周期性非稳态导热
(20、21)第四章 4.3 非稳态导热
1主要内容本节介绍非稳态导热的分析解法，最后简要介绍导热问题的数值解法。
4.3 非稳态导热 4.3非稳态导热：温度场随时间变化的导热过程。
2非稳态导热非稳态导热的类型：（1）周期性非稳态导热：（2）非周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内燃机汽缸壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。
在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如热处理工件的加热或冷却等。
讨论一维非周期性非稳态导热的分析解法及求解特殊非稳态导热问题的集总参数法。
了解和掌握非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的计算方法。
本节主要内容：主要目的： 1.一维非稳态导热问题的分析解3第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。
（1）无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介假设：厚度为δ、热导率λ、热扩散率a 为常数，无内热源，初始温度与两侧的流体相同并为t 0。
两侧流体温度突然降低为t ∞，并保持不变，平壁表面与流体间对流换热表面传热系数h 为常数。
考虑温度场的对称性，选取坐标系如图，仅需讨论半个平壁的导热问题。
这是一维的非稳态导热问题。
41)数学模型：（对称性）引进无量纲过余温度、无量纲坐标，Fo 是无量纲特征数，称为傅里叶数称为毕渥数令过余温度5傅里叶数的物理意义：Fo 为两个时间之比，是非稳态导热过程的无量纲时间。
毕渥数的物理意义：Bi 为物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之比。
由无量纲数学模型可知，Θ是Fo 、Bi 、X 三个无量纲参数的函数确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。
2）求解结果：6解的函数形式为无穷级数，式中β1,β2,···，βn 是下面超越方程的根根有无穷多个，是Bi 的函数。
无论Bi 取任何值，β1,β2,···，βn 都是正的递增数列，Θ的解是一个快速收敛的无穷级数。
2y 由解的函数形式可以看出，Θ确实是Fo 、Bi 、X 三个无量纲特征数的函数7（2）分析解的讨论1）傅里叶数Fo 对温度分布的影响分析解的计算结果表明，当Fo ≥0.2时，可近似取级数的第一项，对工程计算已足够精确，即因为，所以将上式左、右两边取对数，可得，m 为一与时间、地点无关的常数，只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。
第三章 非稳态导热-108
x 0,
t 0 x
（对称性）
x ,
t x
ht
t
以上导热微分方程式及单值性条件组成了该非稳态导热 问题的数学模型。
• 引进过余温度: t t
于是导热微分方程式和单值性条件变为:
2
a x2
初始条件： 边界条件：
0,
x 0,
x ,
0 t0 t
0 x
h x
• 再引进无量纲温度: 0
需要确定该物体在冷却过程中温度随时间的变化规律 以及放出的热量。
A
,c,V h, t
• 假设该问题满足Bi 0.1的条件，
根据能量守恒，单位时间物体热力学能的变化量应该
等于物体表面与流体之间的对流换热量，即
cV
dt
d
hAt t
引进过余温度 t t ，上式可改写为
cV d hA d
初始条件为 0, 0 t0 t
e 12 Fo
f Bi,Fo
上式也同样被绘制成线算图。
4 分析解应用范围的推广和讨论
（1）分析解应用范围的三点推广。
①对物体冷却也可适用。 ②对一侧绝热、另一侧为第三类边界条件的平板也可适用。 ③当对流换热系数趋于无穷大时，固体的表面温度就趋近于流体的温度 ，因而Bi→∞时就是物体表面温度突然变化后保持不变的第一类边界条件 的解。
正规状况阶段，分析解可近似取无穷级数的第一项，近似结果也 被绘制成了线算图。
3. 集 总 参 数 法
• 当 Bi 0.1 时，物体内部的导热热阻远小于其表面的
对流换热热阻，可以忽略，物体内部各点的温度在任 一时刻都趋于均匀，物体的温度只是时间的函数，与 坐标无关。 • 对于这种情况下的非稳态导热问题，只须求出温度随 时间的变化规律以及在温度变化过程中物体放出或吸 收的热量。
