分组分解法、拆项法、待定系数法因式分解PPT幻灯片课件
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初中数学人教版九年级上册 21.2.3 因式分解法教学课件(29张PPT)
即
10x－4.9x2＝0.
①
请你试着用配方法或公式法解方程①.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0
解： x2 100 x 0， 49
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
x
50 49
2
50 49
2
，
x 50 50，
49 49
x1
100 ， 49
x2 0.
概 念 将方程左边因式分解，右边= 0.
因
式 分 依据
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0.
解
法
步 骤 1．移项；2．分解；3．转化；4．求解
谢谢各位同学的观看
基本思路
解 直接开平方
一
法
元
二 配方法
次 方 公式法
程
的 方
因式分解法
法
将二次方程化为一次方程，即降次
用平方根的意义直接进行降次
适用于部分一 元二次方程先配方，再用直接开平方法降次适用于全部一
直接利用求根公式
元二次方程
先使方程一边化为两个一次因
式乘积的形式，另一边为0， 适用于部分一
根据“若 ab = 0，
4
x1
4
3 2
2
，
x2
4
3 2
2 .
练习 7 以下是圆圆解方程 (x 3)2 2(x 3) 的具体过程： 方程两边同时除以 (x 3) ，得 x 3 2，移项，得 x 5，问 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解 答过程.
解：圆圆的解答过程有错误. 正确的解答过程：移项，得 (x 3)2 2(x 3) 0 ， (x 3)(x 3 2) 0 ， x3 0或 x5 0， x1 3 ， x2 5 .
分组分解法因式分解ppt课件
8
分组分解法因式分解 课堂小结：
1．分组分解法的几种形式是什么？ 2．因式分解的一般方法和具体步骤是什么？
9
分组分解法因式分解
课后作业：
一、把下列多项式因式分解： （1）xy2 2xy 2 y 4
(2)x3 x2 x 1 (3)3a2 6ab 3b2 12c2 二、已知：a、b、c为有理数，且满足a2 b2 c2 ab bc ac 0 试说明三角形ABC的形状。（选做）
6
分组分解法因式分解 练习：把下列多项式因式分解：
(1)4a2 b2 4a 2b (2)x2 2xy y2 1 (3)9x2 6x 2 y y2 (4)x2 y2 a2 b2 2ax 2by
7
分组分解法因式分解应用
已知：a2 b2 2a 4b 5 0,
求：a b的值。
16 (4)4x3 4x2 y 2 xy3 (5)x2 x 12
3
定义：分组分解法指通过分组分解的方式来分 解因式，当提公因式法和公式分解法无法直接 分解时用此方法。分解方式一般分为“1+3” 式和“2+2”式 .
4
分组分解法因式分解
把下列各式因式分解：
(1)x2 y2 ax ay
分解要彻 底
分组分解法因式分解精选分组分解法因式分解精选分组分解法因式分解应用精选分组分解法因式分解精选分组分解法因式分解课后作业
1
分组分解法因式分解复回 Nhomakorabea习
顾
1．如何找出多项式的公因式？ 2．因式分解可以归纳为：由 _和__的形
式化为__积__ 的形式。
2
分组分解法因式分解
3.把下列多项式因式分解： (1)8a2b2 12ab2c (2)36x2 12x 1 (3) 1 x2 4
分组分解法因式分解 课堂小结：
1．分组分解法的几种形式是什么？ 2．因式分解的一般方法和具体步骤是什么？
9
分组分解法因式分解
课后作业：
一、把下列多项式因式分解： （1）xy2 2xy 2 y 4
(2)x3 x2 x 1 (3)3a2 6ab 3b2 12c2 二、已知：a、b、c为有理数，且满足a2 b2 c2 ab bc ac 0 试说明三角形ABC的形状。（选做）
6
分组分解法因式分解 练习：把下列多项式因式分解：
(1)4a2 b2 4a 2b (2)x2 2xy y2 1 (3)9x2 6x 2 y y2 (4)x2 y2 a2 b2 2ax 2by
7
分组分解法因式分解应用
已知：a2 b2 2a 4b 5 0,
求：a b的值。
16 (4)4x3 4x2 y 2 xy3 (5)x2 x 12
3
定义：分组分解法指通过分组分解的方式来分 解因式，当提公因式法和公式分解法无法直接 分解时用此方法。分解方式一般分为“1+3” 式和“2+2”式 .
