因式分解---分组分解法 精品完整ppt课件
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分组分解法因式分解课件
详细描述
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。
《分组分解法》课件
分组分解法的原理
原理概述
分组分解法的原理基于代数的基本性 质，通过分组和因式分解，将复杂的 多项式简化为易于处理的形式。
原理应用
在数学中，分组分解法广泛应用于解 决代数方程、不等式和函数问题。通 过分组分解，可以简化多项式的计算 过程，提高解题效率。
分组分解法的应用场景
01
02
03
代数方程
在解代数方程时，分组分 解法可以用于简化方程左 侧的多项式，使其更容易 进行因式分解或化简。
要点一
总结词
分组分解法在求解矩阵的逆时也具有重要应用，能够帮助 我们快速找到矩阵的逆。
要点二
详细描述
矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，但在某些情况下 ，直接求逆的计算量非常大。分组分解法提供了一种有效 的替代方法，通过将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后分 别求出这些子矩阵的逆，最后再组合起来得到原矩阵的逆 。这种方法在处理大型矩阵时特别有用，能够大大减少计 算时间和计算机存储空间的使用。
求解每个子问题，得到每个因式或公 因式的值。
合并子问题的解
将各个子问题的解合并起来，得到原多项式的分组分解结果 。
检查合并后的结果是否正确，确保所有项都已包含在内，且 没有重复或遗漏。
03 分组分解法的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
分组分解法在求解线性方程组中具有广 泛应用，能够简化计算过程，提高解题 效率。
实例三：求解特征值和特征向量
总结词
分组分解法在求解特征值和特征向量时同样适用，能 够简化计算过程并提高准确性。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在许 多实际问题中都有应用。然而，求解特征值和特征向量 有时会面临计算量大、精度要求高等挑战。分组分解法 提供了一种有效的解决方案，通过将原矩阵分解为若干 个子矩阵，然后分别求出这些子矩阵的特征值和特征向 量，最后再组合起来得到原矩阵的特征值和特征向量。 这种方法能够大大简化计算过程，提高求解的准确性和 效率。
【北师大版】初二八年级数学下册《4.3.3 分组分解法及分解因式的方法》课件PPT
知1－练
7 把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x2＋x；
(2)xy2－2xy＋2y－4；
(3)a2－b2＋2a＋1.
解： (1)原式＝(1＋x)＋(x2＋x) ＝(1＋x)＋x(x＋1) ＝(1＋x)(1＋x) ＝(1＋x)2.
(2)原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4) ＝xy(y－2)＋2(y－2) ＝(y－2)(xy＋2)．
x
骣 ççç桫x－
4 x
÷÷÷
2 【中考·宜宾】把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，
结果正确的是( D )
A．3x(x2－4x＋4)
B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2)
D．3x(x－2)2
知2－练
3 【2016·潍坊】将下列多项式因式分解，结果中 不含有因式a＋1的是( C ) A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
解：(1) m3－2m2－4m＋8 ＝m2(m－2)－4(m－2) ＝(m－2)(m2－4) ＝(m－2)(m＋2)(m－2) ＝(m＋2)(m－2)2.
(2) x2－2xy＋y2－9 ＝(x－y)2－32 ＝(x－y＋3)(x－y－3)．
知2－练
1 知识小结
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三 “分”、四“变”的步骤，即首先看有无公因式可 提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分 组后有公因式可提或可利用公式法继续分解，若上 述方法都行不通，则可以尝试用配方法、换元法、 待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法．
知2－练
4 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式 分解： 甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组) ＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式) ＝(x－y)(x＋4)． 乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组) ＝a2－(b－c)2(直接运用公式) ＝(a＋b－c)(a－b＋c)． 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)m3－2m2－4m＋8； (2)x2－2xy＋y2－9.
