩阵，且主对角线上元素a ii 是１或－１．证明：由A 是正交矩阵，得'AA I =．于是2111a =，1110i a a =，1,2,,i n = ，因此111a =±，10i a =，1,2,,i n= ．同样可证1ii a =±，0ij a =，,1,2,,i j n = ()i j ≠．8.3 正交变换1． 证明：n 欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换；一个正交变换的逆变换还是正交变换．证明概要：首先正交变换的乘积还是线性变换，其次保持向量的长度不变的变换的乘积还保持长度不变；逆变换可用类似的方法证明．2． 设σ是n 为欧氏空间V 的一个正交变换．证明：如果V 的一个子空间W 在σ之下不变，那么W 的正交补W ⊥也在σ之下不变．证明：取W 和W ⊥规范正交基{}12,,,s ααα 和{}1,,s n αα+ ，则{}11,,,,s s n αααα+ 是V的一个规范正交基．且{}11(),,(),(),,()s s n σασασασα+也是V 的规范正交基．由W 在σ之下不变知，{}1(),,()s σασα 是W 的规范正交基．再由(),()0i j σασα=，1,,i s n=+ ，1,,j s = 知，对一切的W ξ∈，设1()siii a ξσα==∑，有(),(),()0,1,,j ij i aj s nσαξσασα===+∑所以()j Wσα⊥∈．从而证明了，对一切的W α⊥∈，有()W σα⊥∈．3． 设V 是一个欧氏空间，V α∈是一个非零向量．对于V ξ∈规定2,(),ξατξξααα=-证明：τ是V 的一个正交变换，且2τι=，ι是单位变换．线性变换τ叫做由向量α所决定的一个镜面反射．当V 是一个n 为欧氏空间时，证明，存在V 的一个规范正交基，使τ关于这个基的矩阵有形状100001000010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义． 证明：设,V ξη∈，则()()2,2,,,,,,ξηηατξτηξαηαξηαααα=--=所以τ是正交变换，且对于V β∈有()()()22,,βατβττβτβααα⎛⎫==-⎪⎪⎝⎭2,2,,2,,,βαβααααβαβααβαααα-=--=故2τι=，ι是V 的单位变换．设V 是n 为欧氏空间，则V 一定存在规范正交基．又α是V 的非零向量，则可以得到V的一个规范正交基：2,,,n αααα⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 由定义，()2,,,1,2,,,i i i nαααααατατααααααα⎛⎫=-=-==⎪⎪⎝⎭于是τ关于这个基的矩阵是100001000010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在三维几何空间中，τ是关于XOY 平面的镜面反射．4． 设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射，对,ξη有()(),,σξσηη=．证明：σ是V的一个线性变换，因而是一个正交变换． 证明概要：先证()()()()()(),0σαβσασβσαβσασβ+--+--=得()()()σαβσασβ+=+． 再证()()()()()(),0k k k k σασασασα--=,得()()k k σασα= 即可证明．5． 设U 是一个三阶正交矩阵，且det 1U =，证明： （i ）U 有一个特征根等于1；（ii ）U 的特征多项式具有形状()321f x x tx tx =-+-，这里13t -≤≤．证明：（i ）由U 的特征根的模都是1，且三个特征根的乘积等于1，得U 必有一个特征根是1．（ii ）设三个特征根为,,1αα，由根与系数的关系，()1tαα-++=-为x 2的系数．111a a a a a t ααααα+⋅+⋅=++=++=为x 的系数．常数项为11a α-⋅=-，而22αα≥+≥-，即311αα≥++≥-，31t ≥≥-．6． 设{}12,,,n ααα 和{}12,,,n βββ 是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基． （i ）证明：存在V 的一个正交变换σ，使()i i σαβ=，1,2,,i n = ；（ii ）如果V 的一个正交变换τ使得()11ταβ=，那么2(),,()n τατα 所生成的子空间与由2,,n ββ 所生成的子空间重合．证明：（i ）显然成立；（ii ）设2((),())n L ξτατα∈ ，则22()()nniii i i i a a ξτατα====∑∑有由V ξ∈知，ξ可以由12{,,,}n βββ 线性表出．令1,,,1,2,,niii i i b b i nξβξβ====∑ 且，又τ是正交变换，而11()ταβ=，所以111122,(),(),0n ni i iii i b a a ξβτατααα======∑∑所以 22(,,)niini b L ξβββ==∈∑ ．因而22((),.())(,,)n n L L ταταββ⊆另一方面，若2(,,)n L ηββ∈ ，则2niii c ηβ==∑．因为τ是正交变换，所以1{(),,()}n τατα 是V 的一个规范正交基，不妨令11()(),,(),1,2,,n n i i d d d i n ηταταητα=++==由于11()ταβ=，所以1112,(),0niii d c ηταββ====∑，得 222()()((),,())n n nd d L ητατατατα=++∈ ．因而 22(,,)((),.())n n L L ββτατα⊆ ．得证．7． 令V 是一个n 维欧氏空间．证明：（i ） 对V 中任意两个不同的单位向量,αβ，存在一个镜面反射τ，使得()ταβ=． （ii ）V 中每一个正交变换σ都可以表示成若干个镜面反射的乘积．