振动理论-第二章-习题解答
大学物理振动与波练习题与答案
【解】：(1) y 5cos(20 4x) 厘米
(2) y 5cos(3t 11) 厘米
(3) y 5cos3(t 4 x 5) ， c 3 (cm/ s)
33
4
(4) y 5cos(3t 9) ， yI 15 sin(3t 9) 0
23、一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，波速 c=8 m/s， 若 t=0 时的波形曲线如图 2-23 所示 （1）写出波动方程 （2）画出 t=1.25 s 时的波形曲线 【解】：
t=0 时，y=0, v>0 cm T=5s
所以 2 。 波长= 40
y 4.0 cos[0.4t ] (cm) 2
B 点的振动方程
yA
(t)
5 c os [10
(t
20) 300
2
]
5 c os (10t
7 6
)cm
（2）
A,B 相位相同
（3） 或 O 点的振动方程
yo
(t)
5
cos(10t
2
)
(cm)
O 点相位
o
2
OB,OA 间的相位差
oA
oB
2 3
O 比 A 超前
oA
o
A
2 3
A
7 6
同时 B 点
13、已知一个谐振动的振幅 A 0.02 米，园频率 4 弧度／秒，初相 / 2 。 (1)
写出谐振动方程； (2) 以位移为纵坐标，时间为横坐标，画出谐振动曲线。
【解】： x 0.02cos(4 t 2) (m) ，
T
2
1 2
(完整版)机械振动课后习题和答案第二章习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩&&&00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=V所以：7(/)n rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=&& 其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x=-⎧⎨=⎩& （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=- 弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-V因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+& 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=&& 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩&2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+&） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩&200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
振动理论习题答案
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a＝h 2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
高中物理选修一第二章《机械振动》测试题(含答案解析)(32)
一、选择题1．某弹簧振子如图所示，其中A、B均为振子偏离平衡位置的最大位移处，O为平衡位置。
在振子由O向A运动的过程中，下列说法正确的是（）A．振子偏离平衡位置的位移方向向左B．振子偏离平衡位置的位移正在减小C．弹簧的弹性势能正在减小D．振子的速度正在减小2．振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力、合力及加速度的说法中正确的是()A．回复力为零，合力也为零B．回复力不为零，方向沿轨迹的切线C．合力不为零，方向沿轨迹的切线D．合力不为零，加速度不为零，方向指向悬点3．一弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3s时，振子第一次经过P 点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则从振子第二次经过P点算起，该振子第三次经过P点所需的时间为（）A．4s B．8s C．33s D．1.4s4．在上海走时准确的摆钟，随考察队带到北极黄河站，则这个摆钟（）A．变慢了，重新校准应减小摆长B．变慢了，重新校准应增大摆长C．变快了，重新校准应减小摆长D．变快了，重新校准应增大摆长5．有一摆长为l的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化．现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片如图所示（悬点和小钉未被拍入）．P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点间的距离为（）．A．34l B．12l C．14l D．无法确定6．甲、乙两人观察同一单摆的振动,甲每经过 3.0s 观察一次摆球的位置,发现摆球都在其平衡位置处;乙每经过 4.0s 观察一次摆球的位置,发现摆球都在平衡位置右侧的最高处,由此可知该单摆的周期不可能的是A ．0.5sB ．1.0sC ．1.5sD ．2.0s7．关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列正确的是A ．位移减小时，加速度增大，速度增大B ．位移方向总和加速度方向相反，和速度方向总相同C ．物体的速度增大时，加速度一定减小D ．物体向平衡位置运动时，速度方向和位移方向相同8．一洗衣机正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是( )①正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率大②正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小③正常工作时，洗衣机波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率④当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率A ．①④B ．只有①C ．只有③D ．②④9．某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为5sin 4x t π=(cm) ,则下列关于质点运动的说法中正确的是( )A ．质点做简谐运动的振幅为 10cmB ．质点做简谐运动的周期为 4sC ．在 t=4s 时质点的加速度最大D ．在 t=4s 时质点的速度最大10．一质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．质点振动频率是4HzB ．第3s 末质点的位移为零C ．在10s 内质点经过的路程是10cmD ．在t =2.5s 和t =4.5s 两时刻，质点速度大小相等、方向相反11．做简谐运动的物体，下列说法正确的是A ．当它每次经过同一位置时，位移可能不同B ．当它每次经过同一位置时，速度可能不同C ．在一次全振动中通过的路程不一定为振幅的四倍D．在四分之一周期内通过的路程一定为一倍的振幅12．一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，已知弹簧的劲度系数为20 N/cm，则 ( )A．图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为5 N，方向指向x轴的负方向B．图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的负方向C．在0～4 s内振子做了1.75次全振动D．