分组分解法PPT课件
解：a² +2ab+b² -c² =(a² +2ab+b² )-c²
=(a+b)² -c² =[(a+b)+c][(a+b)-c]
=(a+b+c)(a43;3a-3分解因式
解：2x² -5x-ax+3a-3 =(2x² -5x-3)+(-ax+3a) =(x-3)(2x+1)-a(x-3) =(x-3)[(2x+1)-a] =(x-3)(2x+1-a)
` 定义：利用分组来分解因式的方
法叫做分组分解法。
例1、把x³ -x² +x-1分解因式。
解：x³ -x² +x-1
=(x³ -x² )+(x-1) =x² (x-1)+(x-1) =(x-1)(x² +1)
思考：本例能否按第1，3项，第2，
4项分组来分解呢？
例2 把a² +2ab+b² -c² 分解因式。
小结：1、要准确分组。 2、分解因式，一般应先考虑能否提取 公因式，然后考虑运用公式法和十字 相乘法,在不能运用上述方法分解时,再 考虑用分组分解法 3、分解因式必须进行到每个因式都不 再能分解为止。
.
7.10、分组分解法
•观察多项式:mx+my+nx+ny
。有没有公因式可提取？ 。 多项式有几项能不能直接用公式法 或十字相乘法？ •这个多项式能否进行因式分解？
mx+my+nx+ny =(mx+my)+(nx+ny) =m(x+y)+n(x+y) =(x+y)(m+n)
=(a+b)² -c² =[(a+b)+c][(a+b)-c]
=(a+b+c)(a43;3a-3分解因式
解：2x² -5x-ax+3a-3 =(2x² -5x-3)+(-ax+3a) =(x-3)(2x+1)-a(x-3) =(x-3)[(2x+1)-a] =(x-3)(2x+1-a)
` 定义：利用分组来分解因式的方
法叫做分组分解法。
例1、把x³ -x² +x-1分解因式。
解：x³ -x² +x-1
=(x³ -x² )+(x-1) =x² (x-1)+(x-1) =(x-1)(x² +1)
思考：本例能否按第1，3项，第2，
4项分组来分解呢？
例2 把a² +2ab+b² -c² 分解因式。
小结：1、要准确分组。 2、分解因式，一般应先考虑能否提取 公因式，然后考虑运用公式法和十字 相乘法,在不能运用上述方法分解时,再 考虑用分组分解法 3、分解因式必须进行到每个因式都不 再能分解为止。
.
7.10、分组分解法
•观察多项式:mx+my+nx+ny
。有没有公因式可提取？ 。 多项式有几项能不能直接用公式法 或十字相乘法？ •这个多项式能否进行因式分解？
mx+my+nx+ny =(mx+my)+(nx+ny) =m(x+y)+n(x+y) =(x+y)(m+n)
小学数学因式分解课件
帮助学生理解因式分解的概念和原理 提高学生运用因式分解解决实际问题的能力 培养学生的数学思维和逻辑思维能力 激发学生对数学的兴趣和热爱
适用对象
适用人群：小学数 学教师和学生
适用年级：小学中 高年级
适用课程：数学课 程中的因式分解部 分
适用目标：掌握因 式分解的基本方法 和技巧，提高数学 解题能力
课件特点
课件使用说明
第七章
操作说明
打开课件：双击课件文件，等待加载完成 菜单栏：点击菜单栏，选择相应功能 工具栏：使用工具栏按钮，快速执行常用操作 内容区：根据需要拖动滚动条查看内容
使用技巧
掌握因式分解的 基本概念和原理
熟悉因式分解的 常用方法
学会运用因式分 解解决实际问题
掌握课件的操作 方法和使用流程
内容丰富：涵盖了小学数学因式分解的各个方面，包括定义、原理、方法 等。
图文并茂：采用大量的图形和图片，帮助学生更好地理解因式分解的概念 和方法。
互动性强：设计了多种互动环节，如小游戏、练习题等，激发学生的学习 兴趣和参与度。
易于使用：界面简洁明了，操作方便，适合不同年龄段的小学生使用。
教学内容
第三章
感谢您的观看
汇报人：XX
因式分解的定义
因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式 因式分解是数学中的一种基本技能 因式分解有助于理解和掌握代数的基本概念和性质 因式分解在数学和其他学科中有广泛的应用
因式分解的方法
提公因式法 公式法 分组分解法 十字相乘法
因式分解的步骤
提取公因式
公式法：平方差公式， 完全平方公式
课件的设计理 念：以生动有 趣的方式呈现 因式分解的知 识点，通过丰 富的互动和实 例帮助学生理
解和掌握。
适用对象
适用人群：小学数 学教师和学生
适用年级：小学中 高年级
适用课程：数学课 程中的因式分解部 分
适用目标：掌握因 式分解的基本方法 和技巧，提高数学 解题能力
课件特点
课件使用说明
第七章
操作说明
打开课件：双击课件文件，等待加载完成 菜单栏：点击菜单栏，选择相应功能 工具栏：使用工具栏按钮，快速执行常用操作 内容区：根据需要拖动滚动条查看内容
使用技巧
掌握因式分解的 基本概念和原理
熟悉因式分解的 常用方法
学会运用因式分 解解决实际问题
掌握课件的操作 方法和使用流程
内容丰富：涵盖了小学数学因式分解的各个方面，包括定义、原理、方法 等。
图文并茂：采用大量的图形和图片，帮助学生更好地理解因式分解的概念 和方法。