4
分组分解法因式分解
把下列各式因式分解：
(1)x2 y2 ax ay
分解要彻 底
分组分解法因式分解精选分组分解法因式分解精选分组分解法因式分解应用精选分组分解法因式分解精选分组分解法因式分解课后作业
1
分组分解法因式分解复回 Nhomakorabea习
顾
1．如何找出多项式的公因式？ 2．因式分解可以归纳为：由 _和__的形
式化为__积__ 的形式。
2
分组分解法因式分解
3.把下列多项式因式分解： (1)8a2b2 12ab2c (2)36x2 12x 1 (3) 1 x2 4
《分组分解法》课件
分组分解法的原理
原理概述
分组分解法的原理基于代数的基本性 质，通过分组和因式分解，将复杂的 多项式简化为易于处理的形式。
原理应用
在数学中，分组分解法广泛应用于解 决代数方程、不等式和函数问题。通 过分组分解，可以简化多项式的计算 过程，提高解题效率。
分组分解法的应用场景
01
02
03
代数方程
在解代数方程时，分组分 解法可以用于简化方程左 侧的多项式，使其更容易 进行因式分解或化简。
要点一
总结词
分组分解法在求解矩阵的逆时也具有重要应用，能够帮助 我们快速找到矩阵的逆。
要点二
详细描述
矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，但在某些情况下 ，直接求逆的计算量非常大。分组分解法提供了一种有效 的替代方法，通过将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后分 别求出这些子矩阵的逆，最后再组合起来得到原矩阵的逆 。这种方法在处理大型矩阵时特别有用，能够大大减少计 算时间和计算机存储空间的使用。
求解每个子问题，得到每个因式或公 因式的值。
合并子问题的解
将各个子问题的解合并起来，得到原多项式的分组分解结果 。
检查合并后的结果是否正确，确保所有项都已包含在内，且 没有重复或遗漏。
03 分组分解法的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
分组分解法在求解线性方程组中具有广 泛应用，能够简化计算过程，提高解题 效率。
实例三：求解特征值和特征向量
总结词
分组分解法在求解特征值和特征向量时同样适用，能 够简化计算过程并提高准确性。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在许 多实际问题中都有应用。然而，求解特征值和特征向量 有时会面临计算量大、精度要求高等挑战。分组分解法 提供了一种有效的解决方案，通过将原矩阵分解为若干 个子矩阵，然后分别求出这些子矩阵的特征值和特征向 量，最后再组合起来得到原矩阵的特征值和特征向量。 这种方法能够大大简化计算过程，提高求解的准确性和 效率。
中考数学复习：分组分解法 课件(共38张PPT)
练习:
1.(2005年北京中考）分解因式：
2 2 m -n +2m-2n
2.（2005年襄樊(2003年哈尔滨中考)分解因式：
2 2 x -bx-a +ab
例3、把下列各式分解因式：
(1) 2 2 2 (2) x -y - z + 2yz
(3)
2 2 4x -9y -4x+1
例2、分解因式：
－ 16x2 ＋81y2
先化为
□－△ ,再变形为(□＋△)(□－△)
(1) (2) 3ax+4by+4ay+3bx 2 (3) m +5n-mn-5m (4) 5ma+5mb-a-b
2 a +ab-ac-bc
例2、把下列各式分解因式：
(1)
2 2 x -y +ax+ay 2 2 x -a -2a+2x
(2) 2 2 (3) 4x -a -6x+3a 2 2 (4) 9m -6m+2n-n 这类多项式有何特点？
5.(2003年河南中考)如果多项式
x2-axy+y 2-b 能用分组分解法分解因
式,则符合条件的一组整数值是 a=_______,b=________.