在0～4 s内振子通过的路程为3.5 cm13．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图，以下说法正确的是（）A．1t时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力为零B．2t时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大C．3t时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小D．4t时刻摆球速度最小，悬线对它的拉力最大14．如图为某质点沿x轴做简谐运动的图象,下列说法中正确的是()A．在t=4s时质点速度最大,加速度为0B．在t=1s时,质点速度和加速度都达到最大值C．在0到1s时间内,质点速度和加速度方向相同D．在t=2s时,质点的位移沿x轴负方向,加速度也沿x轴负方向15．右图为同一实验中甲、乙两个单摆的振动图象,从图象可知 ()A．两摆球质量相等B．两单摆的摆长相等C．两单摆相位相差πD．在相同的时间内,两摆球通过的路程总有s甲=2s乙二、填空题16．一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置一记录纸。
振动理论课后答案
解：
模态函数的一般形式为：
题设边界条件为：
，
边界条件可化作：
，
导出C2= 0及频率方程：
，其中
解：
，
不计质量的梁上有三个集中质量，如图所示。用邓克利法计算横向振动的基频。
图
解：
当系统中三个集中质量分别单独存在时：
， ，
在图所示系统中，已知m和k。用瑞利法计算系统的基频。
图
解：
近似选取假设模态为：
系统的质量阵和刚度阵分别为：
，
由瑞利商公式：
在图所示系统中，已知k和J。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。
解：
设该简谐振动的方程为 ； 二式平方和为
将数据代入上式：
；
联立求解得
A=10.69cm； 1/s；T= s
当 时， 取最大，即：
得：
答：振动周期为；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。
1-3一个机器内某零件的振动规律为 ，x的单位是cm， 1/s。这个振动是否为简谐振动试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。
求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是 及 ，悬臂梁的质量忽略不计。
图T 2-7答案图T 2-7
解：
和 为串联，等效刚度为： 。（因为总变形为求和）
和 为并联（因为 的变形等于 的变形），则：
和 为串联（因为总变形为求和），故：
故：
由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图所示。当齿轮转动角速度为 时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为 。已知偏心重W=N，偏心距e=15.0cm，支承弹簧总刚度系数k=N/cm，测得垂直方向共振振幅 ，远离共振时垂直振幅趋近常值 。求支承阻尼器的阻尼比及在 运行时机器的垂直振幅。
《常考题》高中物理选修一第二章《机械振动》测试(有答案解析)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：127382]如图甲所示，弹簧振子以点O 为平衡位置，在A 、B 两点之间做简谐运动。
取向左为正方向，振子的位移x 随时间t 的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ）A ．0.8s t =，振子的速度为零B ．0.2s t =时，振子在O 点右侧6cm 处C ．0.4s t =和 1.2s t =时，振子的加速度均为零D ．0.4s t =到0.8s t =的时间内，振子的速度逐渐增大2．(0分)[ID ：127376]如图甲所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在光滑水平面上的A 、B 两点之间做简谐运动，A 、B 分居O 点的左右两侧的对称点。
取水平向右为正方向，振子的位移x 随时间t 的变化如图乙所示的正弦曲线，下列说法正确的是（ ）A ．0.6s t =时，振子在O 点右侧6cm 处B ．振子0.2s t =和 1.0s t =时的速度相同C ． 1.2s t =时，振子的加速度大小为223πm/s 16，方向水平向右D ． 1.0s t =到 1.4s t =的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大3．(0分)[ID ：127372]一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A 、B 两点，历时1s ，质点通过B 点后再经过1s 又第2次通过B 点，在这两秒钟内，质点通过的总路程为12cm ，则质点的振动周期和振幅分别为（ ） A ．3s ，6cmB ．4s ，6cmC ．4s ，9cmD ．2s ，8cm4．(0分)[ID ：127368]下列说法中 不正确 的是( ) A ．将单摆从地球赤道移到南(北)极,振动频率将变大B ．将单摆从地面移至距地面高度为地球半径的高度时,则其振动周期将变到原来的2倍C ．将单摆移至绕地球运转的人造卫星中,其振动频率将不变D ．在摆角很小的情况下,将单摆的振幅增大或减小,单摆的振动周期保持不变5．(0分)[ID ：127367]在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l，引力常量为G，地球质量为M，摆球到地心的距离为r，则单摆振动周期T与距离r的关系式为()A．T=2πr GMlB．T=2πrlGMC．T=2πGMr lD．T=2πlrGM6．(0分)[ID：127348]如图所示，小球在光滑水平面上的B、C之间做简谐运动，O为BC间的中点，B、C间的距离为10cm，则下列说法正确的是（）A．小球的最大位移是10cmB．只有在B、C两点时，小球的振幅是5cm，在O点时，小球的振幅是0C．无论小球在哪个位置，它的振幅都是10cmD．从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是20cm7．(0分)[ID：127333]读下表：0T/4T/23T/4T甲零正向最大零负向最大零乙零负向最大零正向最大零丙正向最大零负向最大零正向最大丁负向最大零正向最大零负向最大如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移x或速度与时刻的对应关系，T是振动周期，则下列选项中正确的是（）A．若甲表示位移x，则丙表示相应的速度vB．若乙表示位移x，则甲表示相应的速度vC．若丙表示位移x，则甲表示相应的速度vD．若丁表示位移x，则乙表示相应的速度v8．(0分)[ID：127328]光滑水平面上的弹簧振子，以O为平衡位置在A、B间做简谐运动，则下列说法中正确的是（）A．物体在A和 B 处加速度为零B．物体通过 O 点时，加速度的方向发生改变C．回复力的方向总跟物体的速度方向相反D．物体离开平衡位置 O 后的运动是匀减速运动9．(0分)[ID ：127324]如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法不正确的是（ ）A ．若两次受迫振动分别在月球和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线B ．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比12:25:4l l =C ．图线Ⅱ若是在地球上完成的，则该摆摆长约为1mD ．若摆长均为1m ，则图线Ⅰ是在地球上完成的10．(0分)[ID ：127301]某在x 轴上做简谐运动的质点的位移一时间图象如图所示，下列说法中正确的是A ．