材料力学-第2章应力状态

x' y'
y
´ y x' y'
y x
x'
x´

2
x
y
y y x
x' y'
x y y x
x'
7
平面应力状态任意方向面上的应力
微元的局部平衡
平面应力状态任意方向面上的应力
最后，得到以下四个方程：
第2章 应力状态分析
一点处应力状态描述及其分类 平面应力状态任意方向面上的应力 主应力、主方向与面内最大切应力 类比法的应用－平面应力状态应力圆 三向应力状态的特例分析 一般应力状态下各向同性材料 的应力－应变关系 一般应力状态下的应变能密度 承受内压薄壁容器的应力状态 结论与讨论
不同坐标系中应力状态的表达形式
平面应力状态任意方向面上的应力
2 2 xx xxcos 2 yysin 2 xy sin cos yx sin cos xy yx 2 2 2 yy xxsin yycos 2 xy sin cos sin cos yx xy yx
第2章 应力状态分析
第2章 应力状态分析
应力状态分析是用平衡的方法，分析过一 点不同方向面上的应力以及这些应力之间的相 互关系，并确定这些应力中的极大值和极小值 以及它们的作用面。 与前几章中所采用的平衡方法不同的是，平 衡对象既不是整体杆或某一段杆，也不是微段 杆或其一部分，而是三个方向尺度均为小量的 微元局部。
4
一点处应力状态描述及其分类
一点处应力状态描述及其分类
例题1 单向应力状态
l/2
FP S平面
一点处应力状态描述及其分类 y
1 例题2 4 2 3
z
22
1

x x 11
22
三向应力状态
平面应力状态
FP 2
Mz FP l 4
特例
特例
l/2
纯剪应力状态
一点处应力状态描述及其分类
平面应力状态任意 方向面上的应力
不同坐标系中应力状态的表达形式
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平面应力状态任意方向面上的应力
平面应力状态任意方向面上的应力
方向角与应力分量的正负号约定
方向角与应力分量的正负号约定
x
正应力
x
x
拉为正
x
压为负
平面应力状态任意方向面上的应力
方向角与应力分量的正负号约定
y'
yx
x'
xy xy
yx
切中有拉
第2章 应力状态分析
第2章 应力状态分析
FQ Q FN Nx x
2、应力的三个重要概念

应力的点的概念; 应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念. 应力状态的概念.
M zz
横截面上的正应力分布 横截面上的切应力分布
材料力学
第2章 应力状态分析
杆件横截面上正应力与剪应力分析结果 表明，一般情形下，杆件横截面上不同点 的应力是不相同的。本章还将证明，过同 一点的不同方向面上的应力，一般情形下 也是不相同的。因此，当提及应力时，必 须指明 “哪一个面上、哪一点 ”的应力或者 “哪一点、哪一个方向面 ”上的应力。此即 “应力的点和面的概念”。 所谓 应力状态 又称为 一点处的应力状 态，是指过一点不同方向面上应力的集合。
平面应力状态任意方向面上的应力
由应力的坐标转换公式可以看出： 正应力之和为常数；
2 2 xxyy xxsin cos yysin cos xy cos 2 yx sin 2 xy yx 2 2 2 yyxx xxsin cos yysin cos xy sin yx cos 2 xy yx
y
x
zz
zz xy yx xz zx zy yz z zx zy yz 切应力互等定理 ij ji xz yy yC xy y i , j x, y , z yx xx 故应力张量为二阶对称张量 二阶对称张量 x x C 因此9个分量中，只有6个独立分量！
x´-y´坐标 系
xp-yp坐标系
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8
主应力、主方向与面内最大切应力
主应力、主方向与面内最大切应力
主平面、主应力与主方向 平面应力状态的三个主应力 用主应力表示的应力状态 面内最大切应力
主平面、主应力与主方向
主应力、主方向与面内最大切应力
2 2 xxyy xxsin cos yysin cos xy cos 2 yx sin 2 xy yx
微元的局部平衡
y
y
n
x

x y
y x

x

x
y
x x

n

t
y y
平面应力状态任意方向面上的应力
微元的局部平衡
平面应力状态任意方向面上的应力
微元的局部平衡
平衡对象
——用 斜截面截取的微 元局部
y´
参加平衡的量
——应力乘以其作用的 面积
横截面上正应力分析和切应力分析的结 果表明：同一面上不同点的应力各不相同， 此即应力的点的概念。 此即应力的点的概念。
2
第2章 应力状态分析
第2章 应力状态分析
x'y'
x'
x' y'
xy
yx
x'
哪一个面上？ 哪一点？
应 力
指明
哪一点？ 哪个方向面？
x
微元平衡分析结果表明：过同一点的不同方向的面 上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
2 2 xx xxcos 2 yysin 2 xy sin cos yx sin cos xy yx 2 2 yy xxsin 2 yycos 2 xy sin cos yx sin cos xy yx
y

