人教版人教课标高中数学选修1-1双曲线及其标准方程一课件
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y
M
1
o
F2
x
叫做双曲线的标准方程
它所表示的双曲线的焦点在 x 轴上， 焦点是F1(-c,0),F2(c,0)，这里 c2=a2+b2
结 束
动 画 音 乐
? 想一想
上 页
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是：
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y
M F2
下 页
y x 2 1 2 a b
2
2
x
F1
小 结
结 束
动 画 音 乐
结 束
|F1F2|=2c 叫做焦距
注意：在双曲线定义中必须有条件 2c >2a
.
1、建系设点。设M（x , y）,
动 画 音 乐 上 页
y
M
双曲线的焦距为2c（c>0）,
F1(-c,0),F2(c,0)
首 页 下 页
F1
o
F2
x
常数=2a
2,双曲线就是集合：
小 结
P={M 即
|||MF1|-|MF2|| = 2a }
下 页
小 结
变式1: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时， 求焦点坐标。 变式2 : 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时， 求焦点坐标。
结 束
动 画 音 乐
上 页
y2 x2 • P107-3，证明椭圆 = + 25 9
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1
与双曲线x2-15y2=15的焦点相同
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• 变式:上题的椭圆与双曲线的一个 交点为P，求|PF1|
动 画 音 乐
人教版普通高级中学教材数学必 修五第二册(上）圆锥曲线之
上 页
首 页 下 页
y
小 结
M
F1
结 束
o
F2
x
1. 什么叫做椭圆？
动 画 音 乐 上 页
平面内与 两定点F1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和
等于常数 2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹.
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Y
M x, y
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2
2
2
焦点
a.b.c 的关系
c a b
2 2
动 画 音 乐
课本 : P108页 习题 8.3
上 页
第 1 、 2、 4 题
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小 结
结 束
当 0°≤θ≤180°时， 方程x2cosθ+y2sinθ=1的曲线怎样变化？
定义
上 页
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
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图象
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F1
o
F2
x
F1
x
小 结
方程
结 束
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2
2
2
焦点
a.b.c 的关系
c a b
2 2
动 画 音 乐
x2 y2 备选题：求与双曲线 1 共焦点， 16 4
且过点( 3 2 , 2 ) 的双曲线方程。
小 结
结 束
小结回顾
动 画 音 乐
定义
上 页
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
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图象
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Leabharlann Baidu
F1
o
F2
x
F1
x
小 结
方程
结 束
x y 2 1 2 a b
_ 2a (x-c)2 + y2 = +
(x+c)2 + y2 练习：P107-1
结 束
动 画 音 乐
上 页
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小 结
化简可得： (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) ∵c＞a，∴c2 ＞a2 F 令 (c2-a2)=b2 (b>0) 2 2 y 得： x 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
O
F2 c, 0 X
平面内与 两定点F1、F2 的距离的 差 等于常数 的点的轨迹 是什么呢？ 阅读P104页 第二段 及 模型显示
结 束
动 画 音 乐
上 页
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M点运动时，M点满足什么条件？ ①如图(A)，当 |MF1|>|MF2| 时 ∵|MF1|=|MF|=|MF2|+|F2F| ∴ |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a 首 页 ②如图 (B)，当 |MF1|<|MF2| 时 同理可得： |MF2|-|MF1|=2a 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值） 上面 两条合起来叫做双曲线
动 画 音 乐
上 页
例1, 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)， 双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对 值等于6，求双曲线的标准方程.
首 解：因为双曲线的焦点在 x 轴上， 页 所以设它的标准方程为：
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x2 y2 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
小 结
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F1 c, 0
小 结
O
F2 c, 0 X
结 束
定义
动 画 音 乐 上 页
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
y
图象
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F1
· ··
y M oF2 x
2 2
F2 F1
· · ·
o M x
2
小 结
方程 焦点
a.b.c 的关系
x y 2 1 2 a b
F ( ±c,0)
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
结 束
a2=b2+c2
1. 什么叫做椭圆？
动 画 音 乐 上 页
平面内与 两定点F1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和
等于常数 2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹.
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Y
M x, y
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引入问题：
小 结
F1 c, 0
上 页
x y 2 1 2 a b
首c, 0) F(± 页
2
2
y
M
y
M F2
F1
o
F2
x
F1
x
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
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问题：如何判断焦点在哪个轴上？
小 结
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
1,
结 束
3,
x2 16 y2 16
y2 1 9 x2 1 9
x2 y2 2, 1 F(±5,0) 9 16 y2 x2 4, 1 F(0,±5) 9 16
小 结
结 束
另思考：当 |MF1|=|MF2| 时，M点的轨迹是什么？
动 画 音 乐
双曲线的定义
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y
M
平面内与 两定点 F1、F2
下 页
差的绝对值 的距离的___________
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F1
o
F2
x
为____________________ 常数2a (小于|F1F2|)
小 结
的点M的轨迹 叫做双曲线。 其中两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点
∵
∴
2a = 6,
2c =10
∴
a = 3, c = 5
结 束
x2 y2 1 所以所求双曲线的标准方程为： 9 16
b2 = 52-32 =16
动 画 音 乐
上 页
P107-2，如果方程
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x2 y2 1 2 m m 1
表示双曲线，求m的范围
解:（2+m)(m+1)>0，∴m<-2或m>-1
y
M
1
o
F2
x
叫做双曲线的标准方程
它所表示的双曲线的焦点在 x 轴上， 焦点是F1(-c,0),F2(c,0)，这里 c2=a2+b2
结 束
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? 想一想
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焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是：
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y
M F2
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y x 2 1 2 a b
2
2
x
F1
小 结
结 束
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结 束
|F1F2|=2c 叫做焦距
注意：在双曲线定义中必须有条件 2c >2a
.