简谐运动的振幅为4cmB ．简谐运动的周期为0.3sC ．位移一时间图象就是振动质点的运动轨迹D ．质点经过图象中A 点时速度方向沿x 轴正方向11．(0分)[ID ：127300]图甲是利用沙摆演示简谐运动图象的装置．当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙在板上形成的曲线显示出沙摆的振动位移随时间的变化关系．已知木板被水平拉动的速度为0.20m/s ，图乙所示的一段木板的长度为0.80m ，则这次实验沙摆的摆长为( )（取g =π2）A ．0.56mB ．0.65mC ．1.00mD ．2.25m12．(0分)[ID ：127294]如图，O 点为弹簧振子的平衡位置，小球在B 、C 间做无摩擦的往复运动．若小球从C 点第一次运动到O 点历时0.1s ，则小球振动的周期为（ ）A ．0.1sB ．0.2sC ．0.3sD ．0.4s二、填空题13．(0分)[ID ：127485]如图所示的弹簧振子，O 点为它的平衡位置，当振子从A 点运动到C 点时，振子离开平衡位置的位移是________（选填“OC ”“AC ”或“CO ”），从A 点直接运动到C 点的过程中，振子位移变________（选填“小”或“大”），速度变________（选填“小”或“大”）。
【单元练】荆门市高中物理选修1第二章【机械振动】知识点总结(含答案)
一、选择题1．如图甲所示，弹簧振子以点O 为平衡位置，在A 、B 两点之间做简谐运动。
取向左为正方向，振子的位移x 随时间t 的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ）A ．0.8s t =，振子的速度为零B ．0.2s t =时，振子在O 点右侧6cm 处C ．0.4s t =和 1.2s t =时，振子的加速度均为零D ．0.4s t =到0.8s t =的时间内，振子的速度逐渐增大D 解析：D由图乙可知，振幅A =12cm ，周期T =1.6s ，则2 1.25rad /s Tπωπ== 故弹簧振子的振动方程为12sin1.25(cm)x t π=A ．0.8s t =时，振子在平衡位置，速度最大，故A 错误；B ．0.2s t =时，振子的位移为12sin(1.250.2)(cm)62cm x π=⨯=故B 错误；C ．0.4s t =和 1.2s t =时，振子均在最大位移处，则振子的加速度最大，故C 错误；D ．0.4s t =到0.8s t =的时间内，振子从A 向O 运动，振子的速度逐渐增大，故D 正确。
故选D 。
2．一个质点做简谐运动，其位移随时间变化的s -t 图像如图。
以位移的正方向为正，该质点的速度随时间变化的v -t 关系图像为（ ）A ．B ．C ．D ． A解析：A由s -t 图像可知，t =0时刻，质位于正的最大位移处，速度为零，而在4Tt =时刻，恰好位于平衡位置，速度为负的最大值，在2Tt =时刻，恰好位于负的最大位移处，速度刚好减为零；在34Tt =时刻，又恰好回到平衡位置，速度为正的最大值。
故选A 。
3．一个质点以O 点为平衡位置，在A 、B 间做简谐运动，如图（a ）所示，它的振动图象如图（b ）所示，设向右为正方向，下列说法正确的是（ ）A ．该质点的振动方程为0.05sin 2.5π(m)x t =B ．0.2s 末质点的速度方向向右C ．0.2~0.3s 质点做加速运动D ．0.7s 时质点的位置在O 与B 之间D 解析：DA ．该质点振动的振幅为A =5cm=0.05m ，周期T =0.8s ，则2=2.5Tπωπ= 则质点的振动方程为0.05cos2.5π(m)x t =选项A 错误；B ．0.2s 末质点在平衡位置，速度方向向左，选项B 错误；C．0.2~0.3s质点由O向A运动，做减速运动，选项C错误；D．0.7s时质点正由O向B运动，其位置在O与B之间，选项D正确。
振动理论课后题部分汇总
第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ =则 k =324EJ h设静平衡位置水平向右为正方向，则有"m x kx =-所以固有频率3n 24mh EJ p =2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ 2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θαα h l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθθF sin α2θαFhmgθFg h a l ga h l p T n 3π23π2π222=== 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 和3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=2-4求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
机械振动基础课后习题解答_第2章习题
0.5
1
1
1
1 1/ 3
u1 (t ) u2 (t)
8 4
/ /
9 9
cos(
k 2m
)t
1/9 1/ 9
cos(
2k )t m
(3) 求结构的稳态响应
m1u1(t) k1(u1(t) u2 (t)) m2u2 (t) k1(u1(t) u2 (t)) k2 (u2 (t) v(t))
0 0
(K 2M)φ 0
1
1
2 2
k J
,
2
1
2k 2 J
1 1
φ1
1/
2
,
φ2
1/
2
P88,2-6: 不计刚杆质量，按图示坐标建立运动微分方程，并求出固有频率和固有振型。
系统动能：T
1 2
mu12
1 2
2mu22
系统势能：U
1 2
k (2u1
u2 )2
1 2
k (2u2
P87,2-1: 图示用于风洞试验的翼型剖面由拉伸弹簧k1和扭转弹簧k2支承着，剖面重心G到支承点 的距离为e, 剖面绕重心的转动惯量为J0,试建立系统运动微分方程。
动能：T
1 2
m(h e )2
1 2
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机械振动 课后习题和答案 第二章 习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-= 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
中国人民大学附属中学高中物理选修一第二章《机械振动》测试题(含答案解析)
一、选择题1．如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。
开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz 。
现匀速转摇把，转速为240r/min 。
则（ ）A ．当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5sB ．当振子稳定振动时，它的振动频率是4HzC ．当转速增大时，弹簧振子的振幅增大D ．振幅增大的过程中，外界对弹簧振子做负功2．如图甲所示为以O 点为平衡位置。
在A 、B 两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（ ）A ．在0.2s t =时，弹簧振子一定运动到B 位置B ．在0.3s t =与0.7s t =两个时刻，弹簧振子的速度相同C ．从0到0.2s t =的时间内，弹簧振子的动能持续地减少D ．在0.2s t =与0.6s t =两个时刻，弹簧振子的加速度相同3．轿车的悬挂系统是由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成的支持系统。