3.1 非稳态导热过程的类型和特点
1. 非稳态导热的基本概念
（1）定义 ：
物体的温度随时间而变 化的导热过程称非稳态导热。
t f (r， )
（2）分类：
a) 瞬态非稳态导热：物体的温度随 时间的推移逐渐趋近于恒定的值； 如钢坯在炉内的加热室式热处理炉 炉壁的导热
b) 周期性非稳态导热：物体的温度 随时间而作周期性的变化；如太阳 辐射使得地球表面温度变化（1天内 、一年内）
（3）瞬态非稳态导热的特点：
三个阶段： a) 非正规状况阶段: 温度分布主要受初始温度分布控制
非正规状况阶段：Φ1急剧减小，Φ2为零；
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（3）瞬态非稳态导热的特点：
b) 正规状况阶段: 温度分布不受初始温度影响，主要
取决于边界条件及物性
正规状况阶段： Φ1继续减小，Φ2逐渐增大。
c) 新的稳态
Φ1－－板左侧导入的热流 Φ2－－板右侧导出的热流
（4）周期性非稳态导热过程的特点：
a）温度波的衰减 b）温度波的延迟
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THANKS
传热学 第三章 非稳态导热
解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a
0.185
0.65 106 m 2 / s
c 1500 0.839 1000
Fo
a 2
0.65 106 6 3600 0.25 2
0.22
非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
非稳态导热正规状况阶段
x,
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos
1
x
e 12 Fo
Bi h
平壁中心x=0时
m
2 sin 1
a Fo 2
e 12Fo f Bi, Fo
0 1 sin 1 cos 1
m
0 m 0
cos
1
x
f
Bi, x
只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
传热学
第3章 非稳态导热 Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
假设：厚度为2，导热系数、热扩散率为常数，无
内热源，初始温度与两侧流体相同，为t0。两侧流体温 度突然降低为tf，并保持不变，平壁表面与流体间对流 换热表面传热系数h为常数。
周期性的非稳态导热
2 周期性的非稳态导热的研究对象
在工程和实际生活中环境温度近似地按周期变化的情况 是较常见的，如由于太阳辐射的周期性变化而引起的房屋墙 壁、屋顶等的温度场随时间的变化，地球表面层的温度由于 季节更替而引起的周期性变化，空气温度随昼夜的变化，发 动机汽缸内气体温度的变化，等。 这些周期性的温度波一般不是简谐波。但是非简谐的周 期变化都可以展开为傅里叶级数，即表示为无穷多个简谐波 的叠加。在集总热容法的假定下，由于导热方程是线性的， 这些环境温度简谐波的作用在薄壁物体中引起的温度响应也 可以叠加。 因此，本专题主要讲述环境温度按简谐波变化的导热问 题：将初始温度为t0的物体在初始时刻突然放置于温度按简 谐波变化的环境中的非稳态导热问题。
周期性的非稳态导热
邬二龙 109081159
讲课章节
• 1 何谓周期性的非稳态导热？ • 2 周期性的非稳态导热的研究对象 • 3 周期性的非稳态导热的研究方法 • 4 环境温度按简谐波变化的导热问题的求解 • 5 小结
1 何谓周期性的非稳态导热？ 何谓周期性的非稳态导热？
非稳态导热 物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热。 根据物体温度随时间的推移而变化的特性，非稳态导热可以 分为两类：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值； 物体的温度随时间而做周期性的变化。 周期性ห้องสมุดไป่ตู้非稳态导热 在周期性的非稳态导热过程中，物体中各点的温度及热 流密度都随时间做周期性的变化。
将式(4.5)代入式(4.2) ，并记 τ r = ρcV / (hA) ，得 (4.6) 上式左边可改写为
比较方程(4.6)的两边，可得