x' y'
x´
F
x
0
x
x'
平衡方程
F
x
0
F
y
0
xy dA yx
y
xdA x dAcos cos xy dA xy dAcos sin yx yx dAsin cos y y dAsin sin 0
第2章 应力状态分析
一点处应力状态描述及其分类
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FS
F
FN
在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体 z
A
FN m-m截面上P 点的正应力 A FS m-m截面上P点的 lim A0 A 切应力(剪应力)
lim
z y y x 单元体的三对表面： x 单元体是变形体的 最基本模型
xy
M
zC
0,
M
yC
0,
M
xC
0
该分量的指向
zz 所在面的法向 z zx zy yz z xz yy yx xy xx xy y yy yx xz xx yz
x 两脚标相同——正应力 两脚标不同——切应力
zy zx
A0
应力的单位：1Pa=1N/m2 1Mpa=106Pa 1Gpa=103Mpa=109Pa
正面：外法向与坐标轴同向 正面 负面：外法向与坐标轴反向 负面
3
一点处应力状态描述及其分类 微元（Element） 微元及其各面上 的应力描述一点 应力状态.
dx
一点处应力状态描述及其分类 三向（空间）应力状态
2 2 xxyy xxsin cos yysin cos xy cos 2 yx sin 2 xy yx
2 2 yyxx xxsin cos yysin cos xy sin 2 yx cos 2 xy yx
因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。 在无穷多种表达形式中有没有一种简单的、但又能反 映一点应力状态本质内涵的表达形式？
第2章 应力状态分析
y
y
x
yx
y'
xy
y'x'
y'
x ' y'
x'
xP
x'
yP
yp
x
xp
主应力、主方向与 面内最大切应力
x-y坐标系
( Three-Dimensional State of Stresses )
z
z
zy yz
dz dy
zx
x
x
xz
xy yx
y
y
2.应力张量的表示方法 一个单元体上共有9个应力分量----构成该点的应力张量 应力张量。 各应力分量的记法:
3.单元体的平衡条件 从物体中的某一点切出一个单元体作为分离体,过其 形心C作xC,yC,zC轴： 列出3个矩方程： zC
主应力、主方向与面内最大切应力
2 2 xx xxcos 2 yysin 2 xy sin cos yx sin cos xy yx
1 cos2 x yy sin2 xy xy 2 x 微元任意方向面上应力分析表明，不同方向面上 的应力分量与方向面的取向(方向角)有关。因而 一定存在某种方向面，其上切应力xy＝0，这种 方向面称为主平面，其方向角用p表示。
x y x y Constant
上述结果表明，一点处的应力状态，在不同的坐标 系中有不同的表达形式，即对于同一点，可以用不 同取向的微元表示其应力状态。这相当于将微元连 同其坐标轴旋转了一个角度，或者说从一种坐标系 Oxy变换到另一坐标系Oxy。
平面应力状态任意方向面上的应力
ห้องสมุดไป่ตู้
第2章 应力状态分析 根据微元的局部平衡
y'
x
x'
x'y'
x'
为什么脆性材料扭转时沿45 为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
x
拉中有切
x
第2章 应力状态分析 根据微元的局部平衡
第2章 应力状态分析
重要结论
x' y'
x'
不仅横截面上存在应力，斜截面上 也存在应力；不仅要研究横截面上 的应力，而且也要研究斜截面上的 应力。
一点处应力状态描述及其分类
一点处应力状态描述及其分类 y y
y
平面（二向） 应力状态 ( Plane State of Stresses )
yx
yx
x
y
xy
x
xy
x x
x
单向应力状态
( One Dimensional State of Stresses )
纯剪应力状态
( Shearing State of Stresses )
平面应力状态任意方向面上的应力
方向角与应力分量的正负号约定
x' y '
方向角
由 x正向反时针转 到x'正向者为正；反 之为负。
y'
切应力
使微元或其局部顺时针方 向转动为正；反之为负。
y
x'
xy yx

x
6
平面应力状态任意方向面上的应力
沿斜面将单元体切开取分离体，设斜面面积为dA
第2章 应力状态分析
1、问题的提出 2、应力的三个重要概念 3、一点应力状态的描述
第2章 应力状态分析
第2章 应力状态分析 铸铁拉伸实验 低碳钢拉伸实验
1、问题的提出
请看下列实验现象：
低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验
韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
1
第2章 应力状态分析 低碳钢扭转实验 铸铁扭转实验


x' y'
x´
x'
平面应力状态任意方向面上的应力
微元的局部平衡
平面应力状态任意方向面上的应力
微元的局部平衡
Fyy 0
x
ｙ
用 2 斜截面截取
xx'' xydA x dAcos sin xy dAcos cos xy dA yx dAsin sin yx y y dAsin sin 0

一点处应力状态描述及其分类

FQ
例题1
l
FP
例题2
S
S平面
2
xx
2 2

a
3

一点处应力状态描述及其分类
y
1
FQy
1 4 2
3
Mz
4
x
x S平面
z
Mx
3
5
第2章 应力状态分析
平面应力状态任意方向面上的应力
方向角与应力分量的正负号约定 微元的局部平衡