互动性强：设计了多种互动环节，如小游戏、练习题等，激发学生的学习 兴趣和参与度。
易于使用：界面简洁明了，操作方便，适合不同年龄段的小学生使用。
教学内容
第三章
感谢您的观看
汇报人：XX
因式分解的定义
因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式 因式分解是数学中的一种基本技能 因式分解有助于理解和掌握代数的基本概念和性质 因式分解在数学和其他学科中有广泛的应用
因式分解的方法
提公因式法 公式法 分组分解法 十字相乘法
因式分解的步骤
提取公因式
公式法：平方差公式， 完全平方公式
课件的设计理 念：以生动有 趣的方式呈现 因式分解的知 识点，通过丰 富的互动和实 例帮助学生理
解和掌握。
七年级数学上册 9.16《分组分解法》课件
注意：如果把一个多项式的项分组并提出公 因式后，它们(tā men)的另一个因式正好相同， 那么这个多项式就可以用分组分解法来分解 因式。
第二页，共三十页。
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因
式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效
要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使 分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－”号的 括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直 接达到(dádào)分解的目的．
例２ 把2ax-10ay+5by-bx分解(fēnjiě)因 分析式：把这个多项式的前两项与后两项分
成两组，然后从两组分别提出(tí chū)公因式
2a与-b，这时，另一个因式正好都是 x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
第八页，共三十页。
还有其他(qítā)分 组的方法吗？
解： 2ax-10ay+5by-bx ： 解法 二 (jiě fǎ)
=(2ax-10ay)+(5by-bx) 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
=(x-5y)(2a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
am+bm+an-cm+bn-cn
=(am+bm-cm)+(an+bn-cn)
=m(a+b-c)+n(a+b-c)
第二页，共三十页。
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因
式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效
要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使 分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－”号的 括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直 接达到(dádào)分解的目的．
例２ 把2ax-10ay+5by-bx分解(fēnjiě)因 分析式：把这个多项式的前两项与后两项分
成两组，然后从两组分别提出(tí chū)公因式
2a与-b，这时，另一个因式正好都是 x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
第八页，共三十页。
还有其他(qítā)分 组的方法吗？
解： 2ax-10ay+5by-bx ： 解法 二 (jiě fǎ)
=(2ax-10ay)+(5by-bx) 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
=(x-5y)(2a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
am+bm+an-cm+bn-cn
=(am+bm-cm)+(an+bn-cn)
=m(a+b-c)+n(a+b-c)
14# 9.6乘法公式的再认识--因式分解(三)分组分解法
3+2+1型 型 分组后要用完全平方公式
5)9m + 4n + 6m − 12mn − 4n + 1
2 2
6)9 − 6a − 6b + (a + b)
2
2
2
7)( x − 2 y ) + 6 xz − 12 yz + 9 z
小结
1.分组后要 分组后要 型 用平方差公式 2+2型 型 2.分组后要用 3+1型 分组后要用 型 完全平方公式 3+2+1型
1) m +5m−n −5n
2 2
2)
2-3ax-6ab-4b2 x
例2.分解因式： 2.分解因式： 分解因式
1) 2-b2 2) 1+6ab-9a
2+2ab-b2 1-a