证明：（i ）因为,αβ是两个不同的单位向量，所以,,1,0ααββαβ==-≠，从而||αβηαβ-=-是一个单位向量．令()2,τξξξηη=-，则τ是一个镜面反射，且()2,2,||||αβαβταααηαααβαβ--=-=---22,()||αααβαβαβ=----2[,,),2,,ααααβαβαααβββ=----+1[1,]()1,αβαβαβ=----β=（ii ）设τ是V 的任意一个正交变换，取V 的规范正交基12{,,,}n ααα ，则1122(),(),,()n n βταβταβτα=== 也是V 的一个规范正交基．如果11,,n n βαβα== ，则τ是单位变换，作镜面反射： 111()2,τξξξαα=-则有1111(),(),2,,j j j nτααταα=-== ，这时显然有11τττ=．如果12,,,n ααα 与12,,,n βββ 不全相同，设11αβ≠，则由于11,αβ是两个不同的单位向量，由（i ）知，存在镜面反射1τ，使11()ταβ=．令1(),2,,jj j nταγ== ．如果,2,,j j j nγβ== ，则1ττ=，结论成立．否则可设22γβ≠,再作镜面反射2τ：2()2,τξξξββ=-，2222||γββγβ-=-，于是222()τγβ=，且可验算有211()τββ=．如此下去，设123121212312,,,,,,,,,,,,,rn n nnτττταααβγγββγγβββ−−→−−→−−→−−→则有121r r τττττ-= ．其中i τ都是镜面反射，即τ可以表示为镜面反射的乘积．8． 证明：每一个n 阶非奇异实矩阵A 都可以唯一的表示成A U T = 的形式，这里U 是一个正交矩阵，T 是一个上三角形实矩阵，且主对角线上的元素都是正数．证明：存在性 由于A 为n 阶非奇异实矩阵，因此12(,,,)n A ααα= 的列向量12,,,n ααα 线性无关，从而为nR 的一个基．施行正交化单位化，令1111t βα=2121222t t βαα=+………………………1122n n n nn n t t t βααα=+++其中0,1,2,,ii t i n >= ．即有11212(,,,)(,,,)n n a a a T βββ-= ．其中12,,,n βββ 是nR 的规范正交基，而11121222100n nnn t t t t t Tt -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭从而T 也是对角线上全为正实数的上三角矩阵．由12,,,n βββ 是规范正交基，所以以它为列所得的n 阶矩阵12(,,,)n U βββ= 是一正交矩阵，于是可知A U T =．唯一性 设另有11A U T =，其中U 1为正交矩阵，T １为对角线上全为正实数的上三角矩阵，则111111UT U T TT U U --==或，所以上式既是上三角矩阵（对角线上元素全为正），又是正交矩阵．可以证明11TT I -=，即11,T T U U ==．8.4 对称变换和对称矩阵1． 设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换．证明，如果σ满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（i ）σ是正交变换；（ii ）σ是对称变换；（ii ）2σι=是单位变换．证明：σ是正交变换的充要条件是A 是正交矩阵；σ是对称变换的充要条件是A 是对称矩阵；2σι=的充要条件是2A I =．(i),(ii)⇒(iii)：因为A 是正交矩阵又是对称矩阵，所以2'A A A I ==，因而2σι=；(i),(iii)⇒(ii)：因为A 是正交矩阵，且2A I =，则可逆，所以1121''A A AAIAA AA---====，因而σ是对称变换；(ii),(iii)⇒(i)：因为A 是对称矩阵，且2A I =，所以2'A A A I ==，因而σ是正交变换．2． 设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换，且2σσ=．证明，存在V 的一个规范正交基，使得σ关于这个基的矩阵有形状10100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．证明：设A 为σ关于V 的一个规范正交基12{,,,}n ααα 的矩阵，则A 是n 阶实对称矩阵，且2A A =．设ξ是属于特征根λ的特征向量，则22,()A A A ξλξξλξλξ===．因为2A A =，所以2()0λλξ-=，又因为0ξ≠，所以20λλ-=，即01λ=或．因此存在正交矩阵U ，使1101'000U AU U AU -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．3． 证明：两个对称变换的和还是一个对称变换．两个对称变换的乘积还是不是对称变换？找出两个对称变换的乘积还是对称变换的一个充要条件．证明：设,στ是两个对称变换，它们关于同一个规范正交基的矩阵分别为A 和B ，则A ，B 是对称矩阵．因为()'A B +''A B A B =+=+，所以A B +是对称矩阵，因此στ+是对称变换．因为()'''AB B A BA ==，所以()'AB AB BA AB =⇔=．所以两个对称变换的乘积不一定是对称变换．两个对称变换的乘积是对称变换的充要条件是这两个对称变换相乘是可以交换的．4． n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是反对称的，如果对于任意向量,V αβ∈，(),,()σαβασβ=-．证明：(i) 反对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是反对称的（满足条件'A A =-的矩阵叫反对称矩阵）； (ii) 反之，如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是反对称的，那么σ一定是反对称线性变换；(iii) 反对称矩阵的特征根或者是零，或者是纯虚数．