第十章导数及其应用 文科版

第十章 导数及其应用

§10.1导数及其运算

一、知识导学

1.瞬时变化率：设函数)(x f y =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应地改变)()(0x f x x f y -∆+=∆，如果当x ∆趋近于0时，平均变化率

x

x f x x f x y ∆-∆+=

∆∆)

()(00趋近于一个常数c （也就是说平均变化率与某个常数c 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c 称为函数)(x f 在点0x 的瞬时变化率。

2.导数：当x ∆趋近于零时，

x

x f x x f ∆-∆+)

()(00趋近于常数c 。可用符号“→”记作：

当0→∆x 时，

x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x

x f x x f x =∆-∆+→∆)

()(lim

000，符号“→”读作“趋近于”。函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

3.导函数：如果)(x f 在开区间),(b a 内每一点x 都是可导的，则称)(x f 在区间),(b a 可导。这样，对开区间),(b a 内每个值x ，都对应一个确定的导数)(x f '。于是，在区间),(b a 内，

)(x f '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数)(x f y =的导函数。记为)(x f '或y '

（或x y '）

。4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设)(x f ，)(x g 是可导的，则

)()())()((x g x f x g x f '±'='±即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数

的和（或差）。

2）函数积的求导法则：设)(x f ，)(x g 是可导的，则

)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数

乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。

3）函数的商的求导法则：设)(x f ，)(x g 是可导的，0)(≠x g ，则

)()

()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡5.复合函数的导数:设函数)(x u ψ=在点x 处有导数)(x u x ψ'=',函数)(u f y =在点x 的对应点u 处有导数)(u f y u '=',则复合函数f y =)]([x ψ在点x 处有导数,且x u x u y y '⋅'='.

6.几种常见函数的导数：

(1))(0为常数C C =' (2))

(1

Q n nx x n n ∈='-）

（(3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =

' (6)e x

x a a log 1

)(log =' (7)x

x

e e =')( (8)a a a x

x

ln )(=' 二、疑难知识导析

1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率

2.运用复合函数的求导法则x u x u y y '⋅'=',应注意以下几点

（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.

(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，

常出现如下错误，如x x 2sin )2(cos -='实际上应是x 2sin 2-。

(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如

4

)

31(1x y -=

选成u y 1=，x w w v v u 3,1,4

=-==计算起来就复杂了。3.导数的几何意义与物理意义

导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。

4.的关系

与)()(0x f x f '' )(0x f '表示0)(x x x f =在处的导数，即)(0x f '是函数在某一点的导数；)(x f '表示函数)(x f 在某给定区间),(b a 内的导函数，此时)(x f '是在),(b a 上x 的函数，即)(x f '是在),(b a 内任一点的导数。

5.导数与连续的关系

若函数)(x f y =在0x 处可导，则此函数在点0x 处连续，但逆命题不成立，即函数

)(x f y =在点0x 处连续，未必在0x 点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条

件，而不是充分条件。

6.可以利用导数求曲线的切线方程

由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因

此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：

（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((000x x x f y y -'+=，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =.三、经典例题导讲

[例1]已知2

)2cos 1(x y +=,则='y .

错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='.

正解：设2

u y =,x u 2cos 1+=,则)

2()2sin (2)2cos 1(2'⋅-⋅='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=⋅-⋅=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='.

[例2]已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=)1)(1(2

1)1)(1(2

1)(2

x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？

错解：1)1(,1)

11(21

]1)1[(21lim 220='∴=∆+-+∆+→∆f x x x 。

分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 .

解：1)

11(21

]1)1[(21lim lim 2200=∆+-+∆+=∆∆--→∆→∆x

x x y x x