3) x − 4 + 4 y − 4 xy
2 2
4 ) x − 4 y − 9 − 12 y
2 2
2+2型 分组后要用完全平方公式
≧四项
3) (a −b ) −(x − y ) +(2ay−2bx)
4)
2+2x-y2-4y-3 x
3+3型 3.分组后要用完全平方公式
例5.分解因式： 5.分解因式： 分解因式 2-2xy+y2+4x-4y+4 1)X 2)
2-6b+b2-6a 2ab+9+a 2-4ab-2ac+4b2+4bc+c2 3)a 2-2xy-4xz+4yz+y2+4z2 4)X
分解因式： 例3. 分解因式：
1) (x - 9y ) + (4z - 4xz)
5)9m + 4n + 6m − 12mn − 4n + 1
2 2
6)9 − 6a − 6b + (a + b)
2
2
2
7)( x − 2 y ) + 6 xz − 12 yz + 9 z
小结
1.分组后要 分组后要 型 用平方差公式 2+2型 型 2.分组后要用 3+1型 分组后要用 型 完全平方公式 3+2+1型
1) m +5m−n −5n
2 2
2)
2-3ax-6ab-4b2 x
例2.分解因式： 2.分解因式： 分解因式
1) 2-b2 2) 1+6ab-9a
2+2ab-b2 1-a
3) x − 4 + 4 y − 4 xy
2 2
4 ) x − 4 y − 9 − 12 y
2 2
2+2型 分组后要用完全平方公式
≧四项
3) (a −b ) −(x − y ) +(2ay−2bx)
4)
2+2x-y2-4y-3 x
3+3型 3.分组后要用完全平方公式
例5.分解因式： 5.分解因式： 分解因式 2-2xy+y2+4x-4y+4 1)X 2)
2-6b+b2-6a 2ab+9+a 2-4ab-2ac+4b2+4bc+c2 3)a 2-2xy-4xz+4yz+y2+4z2 4)X
分解因式： 例3. 分解因式：
1) (x - 9y ) + (4z - 4xz)
因式分解ppt课件
识别多项式的系数
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
课件《因式分解》精品PPT课件_人教版2
十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 13x 42 x 6 x 7
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进
我
行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
2
-1
例1:2x2－7x+3
解：原式=(2x-1)(x-3) 1
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
沪教版(上海)初中数学七年级第一学期6分组分解法课件(1)
二、重点难点
本节的重点：运用分组分解法分解因式．
本节的难点：挑选合理的分组方案和综合
运用各种方法完成因式分解 ．
三、引入
很多多项式(四项)不能直接运用提公因 式法或直接运用公式法分解，但是，进行 分组后，就可以先在局部上，进而在整体 上运用这两种方法进行分解，使问题迎刃 而解．所以，“分组”的作用在于促进了 提公因式法和公式法的运用，使多项式从 不能分解向能分解转化．
注意，分解的 结果中，如果有相 同的因式，要写成 乘方的情势．本题 的结果不要写成 (a－b)(a－b)(a＋b)．
【注意】
(4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有 直接到达分解的目的．
(1)分组要合理：把有公因式的各项归为一组，并使 组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键，因 此，设计分组方案是否有效要有预见性. (2)分组的方法不唯一； (3)整体思想的应用 (4)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－ ”号的括号时，括号内每项的符号都要改变. (5)有相同因式写成乘方的情势 (6)检查是否分解完全
视察上面两式的特征？
ax ay bx by
定定义义：：
利用分组来分解因式的方法叫 做分组分解法。
a2 2ab b2 1
x2 2xy y2 2x 2 y - 3
一、学习目标
1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义． 2．在运用分组分解法分解因式时，会挑选合理
的分组方案． 3．能综合运用各种方法完成因式分解．
提高练习：
把下列各式分解因式：
m4 36a2 24ma 4m2
(2m 1)2 m2b2 4m2b 4m2
4. 课堂小结
（1）运用分组分解法分解因式的关键是合理 分组，要预见分组后组与组之间还能否 继续进行因式分解。分组时可进行尝试 ， 最后找到合理的分组方法。
因式分解课件ppt
代数领域
在代数领域中，因式分解可以 用于求解方程、研究函数性质
等。
几何领域