某型号轿车的“车身—悬挂系统”的固有周期是0.5s ，这辆汽车匀速通过某路口的条状减速带，如图，已知相邻两条减速带间的距离为1.0m ，该车经过该减速带过程中，下列说法正确的是（ ）A．当轿车以30km/h的速度通过减速带时，车身上下振动的频率为2HzB．轿车通过减速带的速度大小不同，车身上下振动的幅度大小也必然不同C．轿车通过减速带的速度越大，车身上下颠簸得越剧烈D．当轿车以7.2km/h的速度通过减速带时，车身上下颠簸得最剧烈4．下列说法中不正确的是( )A．将单摆从地球赤道移到南(北)极,振动频率将变大B．将单摆从地面移至距地面高度为地球半径的高度时,则其振动周期将变到原来的2倍C．将单摆移至绕地球运转的人造卫星中,其振动频率将不变D．在摆角很小的情况下,将单摆的振幅增大或减小,单摆的振动周期保持不变5．劲度系数为20N/cm的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A点对应的时刻（）A．振子所受的弹力大小为5N，方向指向x轴的负方向B．振子的速度方向指向x轴的负方向C．在0~4s内振子作了1.75次全振动D．在0~4s内振子通过的路程为0.35cm，位移为06．关于简谐运动，下列说法中正确的是（）A．物体的位移增大时，动能减少，势能增加B．若位移为负值，则速度一定为正值加速度也一定为负值C．物体通过平衡位置时，所受合力为零，回复力为零，处于平衡状态D．物体每次通过同一位置时，其加速度相同，速度也一定相同7．摆球质量相等的甲、乙两单摆悬挂点高度相同，其振动图象如图所示，选悬挂点所在水平面为重力势能的参考面，由图可知（）A．甲、乙两单摆的摆长之比是4 9B．t a时刻甲、乙两单摆的摆角相等C ．t b 时刻甲、乙两单摆的势能差最小D ．t c 时刻甲、乙两单摆的速率相等8．如图所示，在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20cm ，弹簧处于原长时，弹簧振子处于图示P 位置，若将质量为m 的振子向右拉动5cm 后由静止释放，经0.5s 振子第一次回到P 位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是（ ）A ．该弹簧振子的振动频率为1HzB ．若向右拉动10cm 后由静止释放，经过1 s 振子第一次回到P 位置C ．若向左推动8cm 后由静止释放，振子连续两次经过P 位置的时间间隔是2sD ．在P 位置给振子任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20cm ，总是经0.5s 速度就降为09．甲、乙两人观察同一单摆的振动,甲每经过 3.0s 观察一次摆球的位置,发现摆球都在其平衡位置处;乙每经过 4.0s 观察一次摆球的位置,发现摆球都在平衡位置右侧的最高处,由此可知该单摆的周期不可能的是A ．0.5sB ．1.0sC ．1.5sD ．2.0s 10．将一个摆长为l 的单摆放在一个光滑的，倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图下列说法正确的是（ ）A ．摆球做简谐运动的回复力sin sin F mg θα=B ．摆球做简谐运动的回复力为sin mg θC ．摆球做简谐运动的周期为2sin l g πθD ．摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力为sin T mg α=11．如图1所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动．以其平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x 随时间t 的变化如图2所示，下列说法正确的是A．振子的振幅为4cmB．振子的振动周期为1sC．t=ls时，振子的速度为正的最大值D．t=ls时，振子的加速度为正的最大值12．如图所示的单摆，摆球a向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的粘性小球b发生碰撞，并粘在一起，且摆动平面不便．已知碰撞前a球摆动的最高点与最低点的高度差为h，摆动的周期为T，a球质量是b球质量的5倍，碰撞前a球在最低点的速度是b球速度的一半．则碰撞后A．摆动的周期为5 6 TB．摆动的周期为6 5 TC．摆球最高点与最低点的高度差为0.3hD．摆球最高点与最低点的高度差为0.25h13．一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，已知弹簧的劲度系数为20 N/cm，则 ( )A．图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为5 N，方向指向x轴的负方向B．图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的负方向C．在0～4 s内振子做了1.75次全振动D．在0～4 s内振子通过的路程为3.5 cm14．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图，以下说法正确的是（）A．1t时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力为零B ．2t 时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大C ．3t 时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小D ．4t 时刻摆球速度最小，悬线对它的拉力最大15．如图为某质点沿x 轴做简谐运动的图象,下列说法中正确的是( )A ．在t=4s 时质点速度最大,加速度为0B ．在t=1s 时,质点速度和加速度都达到最大值C ．在0到1s 时间内,质点速度和加速度方向相同D ．在t=2s 时,质点的位移沿x 轴负方向,加速度也沿x 轴负方向二、填空题16．一质点沿x 轴做简谐运动，其运动学方程为210sin (cm)x t T πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。
振动理论第二章习题解答
第二章习题2—1一重块100W N =，支承在平台上，如题2-1图所示。
重块下联结两个弹簧，其刚度均为20/k N cm =。
在图示位置时，每个弹簧已有初压力010F N =。
设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？题2—1图 解答：由题可知：弹簧在初始时的形变00100.520F L cm cm k === 设重块将下落h m ，则：2212.[()]W h k h L L =+- 于是： 4h cm =2-3．求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。
轴的直径为d ，剪切弹性摸量为 G ，两端固定。
圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为12l l 和。
解： 以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程 惯性力矩： J θ恢复力矩： 12p p GI GI l l +由动静法得120p p GI GI J l l θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭因此2-4 一均质等直杆AB ，重为W ，用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。
()122124322p p GI l l Jl l d I f f ωπωπ+====且由以上各式得线长为l ，两线相距为2a 。
试推导AB 杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出 其固有频率。
解：AB 杆绕重心摆动，则：()2222cos 200: 212330=: 2J a Wa F T T l lJ Fa Wa J l m m J b b Wa mlb a b f θθθϕθθθθθωωπ===+=+===+=∴==惯性力矩: 恢复力矩: 2Fa 其中 : 则 : 即 : 又有则 : 固有频率2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 N ·c ㎡，跨度为L=4m ，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。
