三角函数中三角变换常用的方法和技巧

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2

sin2A=2sinA*cosA

半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

万能公式

sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

一、角的变换

在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使

问题获解。常见角的变换方式有：ββαα

-+=)(；)()(2βαβαα-++=；

αβαβα+-=-)(2；2

2

α

α=等等。

例1 函数ππ2sin cos ()36y x x x ⎛⎫⎛⎫

=--+∈

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

R 的最小值等于（ ）

． （A ）3- （B ）2-

（C ）1-

（D ）5-

解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：πππ

362

x x ⎛⎫⎛⎫-++=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将函数()f x 的表达式转化为πππ()2cos cos cos 666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

故()f x 的最小值为1-．故选（C ）．

评注：常见的角的变换有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，

2()αβααβ-=+-，2

2

αβ

αβ

β+-=

-

，3πππ

()442

βααβ⎛⎫⎛⎫+--=++

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ44αβαβ⎛

⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往

会发现角之间的关系． 例2、已知 βαβαα,,14

11

)cos(,71cos -=+=

均是锐角，求βcos 。 解：

。

。）2

1734143571)1411(cos 1435sin(,734sin .

sin )sin(cos )cos(])cos[(cos =⨯+⨯-=∴=+=+++=-+=ββαααβααβααβαβ

小结：本题根据问题的条件和结论进行])[(αβαβ-+=的变换。 例3、已知cos(91)2-

=-βα,sin(2α-β)=3

2

,且,20,2πβπαπ<<<<求.2cos

βα+ 分析：观察已知角和所求角，可作出)2

(

)2

(2

βα

β

αβ

α---

=+的配凑角变换，然后利用

余弦的差角公式求角。

解：.27

5

7329543591)]2(

)2

cos[(2

cos

,

3

5(1)2cos(,954(

1)2

sin(.

2

2

4

,2

4

,

20,2

)3

2)912

2

=∙+⨯-=---

=+∴=--=

-=-=-

<

-<

-

<-

<∴

<<<<βα

β

αβ

αβα

β

απ

βα

π

πβ

απ

π

βπαπ

例4、已知),2sin(sin βαβ+=m 求证：

分析：由角的特点，因已知条件所含角是,,2ββα+所证等式含角,,αβα+所以以角为突破口。

证明：.

tan 11tan(1sin )cos()1(cos )sin()1(,sin )cos(cos )sin(sin )cos(cos )sin(],

)sin[(])sin[(,

)(,)(2αβαα

βααβααβααβααβααβααβααβααβαβαβαβαm

m

m m m m m m -+=+∴≠++=+-∴+++=+-+++=-+∴-+=++=+）即

小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要。

二、函数名称变换

三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决．

例1、若sin （α+β）=

12, sin （α—β）＝110，求tan tan αβ

解：由sin=（α+β）=

12, s in （α—β）＝110

得 ∴

tan tan αβ＝sin cos cos sin αβ

αβ＝32

例2、当π04x <<时，函数22cos ()cos sin sin x

f x x x x

=-的最小值是（ ）．