由此可得方程(4.2) 的通解是 (4.7)
由初始条件可确定式中的常数
最后得到该问题的解为
周期性非稳态导热
周期性边界条件下的非稳态导热——边界条件作周期性变化，从而引起物体周期性加热或周期性冷却重点：周期性非稳态导热的基本特征及其影响因素特例：半无限大物体中的周期性不稳态导热边界条件：)cos(βωτ-+=+w w w t t t此时，物体中的温度分布由三部分组成：瞬变分量（随时间的延续而迅速消失）；稳态分量（即w t -，是一个常量）；准稳态分量（是叠加在w t -上的简谐波）其中，准稳态分量（简谐波）为：)cos(φβωτθθ--=+x其中：波幅 )2e xp (x a t w x ωθ-=++，随深度x 的增加，波幅按指数规律迅速衰减（推进波的特点），材料的热扩散率a 越大，衰减越慢；滞后角 x a 2ωφ=，随深度x 的增加，滞后角增大；而在同一深度处，材料的热扩散率a 越大，滞后角越小。
波动频率 πω2，频率越高，波幅衰减越快，滞后角越大，温度波动可以察觉的透入深度则越小（这一特性称为热工对象的高频滤波性）。
温度波在半无限大物体中的传播特性另外，波速02τπa v =：表明，波速只取决于波动周期0τ和材料的热扩散率a ，而与时间 无关。
（a 大，波速亦大；0τ大则波速小）峰值滞后时间x a2/10)(21πττ=∆：表明深度x 处的温度波滞后于表面温度波的时间； x 处的温度达到峰值的时间也比表面温度达到峰值滞后同样的时间结论：半无限大平壁周期性变化边界条件下的温度波：空间上呈周期性变化且振幅衰减，时间上呈周期性变化且相位延迟；在周期性变化的边界温度作用下半无限大介质中的温度波在深度方向呈现衰减和延迟。
当介质的热扩散率a 越大，衰减越慢（温度波的衰减度和延迟时间均减小）；确定材料中温度波的频率越高，则温度波的振幅沿传播方向衰减越快，滞后角越大——高频滤波性。
波速只取决于波动周期0τ和材料的热扩散率a ，而与时间无关——a 大，波速亦大；0τ大则波速小）峰值滞后时间与温度波滞后时间相同（同一位置处，a 大，滞后少；0τ大则滞后多）一、数学模型及分析解 数学模型：（初始条件和边界条件合二为一） 温度分布：边界处热流通量：二、换热特征分析 1、温度波的衰减：，定义衰减度：温度波衰减的影响因素 ①热扩散率ａ：热扩散系数大，波的衰减缓慢；②温度波周期Ｔ：波动的周期越短，振幅衰减越快，所以日变化温度波比年变化温度波衰减得快得多。
传热学第三章
内能减小=物体向环境对流换热
7
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
定义过余温度： θ=t-t∞
dt cV Ah (t t ) d
cV
dt Ah d
初始条件：
d
τ=0， θ =θ0=t0-t∞
微分方程分离变量，并积分：
0
hA cV
Fo>0.2，正规状况阶段
非稳态导热过程中传递热量
从τ=0 至热平衡
Q0 cV (t 0 t )
19
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
从τ=0 至τ时刻
Q c V t 0 t ( x, )dV 1 Q0 cV (t 0 t ) V 1 1 V (t 0 t ) (t t ) dV V t0 t
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院 6
传 热 学
1. 导热微分方程式建立
例：测量变化着的温度的热电偶
t0 t
t t0 0
t f ( ) ?
t 2t 2t 2t ( 2 2 2) 导热微分方程： c x y z c
11
传 热 学
4. BiV及FoV物理意义
Biv hl
1 h
l
内部面积导热热阻 表面面积对流换热热阻
无量纲 热阻 无量纲 时间
从边界上开始发生热扰 动时刻起 a 到所计算时刻为止的时 间间隔 Fov 2 2 边界上发生有限大小的 热扰动穿过一定 l l a 厚度的固体层扩散到 2的面积上所需时间 l
FoV越大，热扰动越深入地传播到物体内部， 物体内各点的温度越接近周围介质的温度
V4第三章-非稳态热传导-2014
1/ h /
6 6
1/ h / （ 2）
即对流换热热阻远大于导 热热阻，此时传热热阻主 要是边界对流换热热阻， 因而可认为同一时刻平壁 内部温度是相同的，而平 壁表面和流体间存在明显 温差，这一温差随着时间 推移和平壁总体温度降低 而逐渐减小。
1/ h /
半径为 r 的圆柱 半径为 r 的球体
V
r 2l r A 2 rl 2
4 V