在几何领域中，因式分解可以 用于研究图形性质、证明定理
等。
数论领域
在数论领域中，因式分解可以 用于研究素数、分解质因数等
。
04
因式分解的例子
简单的例子
分解成两个或更多整数的乘积
例如: 10 = 2 x 5
中等的例子
分解成若干个整数的乘积，其中一个整数为平方数 例如: 24 = 4 x 6
因式分解课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 因式分解概述 • 因式分解的方法 • 因式分解的应用 • 因式分解的例子 • 因式分解的练习题 • 因式分解的总结与反思
01
因式分解概述
因式分解的定义
数学定义
因式分解是指将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式， 这种表示方法称为因式分解或分解因式。
日常定义
应用领域的拓展
因式分解在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，未来随着各学科的发展，其应用领 域也将不断拓展。
与其他数学知识的融合
因式分解作为数学基础知识之一，未来可能会与其他数学知识进行融合，例如与方程、不 等式等数学概念的联系和结合。
THANKS
谢谢您的观看
06
因式分解的总结与反思
因式分解的技巧总结
提公因式法
寻找各项的公共因子，将其提取出来，简化表达 式。
平方差公式
利用平方差公式将某些项进行合并和分解，进一 步简化表达式。
十字相乘法
将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，从而 得到更简单的表达式。
因式分解的难点与解决办法
无法确定公因式
对于多项式中含有特殊字母或系数时，需要灵活运用提公因式法 进行分解。
因式分解ppt课件
02
03
04
因式分解的基本概念：定义、 性质、方法等
因式分解的技巧：提公因式、 平方差公式、十字相乘法等
因式分解的应用：代数式化简 、解方程等
Hale Waihona Puke 学习方法：理论学习、练习、 小组讨论等
因式分解的应用与重要性
01
02
03
04
代数式化简
利用因式分解简化复杂的代数 式，提高计算效率
解方程
通过因式分解将方程转化为多 个简单方程，便于求解
因式分解的作用
有助于理解方程的解 法
可以用于解决一些数 学问题，如求根、解 方程等
可以将一个复杂的多 项式简化成易于理解 的形式
课程目标和学习方法
掌握因式分解的基本方法 学习如何将一个多项式分解成几个整式的乘积
通过练习，达到能够快速、准确地完成因式分解的目标
02
因式分解的基本概念
整式和因式的定义
分解6a4b3+18a3b2+12a2b
首先，我们可以发现6a4b3和18a3b2可以组合成一项，得到(6a4b3+18a3b2)，接着观察多项式，我 们可以发现12a2b可以单独列出来，所以原多项式可以分解为(6a4b3+18a3b2)+12a2b。
应用题中的例子
在一个水池设计中，需要将一个圆形的水池分割成若干个小 的区域，这时候就需要使用到因式分解的方法，将圆形水池 的面积分解成若干个小的面积之和，这样就可以更加方便地 进行设计和规划。
掌握因式分解的方法
因式分解的方法有很多种，初学者可能难以掌握。解决办 法是加强对方法的学习，可以通过大量的练习来掌握。
解决因式分解的问题
因式分解的问题可能比较复杂，初学者可能难以解决。解 决办法是加强对问题的分析，学会拆解问题，找出合适的 解决方法。
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.
因式分解
(3) -x3y3-x2y2+xy
(4) -12a2m+1bm+2+20am+1b2m+4
解原式=-xy(x2y2+xy-1) 解原式=-4am+1bm+2(3am5bm+2)
因式分解时，应首先考虑能否提取
公因式，能提取公因式的，要先提取公
因式而后考虑继续分解，公因式的符号
一般应与多项式的首项的符号相同。
.
因式分解
用两种分组方法将下列各式因式分解
2a2 - ab + 2ac - bc
解原式
解原式
=(2a2-ab)+(2ac-bc) =(2a2+2ac)-(ab+bc)
= a(2a-b)+ c(2a-b) = 2a(a+c)- b(a+c)
= (2a-b)(a+c)
= (a+c)(2a-b)
.
因式分解
.
因式分解
练习2:
ab + ac + 2a + bx + cx +
2解x 原式 = a(b + c + 2) + x(b + c + 2)
= (b + c + 2)(a + x)
.
因式分解
练习2: 2x
ab + ac + 2a + bx + cx +
解原式 = a(b + c + 2) + x(b + c + 2)
.
因式分解
(3) -x3y3-x2y2+xy
解原式=-xy(x2y2+xy-1)
提取公因式后，括号内的项数同多 项式本身的项数必须相同，当公因式为 多项式的某一项时，则括号必有1这一 项，这个1不能漏掉。
.
因式分解
(5)
6ax-9ay+2bx-3by
解原式 = ?