弹簧刚度K=5kN/cm ，重块质量W=4kN,求两种弹簧的固有频率。
AB(a)(b) 解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度33()2348l mg mgl EI EI==3148l mgEIk ==（a ） 图可以看作弹簧和杆的并联11348e EI k k k k l=+=+弹簧质量系统的固有频率112f π=已知EI=2E10 N ·c ㎡, K=5kN/cm, W=4kN代入数据得111.14f Hz =（b ） 图可以看作弹簧和杆的串联121*e k k k k k =+ 所以2212e k f mπ=代入数据得2 4.82f Hz =2—9一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。
最新人教版高中物理选修一第二章《机械振动》测试题(含答案解析)(1)
一、选择题1．一弹簧振子做简谱运动，它所受的回复力F随时间t变化的图象为正弦曲线，如图所示，下列说法正确的是（）A．在t从0到2s时间内，弹簧振子做加速运动B．在t1=3s和t2=5s时，弹簧振子的速度大小相等，方向相同C．在t2=5s和t3=7s时，弹簧振子的位移大小相等，方向相同D．在t从0到4s时间内，t=2s时刻弹簧振子所受回复力做功瞬时功率最大2．如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系），则（）A．此单摆的固有周期约为2sB．此单摆的摆长约为2mC．若摆长增大，单摆的固有频率增大D．若摆长增大，共振曲线的峰将右移3．把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图所示。
不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15 s，在某电压下，电动偏心轮的转速是50 r/min。
已知增大电动偏心轮电压可使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。
为使共振筛的振幅增大，以下做法可行的是（）①降低输入电压②提高输入电压③增加筛子质量④减小筛子质量A．①③B．①④C．②③D．②④4．一个质点做简谐运动，其位移随时间变化的s-t图像如图。
以位移的正方向为正，该质点的速度随时间变化的v-t关系图像为（）A．B．C．D．5．如图是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向，从t＝0时刻起，当甲第一次到达右方最大位移处时，乙在平衡位置的（）A．左方，向右运动B．左方，向左运动C．右方，向右运动D．右方，向左运动6．在一根张紧的绳上挂着四个单摆，甲丙摆长相等，当甲摆摆动时（）A．乙摆振幅最大B．丙摆振幅最大C．丁摆频率最小D．乙摆周期最小7．如图所示，三根细线于O 点处打结，A 、B 端固定在同一水平面上相距为L 的两点上，使△AOB 成直角三角形，∠BAO =30°，已知OC 线长是L ，下端C 点系着一个小球(直径可忽略)。
《振动理论》课后习题答案
1-1一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制?解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为，x=A sin10πt；由物体的受力分析，N = 0（极限状态）物体不跳离平台的条件为：；既有，,由题意可知Hz，得到，mm。
1-2有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为cm及cm 时的速度分别为20 cm/s及cm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。
解：设该简谐振动的方程为；二式平方和为将数据代入上式：；联立求解得A=10.69cm；1/s；T=s当时，取最大，即：得：答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。
1-3 一个机器内某零件的振动规律为，x的单位是cm，1/s 。
这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。
解：振幅A=0.583最大速度最大加速度1-4某仪器的振动规律为。
此振动是否为简谐振动?试用x- t坐标画出运动图。
解：因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ω T2=2π/3ω，所以，合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。
两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。
1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为和，试求它们的合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。
解：两简谐振动分别为，，则：=3cos5t+3isin5t=5cos(5t+)+3isin(5t+)或；其合成振幅为：=其合成振动频率为5t，初相位为：=arctan 则他们的合成振动为：实部：cos(5t+ arctan)虚部：sin(5t+ arctan)1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。
解∶三角波一个周期内函数x (t)可表示为，由式得n=1，2，3……于是，得x(t)的傅氏级数1-7将题1-7图的锯齿波展为傅氏级数，并画出频谱图。
声与振动基础第二章习题精品PPT课件
声压函数
p(
x,
t
)
Re[
p(
x,
t
)]
Re[
0
(r t
,
t
)
]
Re{00[ j cos(t kx) j cos(t kx)
sin(t kx) sin(t kx)]}
00[sin(t kx) sin(t kx)]
波阻抗
Za(x)
C02 t 2
C02
▪ 代入第二式得：
2P k 2Ce jkx k 2De jkx e jt k 2P(x,t)
x2
▪ 即②也满足方程所以也为一维波动方程的正 确解。
▪ 2、（1）、理想气体的声速c是否随静压强变 化？在波动方程中c是否随瞬时声压变化？ （2）、如果理想气体遵循等温状态方程，声 速c的表达式将是怎样的？空气在20˚C时等温 波速是多少？此值与空气在20˚C时的等熵波 速相差多少？
▪ 1、证明下列表达式是一维波动方程的 正确解
▪ ① p(x, t) Ae jt sin kx Be jt cos kx
▪ ② p(x, t) Ce jkx De jkx e jt
▪ 证明：一维波动方程为
1 C2
2P t 2
2P x2
0
▪ （1）将①代入波动方程第一式可得：
1 C02
解：
20dB 20 lg
pi
20 lg pr
20 lg pi
pref
pref
pr
pi
10 pr
R
pr pi
0.1
Z2 海水c海水 Z2 海水c海水
Z2
9、由平面声波垂直入射到空气和位置特性阻 抗的无限流体的分界面平面上。若已知有一 半声能被反射，则求未知的特性阻抗。如果 有1/4的能量被反射，未知特性阻抗又是多少？
【单元练】人教版高中物理选修1第二章【机械振动】知识点(含答案解析)
一、选择题1．关于单摆，下列说法正确的是（ ） A ．物体能被看作单摆的条件是摆动时摆角要小于5︒ B ．摆角小于5︒时振动的频率与振幅无关 C ．细线拉力与重力的合力提供回复力 D ．摆动到最低点时摆球合力为零B 解析：BA ．单摆做简谐运动的条件是摆角很小要小于5°，同时物体还要可以看作质点，故A 错误；B ．根据2LT gπ=可知，单摆的周期与振幅和摆球的质量无关，与摆长和当地的重力加速度有关，故B 正确。