证明：(i) 设σ是反对称的，12{,,,}n εεε 是一个规范正交基．令 11(),1,2,,i i in n k k i n σεεε=++= (1)则(),,(),i j ij j i jik k σεεσεε==．由反对称性知，ij jik k =-．从而ij jii j k k i j=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩ ,1,2,,i j n = ．那么12((),(),,())n σεσεσε121122121200(,,,)0n nn nnk k k k k k εεε⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪--⎝⎭(2)(ii) 设σ在规范正交基12{,,,}n εεε 下的矩阵(2)给出，即(),(),i j i jσεεσεε=-对于,V αβ∈，可以证明(),,()σαβασβ=-．因而σ是反对称的．(iii) 设λ是反对称矩阵A 的一个非零特征根．ξ是属于λ的特征向量，即A ξλξ=．那么''(')''()'()'A A A A A ξξξξξξξξξξ=-=-=-=-所以''λξξλξξ=-，故λλ=-．令a bi λ=+，a a =-即0a =，所以bi λ=．5． 令A 是一个反对称实矩阵．证明，I+A 可逆，并且1()()U I A I A -=-+是一个正交矩阵．证明：由上一题知，A 的特征根只能是零或纯虚数，1±不是A 的特征根，因此0I A ±≠，所以I A +，I A -都可逆．11111111'[()()][()()]'()()()()()[()()]()()[()()]()()()()()U U I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I--------=-+-+=-+-+=--++=-+-+=--++=又因为U 是实矩阵，所以是正交矩阵．6． 对于下列实对称矩阵A ，各求出一个正交矩阵U ，使得'U AU 是对角形式：(i) 112822108105A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭； (ii) 178481744411A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭．解：(i) 特征多项式为 (9)(9)(18)I A λλλλ-=+--；解三个齐次线性方程组，得属于特征根－9，9，18的特征向量分别为123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)ξξξ=-==-；单位化得（此题不需要正交化）123111(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)333ηηη=-==-；则所求矩阵为12212213212U ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭；(ii) 所求矩阵为313104U ⎛⎫=--⎪-⎝⎭。
《高等代数》第八章 欧氏空间
a11()
A(
)
ai1
(
)
a1 j ()
aij ()
a11()
0
a1 j ()
aij () a1 j () ()
的多项式，且
di() | di+1() ( i = 1, 2, … , r-1 ) .
证明 经过行列调动之后，可以使得 A() 的
左上角元素 a11() 0，如果 a11() 不能除尽 A()
的全部元素， 由引理 设可以- 矩找阵到A与(A)(的)左等上价角的元素
B1() ，它的并左且上角A(元)素中b至1(少)有 0一，个并元且素次不数能比被它除
们的乘积是 1 可以推知，它们都是零次多项式， 也就是非零的数 .
证毕
二、举例
例 1 求下列 - 矩阵的秩
2 1
(1) 1
2
1 2 2 1 2 3 2
2 1
1 ;
2
1
(2) 2
1
1
引理 设 - 矩阵A() 的左上角元素 a11() 0
并且 A() 中至少有一个元素不能被它除尽，那么 一定可以找到一个与 A() 等价的矩阵 B() ，它的 左上角元素也不为零, 但是次数比 a11() 的次数低.
证明 根据 A() 中不能被 a11() 除尽的元素
所在的位置，分三种情况来讨论：
如此下去，A() 最后就化成了所要求的形式.
高等代数课件
18
例1 在欧氏空间V2
中， 是把V2 中任意向量
都沿逆时针方向旋转θ
角的变换，则是正交变换.
19
例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个
平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射，则
是正交变换.
20
定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变
高等代数课件
2008
1
第八章 欧氏空间
8.1 欧氏空间的定义及基本性 质
8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换
8.4 子空间与正交性
8.5 对称矩阵的标准形
2
8.1 欧氏空间的定义及性质
一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离
| |, x 1 2 x 2 2 x n 2
d ( ,) | | ( x 1 y 1 ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 ( x n y n ) 2
12
三. 正交化方法
定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么 可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表 示, k=1,2,…,m.