r 3 2 A 4 r 3
r3
（2）对于形状如平板、柱体或球的物体，只要满足BiV≤0.1M， 就可以使用集总参数法计算，偏差小于5％。 与形状有关的无量纲量 无限大平板 M 1 1 无限长圆柱 M 2 球
毕渥数,无量纲特征数 傅里叶数
V
e Bi 0
FoV
exp BiV FoV
下角标V表示以 l=V/A为特征长度
14
傅里叶数的物理意义：
Fo
a
2
2 a
[s]
Fo为两个时间之比，是非稳态导 热过程的无量纲时间。
[m2]
[m2/s]
毕渥数的物理意义：
第三章 非稳态热传导
1
3-1
非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热的基本概念
★非稳态导热 ：温度场随时间变化的导热过程。 ★非稳态导热的类型： （1）周期性非稳态导热： 在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内燃机汽缸 壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。 （2）非周期性非稳态导热： 在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如热处理工 件的加热或冷却、太阳辐射加热建筑物墙体等。
5 2015-5-24 5
（1）1/ h / 即对流换热热阻远小于平 板内的导热热阻，可认为 平壁表面温度一开始就和 流体温度基本相同，第三 类边界条件转化为第一类 边界条件。此时传热热阻 主要是导热热阻，因此平 壁内部存在温度梯度，并 随时间推移，平壁总体温 度逐渐降低。
第三章 非稳态导热
非稳态导热的基本概 念
非稳态导热过程可分为三个阶段:
1.初始阶段: 温度分布为初始温度区与部
分非稳态导热规律区的混合分布 2.正规状况阶段:温度分布不受 to 的影 响，主要取决于边界条件及物性,且具有一定 规律 3.新稳态阶段: 温度分布一定（Φ1=Φ2 或Φ =0 ）
8
无限大平壁的瞬态导 热
第三章
非稳态导热
非稳态导热: 物体的温度场随时间而变化 的导热过程。非稳态导热根据温度场随时 间变化规律的特点分类：
1.周期性非稳态导热：物体的温度随 时间而作周期性的变化（夏季或冬季房屋 外温度以24h的周期变化） 2.非周期性非稳态导热(瞬态导热)： 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定 的值
1
过余温度比
a Biv Fov 2 (V A)
28
Biv
h(V A)
a Fov (V A) 2
Fov 是傅立叶数
e 0
hA Vc
e
Biv Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
W 2 m 2 hA w 1 m K Vc J s kg Jkg 3 3 K [m ] m
35
绝 热 面
tf=60 ℃
h=500 W/(m2· K)
δ=40mm
x
500 0.04 0.313 （1） Bi 63.9
h
63.9 5 m2 /s a 1.882 10 c 7823 434
1.882 10 8 60 Fo 2 5.646 2 0.04
*
12
n n为下面超越方程的根 ctg n h
《传热学》第三章 非稳态导热
令：
—— 过余温度
使导热微分方程边界条件齐次化：
1.分离变量法求解导热微分方程：
对于此类偏微分方程，应采用分离变量法来进行求解： 假定：
代入导热微分方程，得出：
令：
并对两式分别求解
求解结果： 因φ 不可能是无限大或常数，所以只能有：μ <0，因而可令：
求解结果：
将两个求解结果合并，得到：
其中：
A c1c2 , B c1c3
集总热容体的温度分布：
其中：
L
V ——定型尺寸 A
cV
hA
——时间常数（表示物体温度接近流体温度的快慢）
集总热容体的温度分布亦可写成：
四、不同加热方式下的无限大平壁瞬态导热
t
qv
h, t f
h, t f
qw
qw
h, t f
h, t f
x
第三节 半无限大物体的瞬态导热
应用领域：大地 一、第一类边界条件
半无限大物体表面温度：
半无限大物体表热负荷：
——一定时间内将壁温提高至tw所需的热负荷
第四节 其他形状物体的瞬态导热
一、无限长圆柱体和球体——计算线图法 分无 布限 计长 算圆 步柱 骤温 度
计算Bi和Fo
由图3－13计算中心温度
由图3－14计算任意处温度 无限大平壁—— 半壁厚δ
定型尺寸