C ．单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力提供，故C 错误；D ．物体在摆动到最低点时摆球合力提供向心力，不为零，故D 错误。
故选B 。
2．弹簧振子的质量为M ，弹簧劲度系数为k ，在振子上放一质量为m 的木块，使两者一起振动，如图。
木块的回复力F 是振子对木块的摩擦力，F 也满足F k x =-'，x 是弹簧的伸长（或压缩）量，那么k k'为（ ）A ．m MB ．mM m+C ．MM m+D ．M mB 解析：B 【分析】对整体分析由牛顿第二定律可得出回复力的表达式；再对B 分析，即可得出m 回复力的表达式。
整体做简谐运动，则对整体有-F kx =木块做简谐运动，则对木块有-F k x ''=故F k F k =''由于木块加速度与整体加速度相同，故F M m F m+='k m k M m'=+ 故选B 。
3．如图甲所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在光滑水平面上的A 、B 两点之间做简谐运动，A 、B 分居O 点的左右两侧的对称点。
取水平向右为正方向，振子的位移x 随时间t 的变化如图乙所示的正弦曲线，下列说法正确的是（ ）A ．0.6s t =时，振子在O 点右侧6cm 处B ．振子0.2s t =和 1.0s t =时的速度相同C ． 1.2s t =时，振子的加速度大小为223πm/s 16，方向水平向右D ． 1.0s t =到 1.4s t =的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大C 解析：CA ．由图可知，该振动的振幅为12cm=0.12m ，周期为1.6s ，所以1.25r s 2ad/Tππω== 结合振动图像可知，该振动方程为()0.12sin 1.25m x t π=在0.6s t =时，振子的位移()10.12sin 1.250.6m 62cm x π=⨯=A 错误；B ．由振动图像可知，振子0.2s t =振子从平衡位置向右运动， 1.0s t =时振子从平衡位置向左运动，速度方向不同，B 错误；C ． 1.2s t =时，振子到达A 处，振子的加速度大小为222223sin 0.12()m/s 16a A t T ππωω==⨯=此时加速度方向向右，C 正确；D ． 1.0s t =到 1.2s t =的时间内振子向最大位移处运动，速度减小，加速度增大， 1.2s t =到 1.4s t =时间内振子从最大位移向平衡位置运动，则速度增大，加速度减小，D 错误。
高中物理选修一第二章《机械振动》测试题(答案解析)(2)
一、选择题1．(0分)[ID ：127376]如图甲所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在光滑水平面上的A 、B 两点之间做简谐运动，A 、B 分居O 点的左右两侧的对称点。
取水平向右为正方向，振子的位移x 随时间t 的变化如图乙所示的正弦曲线，下列说法正确的是（ ）A ．0.6s t =时，振子在O 点右侧6cm 处B ．振子0.2s t =和 1.0s t =时的速度相同C ． 1.2s t =时，振子的加速度大小为223πm/s 16，方向水平向右 D ． 1.0s t =到 1.4s t =的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大2．(0分)[ID ：127374]一个质点做简谐运动，其位移随时间变化的s -t 图像如图。
以位移的正方向为正，该质点的速度随时间变化的v -t 关系图像为（ ）A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：127369]如图所示，弹簧振子在A 、B 之间做简谐运动．以平衡位置O 为原点，建立Ox 轴．向右为x 轴的正方向．若振子位于B 点时开始计时，则其振动图像为（ ）A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：127368]下列说法中 不正确 的是( )A ．将单摆从地球赤道移到南(北)极,振动频率将变大B ．将单摆从地面移至距地面高度为地球半径的高度时,则其振动周期将变到原来的2倍C ．将单摆移至绕地球运转的人造卫星中,其振动频率将不变D ．在摆角很小的情况下,将单摆的振幅增大或减小,单摆的振动周期保持不变5．(0分)[ID ：127366]某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x 随时间t 变化的函数关系式为sin x A t ω=，振动图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）A ．弹簧在第1s 末与第3s 末的长度相同B ．简谐运动的圆频率rad /s 4πω=C ．第3s 末振子的位移大小为22A D ．从第3s 末到第5s 末，振子的速度方向发生变化6．(0分)[ID ：127365]如图所示，两长方体木块A 和B 叠放在光滑水平面上，质量分别为m 和M ，A 与B 之间的最大静摩擦力为0f ，B 与劲度系数为k 的水平轻质弹簧连接构成弹簧振子。
【单元练】宁波效实中学高中物理选修1第二章【机械振动】知识点(含答案解析)
一、选择题1．一弹簧振子做简谱运动，它所受的回复力F随时间t变化的图象为正弦曲线，如图所示，下列说法正确的是（）A．在t从0到2s时间内，弹簧振子做加速运动B．在t1=3s和t2=5s时，弹簧振子的速度大小相等，方向相同C．在t2=5s和t3=7s时，弹簧振子的位移大小相等，方向相同D．在t从0到4s时间内，t=2s时刻弹簧振子所受回复力做功瞬时功率最大C解析：CA．在t从0到2s时间内，回复力逐渐变大，说明振子逐渐远离平衡位置，做减速运动，A 错误；B．在t1=3s和t2=5s时，弹簧振子的速度大小相等，方向相反，B错误；C．在t1=5s和t2=7s时，回复力相等，根据公式=-F kx所以位移相同，C正确；D．在t从0到4s时间内，t=2s时刻弹簧振子的速度为零，所以功率为零，D错误。
故选C。
2．如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆。
当a摆振动的时候，其余各摆在a摆的驱动下也逐步振动起来，不计空气阻力，达到稳定时，b摆的振动图像如图乙。
下列说法正确的是（）A．稳定时b摆的振幅最大B．稳定时b摆的周期最大C．由图乙可以估算出b摆的摆长D．由图乙可以估算出c摆的摆长D解析：DA ．a 与c 的摆长接近，它们的固有频率接近，在a 摆的驱动下，稳定时c 摆的振幅最大，所以A 错误；B ．bc 摆是在a 摆的驱动下振动起来的，则b 的周期等于外力周期，稳定时abc 摆的周期都相同，所以B 错误；CD ．根据单摆的周期公式2l T gπ= 解得 224T g l π= 由图像可得a 摆周期，则可以算出a 摆的摆长，估算出c 摆的摆长，所以C 错误；D 正确；故选D 。
3．如图1所示，轻弹簧下端固定在地上，上端连接一个钢球，把钢球从平衡位置向下压一段距离A ，由静止释放。
以钢球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立x 轴，当钢球在做简谐运动过程中某一次经过平衡位置时开始计时，钢球运动的位移-时间图象如图2所示。
【单元练】江苏省苏州中学高中物理选修1第二章【机械振动】经典习题(含答案解析)
一、选择题1．劲度系数为20N/cm的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A点对应的时刻（）A．振子所受的弹力大小为5N，方向指向x轴的负方向B．振子的速度方向指向x轴的负方向C．在0~4s内振子作了1.75次全振动D．在0~4s内振子通过的路程为0.35cm，位移为0A解析：AA．由图可知A在t轴上方，位移x=0.25cm，所以弹力=-=-F kx5N即弹力大小为5N，方向指向x轴负方向，A正确；B．由图可知过A点作图线的切线，该切线与x轴的正方向的夹角小于90°，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，B错误；C．由图可看出，t=0、t=4s时刻振子的位移都是最大，且都在t轴的上方，在0～4s内经过两个周期，振子完成两次全振动，C错误。