1、建系设点。设M（x , y）,
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y
M
双曲线的焦距为2c（c>0）,
F1(-c,0),F2(c,0)
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F1
o
F2
x
常数=2a
2,双曲线就是集合：
小 结
P={M 即
|||MF1|-|MF2|| = 2a }
下 页
小 结
变式1: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时， 求焦点坐标。 变式2 : 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时， 求焦点坐标。
结 束
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y2 x2 • P107-3，证明椭圆 = + 25 9
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1
与双曲线x2-15y2=15的焦点相同
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• 变式:上题的椭圆与双曲线的一个 交点为P，求|PF1|
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小 结
M
F1
结 束
o
F2
x
1. 什么叫做椭圆？
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平面内与 两定点F1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和
等于常数 2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹.
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Y
M x, y
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2
2
2
焦点
a.b.c 的关系
c a b
2 2
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上 页
第 1 、 2、 4 题
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小 结
结 束
当 0°≤θ≤180°时， 方程x2cosθ+y2sinθ=1的曲线怎样变化？
定义
上 页
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
M
M F2
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图象
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F1
o
F2
x
F1
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小 结
方程
结 束
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2
2
2
焦点
a.b.c 的关系
c a b
2 2
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x2 y2 备选题：求与双曲线 1 共焦点， 16 4
且过点( 3 2 , 2 ) 的双曲线方程。
小 结
结 束
小结回顾
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定义
上 页
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
M
M F2
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图象
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Leabharlann Baidu
F1
o
F2
x
F1
x
小 结
方程
结 束
x y 2 1 2 a b
_ 2a (x-c)2 + y2 = +
(x+c)2 + y2 练习：P107-1
结 束
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小 结
化简可得： (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) ∵c＞a，∴c2 ＞a2 F 令 (c2-a2)=b2 (b>0) 2 2 y 得： x 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
O
F2 c, 0 X
平面内与 两定点F1、F2 的距离的 差 等于常数 的点的轨迹 是什么呢？ 阅读P104页 第二段 及 模型显示
结 束
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M点运动时，M点满足什么条件？ ①如图(A)，当 |MF1|>|MF2| 时 ∵|MF1|=|MF|=|MF2|+|F2F| ∴ |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a 首 页 ②如图 (B)，当 |MF1|<|MF2| 时 同理可得： |MF2|-|MF1|=2a 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值） 上面 两条合起来叫做双曲线
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例1, 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)， 双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对 值等于6，求双曲线的标准方程.
首 解：因为双曲线的焦点在 x 轴上， 页 所以设它的标准方程为：
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x2 y2 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
小 结
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F1 c, 0
小 结
O
F2 c, 0 X
结 束
定义
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|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
y
图象
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F1
· ··
y M oF2 x
2 2
F2 F1
· · ·
o M x
2
小 结
方程 焦点
a.b.c 的关系
x y 2 1 2 a b
F ( ±c,0)
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
结 束
a2=b2+c2
1. 什么叫做椭圆？
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平面内与 两定点F1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和
等于常数 2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹.
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Y
M x, y
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引入问题：
小 结
F1 c, 0
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x y 2 1 2 a b
首c, 0) F(± 页
2
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M F2
F1
o
F2
x
F1
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y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
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问题：如何判断焦点在哪个轴上？
小 结
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
1,
结 束
3,
x2 16 y2 16
y2 1 9 x2 1 9
x2 y2 2, 1 F(±5,0) 9 16 y2 x2 4, 1 F(0,±5) 9 16
小 结
结 束
另思考：当 |MF1|=|MF2| 时，M点的轨迹是什么？
动 画 音 乐
双曲线的定义
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M
平面内与 两定点 F1、F2
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差的绝对值 的距离的___________
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F1
o
F2
x
为____________________ 常数2a (小于|F1F2|)
小 结
的点M的轨迹 叫做双曲线。 其中两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点
∵
∴
2a = 6,
2c =10
∴
a = 3, c = 5
结 束
x2 y2 1 所以所求双曲线的标准方程为： 9 16
b2 = 52-32 =16
动 画 音 乐
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P107-2，如果方程
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x2 y2 1 2 m m 1
表示双曲线，求m的范围
解:（2+m)(m+1)>0，∴m<-2或m>-1