无限长圆柱体和球体—— 半径 R 其他不规则形状物体——V/A
或：
傅立叶准则——
二、正常情况阶段——Fo准则对温度分布的影响
对
进行收敛性分析： 随着β n的递增，级数中指数一项收敛很快，所以级数收敛很快，尤其当Fo较 大时，收敛性更加明显。 因此，当Fo>0.2时，仅用级数第一项来描述，已足够精确，即：
4.5 周期性非稳态导热
➢ 衰减的速率与波动频率 以及材料的热
扩散率 a 有直接关系（待续）
第四章 4.5节 （12）
3
达到一定深度以后温度波动的振幅将几 乎衰减到零。
“有限厚”与“半无限大”
2. 温度波相位滞后
(x, ) Ax cos
2a
x Ax cos
半无限大物体的表面热流密度：
qw ( ) Aw
2 cos
aT
4
第四章 4.5节 （12）
9
总结：热量传递的规律
物体表面以及内部任何位置的热流密 度都按照简谐规律变化，且周期与温度波 相同；
热流波的相位比当地温度波提前/4， 即1/8周期（见教材图4.12）；
热流密度沿 x 方向衰减的规律与温度 衰减规律完全相同，但振幅发生了改变。
相对于流体介质温度波滞后的相位角。
第四章 4.5节 （12）
7
Aw
Af
1 2
h
1
aT
2
h
2
aT
arc tan 1
h
aT
1
第四章 4.5节 （12）
8
4.5.2 周期性导热的热量传递
根据傅里叶定律从温度响应求相应热流：
q(x, ) Aw
2
aT
exp
aT
x cos
aT
x
4
T
4a
x
物体内 x 处的温度波比表面温度波在时间 上滞后
T (4a ) x
第四章 4.5节 （12）
4
解释：夏季晴热天气时室内达到最高温度 的时间要比室外最高温度晚几个小时；
假如恰好滞后一个周期，如何？
第三章 非稳态导热
(
)
Qτ = 1 − e − BiV ⋅FoV Q0
上述分析结果既适用于物体被加热的情况， 上述分析结果既适用于物体被加热的情况 ， 也适用 于物体被冷却的情况。 于物体被冷却的情况。
8
例题 3-2 ， 例题 3-3
作业 3-1 3-3 3-4
9
3-3. 一维非稳态导热问题的分析解
第三类边界条件下大平壁 第三类边界条件下 大平壁 、 长圆柱及球体的加热 大平壁、 或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。 或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。 （1）无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介 假设： 假设： 厚度为2 厚度为2δ、热导率λ、热扩 散率a 为常数， 无内热源， 散率 a 为常数 ， 无内热源 ， 初始温 度与两侧的流体相同并为t 度与两侧的流体相同并为 t0。 两侧 流体温度突然降低为 t∞ ， 并保持 不变， 不变 ， 平壁表面与流体间对流换 热表面传热系数h为常数。 热表面传热系数h为常数。 考虑温度场的对称性， 考虑温度场的对称性 ， 选取 坐标系如图， 坐标系如图 ， 仅需讨论半个平壁 的导热问题。 的导热问题。 这是一维的非稳态导热问题。 这是一维的非稳态导热问题。 10
θ ( x, τ ) ∞ 2sin µn x −µ =∑ cos µn e Θ= θ0 δ n =1 µ n + sin µ n cos µ n
2 n ⋅ Fo
12
θ ( x,τ ) ∞ 2sin µn x −µ ⋅Fo =∑ cos µn e Θ= θ0 δ n=1 µn + sin µn cos µn
θ0 µ 1 + s in µ 1 c o s µ 1
1
δ
传热学-第三章 非稳态导热
[J ]
当物体被加热时(t<t∞)，将上两式中的θ0=t0－t∞ 改为θ0=t∞－t0，其余计算式相同（为什么？）
4. BiV·FoV的物理意义
Bi
=
hl
λ
=
l
λ＝
物体内部导热热阻
1 物体表面对流换热热阻
h
无量纲 热阻
BiV数越小，计算结果越接近实际情况。比如热电
偶测温，其BiV数只有0.001。
=
h ⋅ 4(l + d
cp dl
/ 2)
=
140× 4× (0.3 + 0.05 / 2)
0.48×103 × 7753× 0.05× 0.3
=
0.326
×10−2
s -1
θ θ0
=
t − t∞ t0 − t∞
= exp⎜⎜⎝⎛ −
hA
ρcV
⋅τ ⎟⎟⎠⎞
⇓
( ) 800 −1200 = exp − 0.326×10−2 ×τ