D．由于t=0时刻和t=4s时刻振子都在最大位移处，故位移为零，又由于振幅为0.5cm，在0～4s内振子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为s=2×4×0.50cm=4cmD错误。
故选A。
2．如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（）A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则图线II是月球上的单摆共振曲线B．图线II若是在地球表面上完成的，则该摆摆长约为2mC．若摆长约为1m，则图线I是在地球表面上完成的D．若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则两次摆长之比为l1：l2= 25：4D解析：DA ．共振时，单摆的周期与驱动力的周期相同，由2lT gπ=可知，单摆在地球上的周期小于月球周期，在地球上的频率大于月球上的频率，故地球上共振时驱动力的频率大于月球上驱动力的频率，故图像II 是地球上的单摆共振曲线，故A 错误； B ．由图中可知，单摆的频率为0.5Hz f =，故周期为2s T =，由2lT gπ=可知，摆长为221m 4gT l π=≈ 故B 错误；C ．若摆长约为1m ，由B 中分析可知，单摆频率为0.5Hz ，故图像II 是在地球表面完成的，故C 错误；D ．共振时，单摆的频率分别为0.2Hz 和0.5Hz ，由112gf T lπ==可得， 21221254l f l f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故D 正确； 故选D 。
高中物理选修一第二章《机械振动》测试(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：127388]如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅A 与驱动力频率f 的关系），则（ ）A ．此单摆的固有周期约为2sB ．此单摆的摆长约为2mC ．若摆长增大，单摆的固有频率增大D ．若摆长增大，共振曲线的峰将右移2．(0分)[ID ：127382]如图甲所示，弹簧振子以点O 为平衡位置，在A 、B 两点之间做简谐运动。
取向左为正方向，振子的位移x 随时间t 的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ）A ．0.8s t =，振子的速度为零B ．0.2s t =时，振子在O 点右侧6cm 处C ．0.4s t =和 1.2s t =时，振子的加速度均为零D ．0.4s t =到0.8s t =的时间内，振子的速度逐渐增大3．(0分)[ID ：127374]一个质点做简谐运动，其位移随时间变化的s -t 图像如图。
以位移的正方向为正，该质点的速度随时间变化的v -t 关系图像为（ ）A．B．C．D．4．(0分)[ID：127371]如图是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向，从t＝0时刻起，当甲第一次到达右方最大位移处时，乙在平衡位置的（）A．左方，向右运动B．左方，向左运动C．右方，向右运动D．右方，向左运动5．(0分)[ID：127354]关于简谐运动，下列说法中正确的是（）A．物体的位移增大时，动能减少，势能增加B．若位移为负值，则速度一定为正值加速度也一定为负值C．物体通过平衡位置时，所受合力为零，回复力为零，处于平衡状态D．物体每次通过同一位置时，其加速度相同，速度也一定相同6．(0分)[ID：127347]下列关于简谐运动的说法，正确的是（）A．只要有回复力，物体就会做简谐运动B．物体做简谐运动时，加速度最大，速度也最大C．物体做简谐运动时，速度方向有时与位移方向相反，有时与位移方向相同D．物体做简谐运动时，加速度和速度方向总是与位移方向相反7．(0分)[ID：127337]如图所示，竖直面上有一半径较大的圆弧轨道，最低点为M点，有三个小球A、B、C（可视为质点），A球位于圆心处，B球位于弦轨道MN的顶端N点，C 球位于圆弧轨道上极其靠近M的地方。
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第二章习题2—1 一重块100W N =，支承在平台上，如题2-1图所示。
重块下联结两个弹簧，其刚度均为20/k N cm =。
在图示位置时，每个弹簧已有初压力010F N =。
设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？k k题2—1图 解答：由题可知：弹簧在初始时的形变00100.520F L cm cm k === 设重块将下落h m ，则：2212.[()]W h k h L L =+-于是：4h cm =2-3．求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。
轴的直径为d ，剪切弹性摸量为 G ，两端固定。
圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为12l l 和。
解： 以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程惯性力矩： J θ&&恢复力矩： 12p p GI GI l l +由动静法得120p p GI GI J l l θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭&& 因此2-4 一均质等直杆AB ，重为W ，用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。
线长为l ，两线相距为2a 。
试推导AB 杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出其固有频率。
AB()122124322p p GI l l Jl l d I f f ωπωπ+====且由以上各式得解：AB 杆绕重心摆动，则：()2222cos 20: 212330 =: 2J a Wa F T T l l J Fa Wa J l m m J b b Wa mlb a b f θθθϕθθθθθωωπ===+=+===+=∴==g gg gg g g g g g 惯性力矩: 恢复力矩: 2Fa其中 : 则 : 即 : 又有则 : 固有频率2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 N ·c ㎡，跨度为L=4m ，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。
弹簧刚度K=5kN/cm ，重块质量W=4kN,求两种弹簧的固有频率。
(a)(b) 解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度33()2348l mg mgl EI EI==V3148l mg EI k ==V（a ） 图可以看作弹簧和杆的并联11348e EIk k k k l=+=+弹簧质量系统的固有频率112f π=已知EI=2E10 N ·c ㎡, K=5kN/cm, W=4kN代入数据得111.14f Hz =（b ） 图可以看作弹簧和杆的串联121*e k k k k k =+所以212f π=代入数据得2 4.82f Hz =2—9一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。
试求系统的相对阻尼系数ζ。