.
因式分解 分组分解法
.
因式分解
解原式
=
= (b +
b(a + x) +
c + 2)(a
c(a + x) +
+ x)
2(a +
x)
= (a + x)(b + c + 2)
.
因式分解
练习3:
mx + mx2 - n - nx
解原式 = mx(x + 1) - n(x + 1) = (x + 1)(mx - n)
.
因式分解
练习3:
= (b + 1)(a - 1)
.
因式分解
练习5:
ab - 1 + a - b
解原式 = a(b + 1) - (b + 1)
= (b + 1)(a - 1)
解原式 = b(a - 1) + (a - 1) = (a - 1)(b + 1)
.
因式分解
练习6:
m3 + 4m4 - 5 - 20m
mx + mx2 - n - nx
解原式 = mx(x + 1) - n(x + 1)
= (x + 1)(mx - n)
解原式 = (mx - n) + x(mx - n)
= (mx - n)(x + 1)
.
因式分解
练习4:
ab + a + b + 1
解原式 = a(b + 1) + (b + 1)
.
因式分解
解原式 = (m3 - 5) + 4m(m3 - 5)
= (m3 - 5)(1 + 4m)
.
因式分解
练习6:
m3 + 4m4 - 5 - 20m
解原式 = (m3 - 5) + 4m(m3 - 5)
= (m3 - 5)(1 + 4m)
解原式= m3(1 + 4m) - 5(1 + 4m)
= (1+4m)(m3 - 5)
分组分解法
.
因式分解
复习
(1)6a3-8a2-4a
(2)
8 27
x3y2-
4 9
xy3
解原式=2a(3a2-4a-2) 解原式=4 xy2( 2x2-y)
9
3
(3) -x3y3-x2y2+xy
(4) -12a2m+1bm+2+20am+1b2m+4
解原式=-xy(x2y2+xy-1) 解原式=-4am+1bm+2(3am5bm+2)
“分组的目的是为了提取，提取的目 的是为了再提取”。
.
因式分解
将下列各式用分组分解法因式分解
练练习习11:: ccyy
aaxx ++ bbxx ++ ccxx ++ aayy ++ bbyy ++
解原式 = x(a + b + c) + y(a + b
+ c)
= (a + b + c)(x + y)
将下列各式用分组分解法因式分解 (a + b )2 - a - b
解原式 = (a + b )2 - (a + b) =(a + b)( a + b - 1)
.
因式分解
分组
找规律
ma - mb + m2 + mn + na - nb
解原式=(ma + na) - (mb + nb) + (m2 + mn) = a(m + n) - b(m + n) + m(m + n) = (m + n)(a - b + m)
-4yz + 3x2 - 2xz + 6xy
解原式 = (6xy - 4yz) + (3x2 - 2xz) = 2y(3x - 2z) + x(3x - 2z) = (3x - 2z)(2y + x)
.
因式分解
-4yz + 3x2 - 2xz + 6xy
解原式 = (6xy - 4yz) + (3x2 - 2xz) = 2y(3x - 2z) + x(3x - 2z) = (3x - 2z)(2y + x)
解原式 = (6xy + 3x2) - (4yz + 2xz) = 3x(2y + x) - 2z(2y + x) = (2y + x)(3x - 2z)
.
因式分解
分 析 在用分组分解法因式分解时，要注意分组
不能使一个多项式变为乘积形式，分组的 目的是分好的各组能提取各自的公因式同 时使各组提取公因式后剩下的多项式又是 各组的公因式，可以再提取，从而使问题 得到解决，上述规律可以通俗的归纳成：
= (b + 1)(a + 1)
.
因式分解
练习4:
ab + a + b + 1
解原式 = a(b + 1) + (b + 1)
= (b + 1)(a + 1)
解原式 = b(a + 1) + (a + 1) = (a + 1)(b + 1)
.
因式分解
练习5:
ab - 1 + a - b
解原式 = a(b + 1) - (b + 1)
.
因式分解
将下列各式用分组分解法因式分解
练习1: cy
ax + bx + cx + ay + by +
解原式 = x(a + b + c) + y(a + b
+ c)
解原式 = a(=x +(ay)++bb+(xc+)(yx) ++ cy()x + y) = (x + y)(a + b + c)