解：① 建立非稳态导热数学模型
方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：
∂t
∂τ
=
λ ⎜⎛ ∂2t ρc ⎜⎝ ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
+
∂2t ∂z 2
⎟⎟⎠⎞ +
Φ&
ρc
∵ 物体内部导热热阻很小，忽略不计。
∴ 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ
的一元函数，而与坐标x、y、z无关，即：
例 一 直 径 为 5cm ， 长 为 30cm 的 钢 圆 柱 体 ， 初 始 温 度 为 30℃ ， 将 其 放 入 炉 温 为 1200℃ 的 加 热 炉 中 加 热 ， 升 温 到 800℃时方可取出。已知钢圆柱体与烟气间的表面传热系数 为 140w/(m2K) ， 钢 球 的 比 热 c=0.48kJ/(kgK) ， 密 度 ρ=7753kg/m3，导热系数λ=33w/(mK)。问需要多少时间才 能达到加热要求？ 解：首先检验是否可以采用集总参数法。为此计算Biv数：
周期性非稳态导热
周期性非稳态导热返回到上一层重点内容：周期性非稳态导热的基本特征及其影响因素。
在§1中，已介绍了在周期性变化边界条件下，导热物体内部将形成温度波，且具有温度波衰减；温度波时间延迟及传播等基本特征，这里以半无限大物体周期性变化边界条件下的温度波为例说明周期性非稳态导热的基本特征。
一、数学模型及分析解数学模型：（初始条件和边界条件合二为一）温度分布：边界处热流通量：二、换热特征分析1、温度波的衰减：，定义衰减度：温度波衰减的影响因素①热扩散率ａ：热扩散系数大，波的衰减缓慢；②温度波周期Ｔ：波动的周期越短，振幅衰减越快，所以日变化温度波比年变化温度波衰减得快得多。
③传播距离ｘ：温度波影响越深入，波的衰减越缓慢。
2、温度波的时间延迟：体现为落后一定的相位角。
时间延迟：温度波时间延迟的影响因素①热扩散率ａ：热扩散系数大，波的时间延迟缓慢；②温度波周期Ｔ：波动的周期越短，时间延迟越小；③传播距离ｘ：温度波影响越深入，时间延迟越严重。
3、温度波向半无限大物体的传播特性①不同时刻，相同ｘ处的温度波均是简谐波。
如图a所示。
②同一时刻半无限大物体中不同ｘ处的温度分布也是一个周期性变化的温度波，但其振幅是衰减的。
如图b所示。
4、周期性变化的热流波周期性变化边界条件下，半无限大物体表面的热流通量也必然是周期性地从表面导入或导出，而且表面热流通量波比其温度波提前π/４相位，如图所示。
三、基本要求深刻理解周期性非稳态导热的基本特征及其影响因素。
例题1、试比较周期性温度波在厚钢板内(设为半无限大)和在土壤中传递时,何者衰减快?为什么?答案：周期性温度波在土壤中传递时衰减快。
因为，且土壤的热扩散率比钢板小得多，使得周期性温度波在土壤中的衰减度高于在厚钢板的衰减度。
例题2、东北地区春季,公路路面常出现“弹簧”,冒泥浆等“翻浆”病害。
试简要解释其原因。
为什么南方地区不出现此病害?东北地区的秋冬季节也不出现“翻浆”?答案：此现象可以由半无限大物体（地面及地下）周期性非稳态导热现象的温度波衰减及温度波时间延迟特征来解释。
第三章 非稳态导热
适用条件：一维稳态、无内 热源、恒壁温、λ=常数
4.导热系数与温度成线性关系时的处理方法
0 (1 bt)其中0－系数， (m C) W
可通过以下方法处理：
b－常数
若已知t1及t2，则 m 0 (1 btm ) 常数 t1 t2 其中tm 。 2
五、显式、隐式差分方法优缺点
优点可以利用上一时间的温度一次性算出下一时间 的所有各节点值。 隐式差分方法恰好与显式相反。 缺点：Δx与Δτ的取值有一定限制。
例题：厚度为20mm的平壁状核反应堆燃料 元件，它的二个端面受到均匀冷却，冷却液的温 度t∞=250℃，h=1100W/(m2℃)，燃料元件的导 热系数为 30W/(m℃) ，导温系数为a=10-5m2/s。 试计算燃料元件从具有均匀内热源Φ1=107 W/m3 的稳态运行条件变成Φ2= 108W/m3以后2秒钟时 各结点温度为多少？
n
2 n a
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) ( ) a e 0 n1 n sin( n ) cos( n )
2
2
（x, ) 因此 是F0和Bi以及 的函数,即 0 x
( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