例4、把下列各式分解因式： (1)
3 2 2 3 x +x y-xy -y 3 2 2 3 x -x y-xy +y
(2)
这类多项式有何特点？
1、分解因式的方法
例7、(1)已知三条线段a.b.c 满足a＞b, a>c, 22 2 a c ＜b +2bc 证明a.b.c为三边能够构成 三角形
2 2 2 (2)a +b +c +2ab-2ac-
【最新整理版】秋上海教育版数学七上9.16《分组分解法》ppt课件.pptx
(5) a4b+2a3b2-a2b-2ab2 (5) = ab(a+2b)(a+1)(a-1)
(6) 45am2-20ax2+20axy-5ay2
(6) =5a(3m+2x-y)(3m-2x+y)
(7) 2(a2-3mn)+a(4m-3n) (7) =(2a-3n)(a+2m)
(8) x2+x-(y2+y) (8) =(x-y)(x+y+1)
=[(a+b)-c][a-(b+c)]
课堂练习
把下列各式分解因式
(1) a2-ab+3b-3a (1) =(a-b)(a-3)
(2) x2-6xy+9y2-1 (2) =(x-3y+1)(x-3y-1)
(3) am-an-m2+n2 (3) = (m-n)(a-m-n)
(4) 2ab-a2-b2+c2 (4) =c+a-b)(c-a+b)
(a b c)(a b c)
如果把一个多项式分组后各组都 能分解因式,且在各组分解后,各组之 间又能继续分解因式,那么,这个多项 式就可以用分组分解法分解因式.
例１ 把 a2-ab+ac-bc 分解因式
分析：把这个多项式的前两项与后两项分成 两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式 正好都是a-b，这样就可以提出公因式a-b 。
【注意】
(1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新
的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组 方案是否有效要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会 使分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－ ”号的括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有 直接达到分解的目的．
七年级数学下学期课件第6讲：因式分解的其他方法
分解因式：
(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2
(86年初中数学竞赛题)
3、换元法-相同部分换元法
1).分解因式：
(x2+7x-5)(x2+7x+3)-33
(93年黑龙江省初中数学竞赛题)
3、换元法-对称式子换元法
2).分解因式：
(xy-1)2-(x+y-2xy)(2-x-y)
(98年长春市初二数学：
x4+1987x2+1986x+1987
(86年江苏省初中数学竞赛题)
3、换元法-部分式子换元法
4).分解因式：
(1+x+x2+x3)2-x3
3、换元法-和差换元法
5)、分解因式：
(a+b-2ab)(a+b-2)+(1-ab)2
(第三届部分省市初中数学通讯赛题)
因式分解其他方法
2019-3-4
因式分解其他方法
● 拆项添项法 ● 配方法 ● 换元法 ● 待定系数法
1、拆项添项法
1)分解因式：
a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc．
(91年“希望杯”全国数学邀请赛初二试 题)
2)分解因式:
x4+x3-4x2+x+1．
(91年贵州省初中数学竞赛题)
2、配方法
3、换元法-算术平均值换元法
6)、分解因式：
(x2+5x+9)(x2-3x+7)-3(4x+1)2 (91年山东省初中数学竞赛题)
4、待定系数法
已知多项式：2x37x21x 960
有因式 2x5 ， 把它因式分解。
(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2
(86年初中数学竞赛题)
3、换元法-相同部分换元法
1).分解因式：
(x2+7x-5)(x2+7x+3)-33
(93年黑龙江省初中数学竞赛题)
3、换元法-对称式子换元法
2).分解因式：
(xy-1)2-(x+y-2xy)(2-x-y)
(98年长春市初二数学：
x4+1987x2+1986x+1987
(86年江苏省初中数学竞赛题)
3、换元法-部分式子换元法
4).分解因式：
(1+x+x2+x3)2-x3
3、换元法-和差换元法
5)、分解因式：
(a+b-2ab)(a+b-2)+(1-ab)2
(第三届部分省市初中数学通讯赛题)
因式分解其他方法
2019-3-4
因式分解其他方法
● 拆项添项法 ● 配方法 ● 换元法 ● 待定系数法
1、拆项添项法
1)分解因式：
a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc．
(91年“希望杯”全国数学邀请赛初二试 题)
2)分解因式:
x4+x3-4x2+x+1．
(91年贵州省初中数学竞赛题)
2、配方法
3、换元法-算术平均值换元法
6)、分解因式：