设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则
n
,i xjj,i xi
j1
因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i
基向量的内积. , x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
高等代数
i =1 j =1 i =1 j =1 n n n n
(α , β ) = a1b1 + a2b2 + L + anbn
（1） ）
易证 (α , β ) 满足定义中的性质 1o～ 4o . 所以 (α , β ) 为内积 为内积. 就成为一个欧氏空间. 这样 R n 对于内积 (α , β ) 就成为一个欧氏空间
(
当 n = 3 时，1）即为几何空间 R 3 中内积在直角 ）
满足性质： 满足性质：∀α , β , γ ∈ V , ∀k ∈ R
1o (α , β ) = ( β ,α ) 2o ( kα , β ) = k (α , β )
3o (α + β , γ ) = ( α , γ )性） 对称性） （数乘） 数乘） （可加性） 可加性）
t∈R
12
由内积的正定性， 由内积的正定性，对 ∀t ∈ R，皆有
(γ , γ ) = (α + t β ,α + t β )
= (α ,α ) + 2(α , β )t + ( β , β )t 2 ≥ 0
（6） ）
(α , β ) 代入（ ） 取 t=− 代入（6）式，得 (β , β )
(α , β ) (α , β ) (α ,α ) − 2(α , β ) + (β , β ) ≥0 2 (β , β ) (β , β )
7
2. 内积的简单性质
V为欧氏空间， ∀α , β , γ ∈ V , ∀k ∈ R 为欧氏空间， 为欧氏空间
1) (α , k β ) = k (α , β ),
高等代数(下)课外习题第九章欧氏空间]
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第九章 欧氏空间一、判断题1、12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij n n A a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。
( )2、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
( )3、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。
( )4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ）5、若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变 （ ）6、度量矩阵是正定的 （ ）7、正交矩阵的行列式等于1 （ ）8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（ ）9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。
10、在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0=α.( )11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )12、若矩阵A 为正交矩阵，则1-='A A .( )13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵.( )14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间，且21V V V +=，则21V V V ⊕=。
( )15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。
( )二、填空题1、在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________， α＝_________．2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．3、已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________． 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则向量12323βααα=+-的长度为 。
5、已知A 为n 阶正交阵，且|A|<0，则|A|= .6、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为 。
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】第9章 欧式空间 【圣才出品】
第9章欧式空间[视频讲解]9.1本章要点详解本章要点■欧式空间的定义■标准正交基■同构■正交变换■子空间■对称矩阵的标准型重难点导学一、定义与基本性质1．欧式空间的定义设V 是实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，记作（α，β），若（α，β）满足（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（k α，β）＝k （α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0．这里α，β，r 是V 中任意的向量，k 是任意实数，则称（α，β）为α和β的内积，并称线性空间V 为欧几里得空间．2．内积的简单性质V 为欧氏空间，∀α，β，γ，∀k ∈R ，则（1）(,)(,)k k =αβαβ；（2）(,)(,)(,)+=+αβγαβαγ；（3）(0,)=0β．2．欧氏空间中向量的长度（1）向量长度的定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零；②|kα|＝|k||α|；③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，称此过程为把α单位化．3．欧氏空间中向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角<α，β>定义为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，则称α，β为正交或互相垂直，记为α⊥β．注：零向量才与自己正交．（4）勾股定理：当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n）有a ij＝a ji，则（α，β）还可写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC，则不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，称为正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．注：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，存在一组标准正交基η1，η2，…，η，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．n把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称为施密特正交化过程．3．标准正交基间的基变换设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，则第二组基一定也是标准正交基．三、同构。
高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.2
1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, k
成为一组正交基. 现在来看 n m k 1 ( 1) 的情形. 因为 m n ,
所以必有向量 不能被 1 , 2 ,, m 线性表出，
作向量
m1 k11 k2 2 km m ( 0)
1
1
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
2 ( 3 , 1 ) x dx , 1 3
1 2
( 1 , 1 ) dx 2,
1
1
( 3 , 2 ) x dx 0,
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一、正交向量组
定义：
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 , 2 ,, m V , 如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注：
① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组.
§9.2 标准正交基
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证：设非零向量 1 , 2 ,, m V 两两正交.
tii 0, i 1,2,, n
§9.2 标准正交基
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② Schmidt正交化过程:
1 先把线性无关的向量组 1 ,, m
化成正交向量组 1 , 2 ,, m .
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 , ( 1 , 1 ) j 1 ( j , i ) j j i , j 2,3,, m; i 1 ( i , i )
( 4 , 1 ) x dx 0,
变成单位正交的向量组. 解：令
1 1 (1,1,0,0) ( 2 , 1 ) 1 1 2 2 1 ( , ,1,0) ( 1 , 1 ) 2 2 1 1 1 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( , , ,1) 3 3 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 )