第二十四讲 单调函数的可导性课件ppt课件

第24讲 单调函数的可导性
目的：熟悉左、右导数的概念，理解 为什么单调函数几乎处处有有限导数。
重点与难点：单调函数的可导性及其 证明。
第24讲 单调函数的可导性
基本内容： 一．导数定义
问题1：回忆微积分中导数的定义，
如何判断导数是否存在？
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从数学分析知道，[a, b]上的函数 y f ( x) 在 x0 [a, b] 处的可导性等价于
f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 ) lim lim . h 0 h 0 h h 这也是我们讨论函数可导性的一个常用 的方法。因此，我们也给上面的左、右 极限一个名称，这就是
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(1) 左下、左上、右下、右上导数 定义3 设 y f ( x) 是 [a, b]上的有限 函数，x0 (a, b f ( x0 )，所 x1 ( x0 , b)} 0 以~ x 必不等于 b 。
0 k
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我们断言，必有 bk ~ x0，否则由 f (bk ) f x0 f ( ~ x0 ) 便知 bk也是右受控点，这与 bk E 矛盾。 然而，又不可能有 bk ~ x0，因为这样的 话，由 x0 ~ x0 bk 知 ~ x0 ( x0 , bk ) E， 于是又存在 x2 ( ~ x0 , b)，使 f ( ~ x0 ) f ( x2 )。 从而 f ( x0 ) f ( ~ x0 ) f ( x2 )，这与 ~ x0 的定 义矛盾。
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证明：设 E 是 f 的右控点集， ，于 x0 E 是存在 x1 ( x0 , b)，使得 f ( x0 ) f ( x1 ) 。 取 0，使 f ( x0 ) f ( x1 )，由 f 的连 续性知存在 0，当 x O( x0 , ) 时， 有 f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) ，故当 x O( x0 , ) 时，f ( x) f ( x0 ) f ( x1 )。这 就是说，O( x0 , ) 中点都是 f 的右控点， 从而 x0 是 E 的内点，即 E 是开集。
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(3) 导数值为∞的例子 1, x 0 例 设 f ( x) sgn x 0, x 0 , 1, x 0 则 f ' (0) 。 从这个例子不难看到，函数在一点有 导数并不意味着它在该点连续，上述 函数在 x 0点就是间断的。
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设 E (ak , bk ), (ak , bk ) 是 E 的构成区间， 往证对任意 x (ak , bk )，有 f ( x) f (bk )。若 不然，则有 x0 (ak , bk )，使 f ( x0 ) f (bk ) ， 由于 x0 E是右控点，故存在 x1 ( x0 , b)， 使 f ( x0 ) f ( x1 )。记 ~ x0 sup{ x1 | f ( x1 ) ，

x0点右上、右下、左上、左下导数。
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显然，f 在 x0 点有导数当且仅当
D f ( x0 ) D f ( x0 ) D f ( x0 ) D f ( x0 ) f ' ( x0 ).
当 f 在 x0 点有有限导数时，也称
f 在 x0 点可微。
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因此对任意 x (ak , bk )，必有 f ( x) f (bk )， 由的连续性知 f (ak ) f (bk )。对于左控 点集可类似证明，证毕。 不连续时，只要其不连续点都是第一类 的，也可以定义右、左控点。
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(2) 导数的存在性与可导性 上述定义与数学分析中导数定义有一点 差别。事实上，在数学分析中，讲导数 通常都是指可导，也就是说，其导数是 一个有限数，此处则不同，导数值可以 取∞，因此，当 D f D f D f D时， f 我们称 f 在该点有导数，而不说在该点 是可导的，就是由于这个缘故。
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二．单调函数的可导性 (1) 左、右控点的定义 定义4 设 f 是 [a, b]上的连续函数， x (a, b), 若存在 x' ( x, b)使得 f ( x) f ' ( x' )， 则称 x 是 f 的右受控点，简称为右控点。 若~ x (a, x) 存在，使 f ( x) f ( ~ x )， 则称 x 是 f 的左受控点，简称为左控点。
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(2) 左、右控点集的性质 问题2：为什么要引入左、右控点概念？ 其实质是什么？
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引理2(F.Riesz) 设 f 是 [a,b] 上的连续 函数，则 f 的右 ( 或左 ) 控点集 E 是 一开集，而且，若 {( ak , bk )} 是 E 的构 成区间全体，则有 f (ak ) f (bk )或 ( f (bk ) f (ak ))。
f ( x0 h) f ( x0 ) D f ( x0 ) lim h 0 h f ( x0 h) f ( x0 ) D f ( x0 ) lim h h 0

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f ( x0 h) f ( x0 ) D f ( x0 ) lim h 0 h f ( x0 h) f ( x0 ) D f ( x0 ) lim h h 0 分别称 D f , D f , D f , D f 为 f 在