(x2+5x+9)(x2-3x+7)-3(4x+1)2 (91年山东省初中数学竞赛题)
4、待定系数法
已知多项式：2x37x21x 960
有因式 2x5 ， 把它因式分解。
八年级数学上册-因式分解的方法汇总.ppt
因式分解的方法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本 的方法。在分解因式时一定要首先认真 观察等分解的代数式，尽可能地找出它 们的分因数（式）
方法二：公式法
(12)原式= a4 2a2b2 b4 2ab(a2 b2 ) a2b2
(a2 b2 )2 2ab(a2 b2 ) a2b2
(a2 ab b2)2
(13)证明：a4 2a2b2 b4 (a2 2ab b2 )2 2a2b2
(a2 b2 )2 (a2 b2 )2 4ab(a2 b2 ) 2a2b2 2[(a2 b2 )2 2ab(a2 b2 ) a 2b2 ] 2(a2 ab b2 )2
（3）原式=
x4 2x2 1 (x2 1) x2 (x2 1)2 2x(x2 1) x2 (x2 x 1)2
方法八：待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题 的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已 知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种 方法叫待定系数法，用待定系数法解题目的一般步骤是：
则原式=
(a 2)(a 3) 12 a2 5a 6
(a 6)(a 1)
（2）解： 原式= (x2 7x 6)( x2 5x 6) x2
(x2 6x 6 x)( x2 6x 6 x) x2
(x2 6x 6)2
（3）设x+y=a,xy=b,则原式 =a(a+2b)+(b+1)(b-1)
( y z)[x2 ( y z)x yz]
(y z)(x y)(x z)
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本 的方法。在分解因式时一定要首先认真 观察等分解的代数式，尽可能地找出它 们的分因数（式）
方法二：公式法
(12)原式= a4 2a2b2 b4 2ab(a2 b2 ) a2b2
(a2 b2 )2 2ab(a2 b2 ) a2b2
(a2 ab b2)2
(13)证明：a4 2a2b2 b4 (a2 2ab b2 )2 2a2b2
(a2 b2 )2 (a2 b2 )2 4ab(a2 b2 ) 2a2b2 2[(a2 b2 )2 2ab(a2 b2 ) a 2b2 ] 2(a2 ab b2 )2
（3）原式=
x4 2x2 1 (x2 1) x2 (x2 1)2 2x(x2 1) x2 (x2 x 1)2
方法八：待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题 的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已 知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种 方法叫待定系数法，用待定系数法解题目的一般步骤是：
则原式=
(a 2)(a 3) 12 a2 5a 6
(a 6)(a 1)
（2）解： 原式= (x2 7x 6)( x2 5x 6) x2
(x2 6x 6 x)( x2 6x 6 x) x2
(x2 6x 6)2
（3）设x+y=a,xy=b,则原式 =a(a+2b)+(b+1)(b-1)
( y z)[x2 ( y z)x yz]
(y z)(x y)(x z)
分组分解法ppt课件
(3) -x3y3-x2y2+xy
(4) -12a2m+1bm+2+20am+1b2m+4
解原式=-xy(x2y2+xy-1) 解原式=-4am+1bm+2(3am5bm+2)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
练习5: ab - 1 + a - b
解原式 = a(b + 1) - (b + 1) = (b + 1)(a - 1)
解原式 = b(a - 1) + (a - 1) = (a - 1)(b + 1)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
因式分解
(3) -x3y3-x2y2+xy
(4) -12a2m+1bm+2+20am+1b2m+4
解原式=-xy(x2y2+xy-1) 解原式=-4am+1bm+2(3am5bm+2)
因式分解时，应首先考虑能否提取
公因式，能提取公因式的，要先提取公
因式而后考虑继续分解，公因式的符号
一般应与多项式的首项的符号相同。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
因式分解
分析
在用分组分解法因式分解时，要注意分 组不能使一个多项式变为乘积形式，分 组的目的是分好的各组能提取各自的公 因式同时使各组提取公因式后剩下的多 项式又是各组的公因式，可以再提取， 从而使问题得到解决，上述规律可以通
因式分解(分组分解法)精选教学PPT课件
=21(x+y)
(2)p-q+k(p-q) 解：=(p-q)+k(p-q)
=(p-q)(1+k)