【解】 由（2-33）式得15()5162T A e e A ζωδ=== 两端取对数，得12ln 25()1T ζωωζ==-则：22222ln 2ln 210110010.0221ζπζπζζ=⇒=--⇒=2—10 列出题2—10图所示系统的振动微分方程，并计算其振动频率。
解：系统运动时的受力如上所示由动静法原理可得：002222=⋅⋅+⋅⋅+⋅⇒=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⇒=∑x lb k x l ac x m b x lbk a x l a c l x m A &&&&&&令22l ca C e = ， 22lkb K e =则mwC e 2=ξ ，m k l b W m K W e ⋅=⇒=2振动频率：242222222421211c a b kml mlm k l b wml a c W W d -=⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-=ξ2—11如题2—1图所示轴承，轴的直径2,40d cm l cm ==剪切弹性模量628*10/G N cm =。
圆盘饶对称轴的转动惯量为10J kN =·cm ·2s ,并在5sin 2M t ππ=(kN ·cm)的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。
2-11解：惯性力矩 J θ••恢复力矩 2p GI l微分方程 25sin 2p GI J t lθππ••+=所以，振幅 252(2)p B GI J lππ=-已知2,40d cm l cm == ，628*10/G N cm =，10J kN =·cm ·2s ,代入数据得 0.0672B rad =2—12 已知一弹簧系统，质量块重N W 196=，弹簧刚度cm N k /20=，作用在质量块上的力为t F 19sin 16=，而受阻力为v R 56.2=。
R F 、的单位均为N ，t 的单位为v s ，的单位为s cm /。
求（1）忽略阻力时，质量块的位移和放大因子；（2）考虑阻力时，质量块的位移和放大因子。
解： 系统运动方程为： tF kx x c x m 00sin ω=++&&&系统的稳态响应：222002)2()1()sin()(ζλλϕω+--=t kF t x其中：9.11968.910201920=⨯⨯==ωωλ4002cm c ==ωζ)12arctan(2λζλϕ-=忽略阻力时，即，,0=c 则 00==ϕζ，放大因子：383.0211222=+-=）（）（ζλλβ则系统的响应为：t t k F t x 19sin 306.0sin )(002=⋅=ωβ（2）考虑阻力时，则：cm s N c /56.2⋅= 164.0-=rad ζ放大因子：28.0)2()1(1222=+-=ζλλβ75.0-=ϕ则系统的响应为：)75.019sin(224.0)sin()(002-=-⋅=t t k F t x ϕωβ2—13 一有阻尼的弹簧质量系统，其固有频率为12s -，弹簧刚度为30/k N cm =，黏性阻尼系数./c N s cm =。
求在外力20cos3()F t N =作用下的振幅和相位角。
解答：由题可知：032ωλω== ；015*30.5222*30*1.5c c m k ωζωλ==== 由于 020F N =则00.342F B cm k == '22arctan()129481ζλϕλ==-o 2---14 试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件0t =，0x ='0x =0和质量块上受有F =0sin F t ω时的响应。
解：阻尼较小时，即1ξ<，系统响应为0(cos sin )sin()td d x eC tD t B t ξωωωωϕ-=++- '00(cos sin )(sin cos )cos()t t d d d d x e C t D t e C t D t B t ξωξωξωωωωωωωϕ--=-++-++-其中，22arc tan1B ξλϕλ==- 代入初始条件0x ='0x =0，解得 00sin ,(sin cos )BC BD ϕξωϕωϕω==-因此，系统响应为001[sin cos (sin cos )sin ]sin()}t d d dx e t t t ξωϕωξωϕωϕωωϕω-=+-+-2—15 一电动机装置在由螺旋弹簧所支承的平台上，电动机与平台总质量为100kg ， 弹簧的总刚度k=700N/cm 。
电动机轴上有一偏心质量为1kg ，偏心距离e=10cm ，电机转速n=2000r/min ，求平台的振幅。
解：由公式02n ωπ=得02n ωπ==22000200//603rad s rad s ππ⨯=该系统的振动为偏心振动，故运动微分方程可写为：200sin Mx cx kx me t ωω++=&&&式中，100,1,10,0M kg m kg e cm c ====圆频率/s ω=== （）频率比079.161ωλω===>> 设稳态响应0sin()x B t ωϕ=-则，由公式2B =（0ζ=）0.102B cm =2-17 写出题2-17图所示系统的振动微分方程，并求出稳态振动的解。
ta x s 0sin ω=题2-17图解：系统运动微分方程为：tka kx x c x m 0...sin ω=++方程的解可表示为：)()()(21t x t x t x +=其中)(2t x 为方程的特解，亦即稳态振动的解，令其形式为：)sin()(02ϕω-=t B t x将)(2t x 及其一阶、二阶导数代入运动微分方程，整理得：20220)()(ωωc m k kaB +-=令 λωω=/0 ，则220λω=km ，λζω20=k c ，从而得222)2()1(ζλλ+-=aB于是得系统的稳态响应为：22202)2()1()sin()(ζλλϕω+--=t a t x相应地求得相位角：⎪⎭⎫⎝⎛-=212arctan λζλϕ2-20 试写过如题2-20图所示结构系统的振动微分方程，并求出系统的固有频率，相对阻尼系数和稳态振动的振幅。
解：)sin()(t w a x x x k x c x m o s s =---=&&&得t w ka kx x c x m o sin =++&&&∑=;0OMl m l m 2'⋅=；θk x ='；则 方程转化为 t w ka kx x c x m 0sin 24=++&&&m k w c =，c m w w 21= 222)2()1(2'2λξλ+-==aB B2-21 一弹簧质量系统在如题2-21图所示的激振力作用下作强迫振动。
试求其稳定振动的响应。
xπ/ω02π/ω03π/ω04π/ω0 y1-1解：先将()F t 分解为各简谐激励，并计算傅立叶系数由图可知，激励的均值02a = ()0034430000442cos 222cos cos cos 23sin sin 22Tj T TTT T a F t j tdtT j tdt j tdt j tdt T T T j j j ωωωωπππ==-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ()0034430000442cos 222sin sin sin 23cos cos 220Tj T TTT T b F t j tdtT j tdt j tdt j tdt T T T j j j ωωωωπππ==-+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰ ()01000000cos 444cos cos3cos51.27cos 1.27cos3 1.27cos5j j F t a j tt t t t t t ωωωωπππωωω∞=∴==-++=-++∑L L0021Tπωωωω==∴=Q∴系统的响应为()021000222100cos 1cos cos3cos51.27 1.27 1.27lim113150.160.05cos3cos5j j j a j t x k t t tk k k t t k k λωλωωωλωω∞=→=-=-++---=-∞+-+∑L L2—22 一弹簧质量系统如题2—22图所示的激振里作用下作强迫振动。