从公式中可知：
对于无限大圆柱体或球体，也可用查图方式求得。
适用条件： （1）适用于恒温介质的第三类边界条件或第一类边界 条件的加热及冷却过程。 （2）Fo>0.2，否则过于密集，误差太大，用解析解 求。
三
二维及三维非稳态导热问题的求解
y
有 一 矩 形 截 面 （ 2δ1×2δ2 ） 的 长 柱 ， 原来具有均匀温度 t0 ， 现将它突然浸没在温度 为t∞ 的流体中。流体与 长柱表面之间的换热系 数h 保 持 不 变。 试 分析 矩形截面的温度分布情 况。
11-1 非稳态导热过程
非稳态导热过程非稳态导热◆定义：导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。
◆特点：温度随时间变化(t = f( ) )，热流也随时间变化。
◆示例：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。
非稳态导热◆分类：⏹周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，物体温度按一定的周期发生变化。
⏹非周期性非稳态导热（瞬态导热）：在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡。
温度分布t 1t 0A B C Dt 1t 0A B C Dt 1t 0A B C Dt 1t 0A B C D(a)τ= τ1(b)τ= τ2(c)τ= τ3(d)τ= τ4非稳态导热的不同时刻物体的温度分布一厚度为2δ平壁初始温度为t 0，令其左侧表面的温度突然升高到t 1，右侧与温度为t 0的空气接触。
两个阶段◆非正规状况阶段（初始状况阶段）：◆正规状况阶段：t t 0t 1t 2τt A B t C t D τ3xxtt ∞(b )(a )(c )1∞=-≈-w w q t t h t t δλ按照传热关系式作一个近似的分析。
三种不同边界情况的温度分布曲线（a ）、（b ）、（c ）有缘学习交流＋Ｖ：ｙｇｄ３０７６曲线（a ）表示平板外环境的换热热阻远大于平板内的导热热阻,即h 1λδλδ//1>>h 曲线（b ）表示平板外环境的换热热阻相当于平板内的导热热阻,即h 1λδλδ//1≈h 曲线（c ）表示平板外环境的换热热阻远小于平板内的导热热阻,即h 1λδλδ//1<<h xxtt ∞(b )(a )(c )Thank You！。
传热学重点、题型讲解第三章--非稳态导热
传热学重点、题型讲解第三章--非稳态导热第三章非稳态导热第一节非稳态导热的基本概念图3-1 瞬态导热的基本概念图3-2 周期性导热的基本概念第二节无限大平壁的瞬态导热一、加热或冷却过程的分析解法图3－3 第三类边界条件下的瞬态导热图3-4 特征方程的根22xta t ∂∂=∂∂τ τ＞0， 0＜x ＜δ （1） 相应地初始条件为τ=0， t t =0 0≤≤x δ （2） 边界条件为xt∂∂｜x =0 = 0 (对称性) τ＞0 （3） xt∂∂-λ｜x =δ = h t (｜x =δ-t f ) τ＞0 （4） 引用新的变量()()θττx t x t f ,,=-，称为过余温度22x∂∂=∂∂θτθ τ＞0， 0＜x ＜0 （3-1） τ=0， θθ=0 0≤≤x δ （3-2）x∂∂θ｜x =0 = 0 τ＞0 （3-3） x∂∂-θλ｜x =δ= h θ｜x =δ τ＞0 （3-4 ) ()()()θτφτx X x ,= （5）τφφd d a 1=221dx Xd X （6）μτφφ=d d a 1 （7）μ=dxdXX 1 （8） ()φμτ=c a 1exp （9）()φετ=-c a 12exp （10）2221ε-=dxXd X （11） ()()X c x c x =+23cos sin εε （12） ()()()[]()θτεεετx A x x a ,cos sin exp =+-2 （3-5）x∂∂θ｜x =0 =()()A B a εεετsin cos exp 002+- ()()()θτεετx A x a ,cos exp =-2 （13） ()[]()()()---=-λεεδετεδετA a hA a sin exp cos exp 22 ()λεεδ=h cot （14）()εδδλεδh ⎛⎝ ⎫⎭⎪=cot （15）ββBi=cot （3-6）式（3-6）称为特征方程。
3.6 周期性非稳态导热