(3)5m(a+b)-a-b 解：=5m(a+b)-(a+b)
=(a+b)(5m-1)
(4)2m-2n-4x(m-n) 解：=2(m-n)-4x(m-n)
=(m-n)(2-4x)
(5)ax+2by+cx-2ay-bx-2cy 解： =(2by-2ay-2cy)+(ax+cx-bx)
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
都是x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
=a(m+n)+b(m+n)
式 乘
=a(m+n)+b(m+n)
式 分
=am+an+bm+bn 法 =(a+b)(m+n)
解
定义：
这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组 分解法 注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，
它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可 以用分组分解法来分解因式。
例１把a2-ab+ac-bc分解因式
= (a+c)(a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
(2)p-q+k(p-q) 解：=(p-q)+k(p-q)
=(p-q)(1+k)
(3)5m(a+b)-a-b 解：=5m(a+b)-(a+b)
=(a+b)(5m-1)
(4)2m-2n-4x(m-n) 解：=2(m-n)-4x(m-n)
=(m-n)(2-4x)
(5)ax+2by+cx-2ay-bx-2cy 解： =(2by-2ay-2cy)+(ax+cx-bx)
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
都是x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
=a(m+n)+b(m+n)
式 乘
=a(m+n)+b(m+n)
式 分
=am+an+bm+bn 法 =(a+b)(m+n)
解
定义：
这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组 分解法 注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，
它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可 以用分组分解法来分解因式。
例１把a2-ab+ac-bc分解因式
= (a+c)(a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
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4
因式分解的方法
基本方法
提取公因式 公式法
拓展提高
十字相乘 分组分解 以退为进 换元法、 配方法、拆项法、待定系数法
5
练习：因式分解 （1）x4+x3+x2+2 （2）2a2-7ab-22b2-5a+35b-3 （3）x2+xy-2y2+2x+7x-3
6
x2 7x 6
你能用以上某种方法把下列式子因式分解吗?
（1）x3-x2-x-2 （2）4X4+8X3-X2-8X-3
3
请问：还记得用什么方法做这道题吗?
若代数式6x2+mx-6能被3x-2整除， 试确定m的值。
你能用上述方法把下列式子因式分解吗?
（1）x3-3x-2 （2）x2+2xy+y2+x+y-2 （3）3x²＋5xy－2y²＋x＋9y－4
因式分解1Fra bibliotek请问：用什么方法把下列式子因式分解? （1） 7x2 3y xy 21x
（2） 4x2 a2 6a 9
你能用类似方法把下列式子因式分解吗?
（1）(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc
（2）a3-(b2+bc+c2)a+bc(b+c)
2
请问：能用几种方法把下列式子因式分解?
因式分解的方法
基本方法
提取公因式 公式法
拓展提高
十字相乘 分组分解 以退为进 换元法、 配方法、拆项法、待定系数法
5
练习：因式分解 （1）x4+x3+x2+2 （2）2a2-7ab-22b2-5a+35b-3 （3）x2+xy-2y2+2x+7x-3
6
x2 7x 6
你能用以上某种方法把下列式子因式分解吗?
（1）x3-x2-x-2 （2）4X4+8X3-X2-8X-3
3
请问：还记得用什么方法做这道题吗?
若代数式6x2+mx-6能被3x-2整除， 试确定m的值。
你能用上述方法把下列式子因式分解吗?
（1）x3-3x-2 （2）x2+2xy+y2+x+y-2 （3）3x²＋5xy－2y²＋x＋9y－4
因式分解1Fra bibliotek请问：用什么方法把下列式子因式分解? （1） 7x2 3y xy 21x
（2） 4x2 a2 6a 9
你能用类似方法把下列式子因式分解吗?
（1）(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc
（2）a3-(b2+bc+c2)a+bc(b+c)
2
请问：能用几种方法把下列式子因式分解?