tmax 39 w2
2. 半无限大物体周期性变化边界条件下的温度波
a
2
x 2
第一类边界条件
边界条件：
x 0,
(0,：
( x , ) Aw exp( x
) cos( 2 x
aT
T
)
aT
(a)
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
相位角 角速度
x
aT
2
1x 2
T
a
(c)
T
3. 周期性变化的热流波
q w ,
x
w ,
对 ( x, ) Aw exp( x
) cos( 2 x
aT
T
)求导
aT
并令x=0，得
q w , A w
(cos 2 sin 2 )
aT
T
T
Aw
aT
1
cos
(cos 2 cos sin 2 cos )
THANKS
( x, ) Aw exp( x
) cos( 2 x
aT
T
) aT
(a)
Aw exp( x
)
aT
Aw
x处温度波 表面温度波
结论：
1）温度波的衰减
任意平面x处的振幅： A x A w exp( x
)
aT
(b )
振幅衰减度：
V A w exp( x
)
Ax
aT
2）温度波的延迟
延迟时间：
Aq Aw
2
aT
Aw
2 c 2
T
Aw
2 c
T
令：
s Aq Aw
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周期性边界条件下的非稳态导热
——边界条件作周期性变化，从而引起物体周期性加热或周期性冷却
重点：周期性非稳态导热的基本特征及其影响因素
特例：半无限大物体中的周期性不稳态导热
边界条件：)cos(βωτ-+=+w w w t t t
此时，物体中的温度分布由三部分组成：瞬变分量（随时间的延续而迅速消失）；稳态分量（即w t -，是一个常量）；准稳态分量（是叠加在w t -上的简谐波）
其中，准稳态分量（简谐波）为：)cos(φβωτθθ
--=+x 其中：波幅 )2ex p(x a t w x ω
θ-=++，随深度x 的增加，波幅按指数规律迅速衰减（推
进波的特点），材料的热扩散率a 越大，衰减越慢；
滞后角 x a 2ω
φ=，随深度x 的增加，滞后角增大；而在同一深度处，材料的热
扩散率a 越大，滞后角越小。
波动频率 π
ω2，频率越高，波幅衰减越快，滞后角越大，温度波动可以察觉的透入深度则越小（这一特性称为热工对象的高频滤波性）。
温度波在半无限大物体中的传播特性
另外，波速0
2τπa v =：表明，波速只取决于波动周期0τ和材料的热扩散率a ，而与时间 无关。
（a 大，波速亦大；0τ大则波速小）
峰值滞后时间x a 2/10)(21πττ=∆：表明深度x 处的温度波滞后于表面温度波的时间； x 处的温度达到峰值的时间也比表面温度达到峰值滞后同样的时间
结论：
半无限大平壁周期性变化边界条件下的温度波：空间上呈周期性变化且振幅衰减，时间上呈周期性变化且相位延迟；
在周期性变化的边界温度作用下半无限大介质中的温度波在深度方向呈现衰减和延迟。
当介质的热扩散率a 越大，衰减越慢（温度波的衰减度和延迟时间均减小）；
确定材料中温度波的频率越高，则温度波的振幅沿传播方向衰减越快，滞后角越大——高频滤波性。
波速只取决于波动周期0τ和材料的热扩散率a ，而与时间无关——a 大，波速亦大；0τ大则波速小）
峰值滞后时间与温度波滞后时间相同（同一位置处，a 大，滞后少；0τ大则滞后多）
一、数学模型及分析解
数学模型：
（初始条件和边界条件合二为一）
温度分布：
边界处热流通量：
二、换热特征分析 1、温度波的衰减：
，定义衰减度：
温度波衰减的影响因素 ①热扩散率ａ：热扩散系数大，波的衰减缓慢；
②温度波周期Ｔ：波动的周期越短，振幅衰减越快，所以日变化温度波
比年变化温度波衰减得快得多。
③传播距离ｘ：温度波影响越深入，波的衰减越缓慢。
2、温度波的时间延迟：体现为落后一定的相位角。
时间延迟：
温度波时间延迟的影响因素
①热扩散率ａ：热扩散系数大，波的时间延迟缓慢；
②温度波周期Ｔ：波动的周期越短，时间延迟越小；
③传播距离ｘ：温度波影响越深入，时间延迟越严重。
3、温度波向半无限大物体的传播特性
①不同时刻，相同ｘ处的温度波均是简谐波。
如图a所示。
②同一时刻半无限大物体中不同ｘ处的温度分布也是一个周期性变化的温度波，但其振幅是衰减的。
如图b所示。
4、周期性变化的热流波
周期性变化边界条件下，半无限大物体表面的热流通量也必然是周期性地从表面导入或导出，而且表面热流通量波比其温度波提前π/４相位，如图所示。