第五讲 范式及其应用

二、范式的存在定理
1、范式存在定理
• 任何命题公式都存在着与其等值的析取范式 和合取范式。 和合取范式。
2、优范式唯一存在定理
• 任何命题公式都有一个唯一的优合取范式和 一个唯一的优析取范式。 一个唯一的优析取范式。
三、范式的求法
1、求析取范式和合取范式的步骤
1、销去→和 ↔ 、销去→
(1) p →q换以﹁p ∨q 换以﹁ 换以 (2)p↔ q换以 换以(p ∧q) ∨(﹁p∧﹁q)或（﹁p∨q）∧ （p∨﹁q） 换以 ﹁ ∧ 或 ∨ ） ∨ ）
四、范式的作用
例1：用优合取范式判别公式 ：p∧（p →q）和公 ：用优合取范式判别公式A： ∧ ） 式B： ﹁（p →﹁ q）是否等值。 ： ）是否等值。 例2：化简 ∧（p∨q）。 ：化简p∧ ）。 例3：化简 ∧（﹁ p∨q）。 ：化简p ）。 例4：化简（p → ﹁ q） →（p ↔﹁ q）。 ：化简（ ） ）。
一、关于范式的主要概念
2、简单析取和简单合取
简单析取——其支命题是命题变项或命题变项的否定 ◆ 简单析取 其支命题是命题变项或命题变项的否定 的析取式。 的析取式。 一个简单析取是重言式， 一个简单析取是重言式，当且仅当它至少含有一对这样的析取 支， 其中一个是某变项，而另一个是它的否定。 其中一个是某变项，而另一个是它的否定。 简单合取——其支命题是一个个的命题变项或命题变项的否定的 ◆简单合取 其支命题是一个个的命题变项或命题变项的否定的 合取式。 合取式。 一个简单合取是矛盾式， 一个简单合取是矛盾式，当且仅当它只至少含有一对这样的合 取支，其中一个是某变项，而另一个是它的否定。 取支，其中一个是某变项，而另一个是它的否定。
2、合取范式的作用
可以判别任意命题公式是否为重言式。 可以判别任意命题公式是否为重言式。 用范式方法求证（ → ） → ） 例：用范式方法求证（p→q）→（﹁q→﹁p）是否为 重言式。 重言式。
四、范式的作用
3、优析取范式的作用
（1）可以判别任一命题公式是不是矛盾式。 ）可以判别任一命题公式是不是矛盾式。 （2）可以完全地表现出任一命题公式的真假条件。 ）可以完全地表现出任一命题公式的真假条件。 （3）可以表明任意两个命题公式之间是否等值。 ）可以表明任意两个命题公式之间是否等值。 （4）可以对命题公式进行化简。 ）可以对命题公式进行化简。
一、关于范式的主要概念
3、范式的种类
析取范式
优析取范式
范式
合取范式 优合取范式
一、关于范式的主要概念
3、范式的种类
◆ 析取范式 ——其支命题都是简单合取的析取式。 其支命题都是简单合取的析取式。 其支命题都是简单合取的析取式 ◆ 合取范式 ——其支命题都是简单析取的合取式。 其支命题都是简单析取的合取式。 其支命题都是简单析取的合取式
三、范式的求法
例1：求p →（p→q）∧ ﹁（p→﹁q）的优析取范式。 ： → ） → ）的优析取范式。 例2：求（﹁p →r）∧（q ： ）
↔
p）的优合取范式。 ）的优合取范式。
四、范式的作用
1、析取范式的作用
1) 可以判别任一命题公式是不是矛盾式。 可以判别任一命题公式是不是矛盾式。 2）可以部分地表现出任一命题公式的真假条件。 ）可以部分地表现出任一命题公式的真假条件。
个简单析取里都出现； 个简单析取里都出现；
（2）范式中不存在永真的简单析取； ）范式中不存在永真的简单析取； （3）在简单析取中没有相同的命题变项； ）在简单析取中没有相同的命题变项； （4）没有相同的简单析取； ）没有相同的简单析取； （5）范式中的命题变项及其否定按字母表顺序排列。 ）范式中的命题变项及其否定按字母表顺序排列。
4、优合取范式的作用
（1）可以判别任一命题公式是否为重言式。 ）可以判别任一命题公式是否为重言式。 （2）可以表明任意两个命题公式之间是否等值。 ）可以表明任意两个命题公式之间是否等值。 （3）可以表明任一命题公式的所有可能的全部逻辑推断。 ）可以表明任一命题公式的所有可能的全部逻辑推断。 （4）可以对命题公式进行化简。 ）可以对命题公式进行化简。 公式A和公式 是等值的 当且仅当A的优合 的优合(析 取范式 公式 和公式B是等值的，当且仅当 的优合 析)取范式 和公式 是等值的， 的优合（ 取范式是同一的。 和B的优合（析）取范式是同一的。 的优合
2、销去规则 、
换以p； （1） p ∨ p ↔ p， p ∨ p 换以 ； ） ， p ∧p ↔ p， p ∧p 换以 ； 换以p； ， （2）p ∧(q ∨﹁q)； ） ； 换以p； （3）p∨(q ∧﹁q)换以 ； ） ∨ 换以
3、排列规则 、
根据交换律和结合律把变项与它的否定按字母的顺序排列。 根据交换律和结合律把变项与它的否定按字母的顺序排列。
一、关于范式的主要概念
优析取范式： 优析取范式：
（1） 如果某一命题变项在范式中出现，那么它要在每一个 ） 如果某一命题变项在范式中出现， 简单合取里都出现； 简单合取里都出现； （2） 范式中不存在永假的简单合取； ） 范式中不存在永假的简单合取；
（3） 在简单合取中没有相同的命题变项； ） 在简单合取中没有相同的命题变项； （4） 没有相同的简单合取； ） 没有相同的简单合取；
第五讲 范式
一、关于范式的主要概念 二、范式的存在定理 三、范式的求法 四、范式的作用
一、关于范式的主要概念
1、什么是范式
◆
Leabharlann Baidu
如果命题逻辑公式只包含联结词∧ 如果命题逻辑公式只包含联结词∧、∨和 ﹁， 并且其中否定符号﹁只属于一个变项， 并且其中否定符号﹁只属于一个变项，那么 它就是范式。 它就是范式。
（5） 范式中的命题变项及其否定按字母表顺序排列，其顺 ） 范式中的命题变项及其否定按字母表顺序排列， 序一般为p， 序一般为 ， ﹁ p，q，﹁ q，r，﹁ r，s，﹁ s， ， ， ， ， ， ， ， p1，﹁ p1，……。 ， ， 。
一、关于范式的主要概念
优合取范式： 优合取范式：
（1）如果某一命题变项在范式中出现，那么它要在每一 ）如果某一命题变项在范式中出现，
三、范式的求法
的合取范式。 例1：求（（ →q）∧p）→q的合取范式。 ： （（p→ ） ） 的合取范式 例2：求﹁（p ↔ ﹁p）的析取范式。 ： ）的析取范式。
三、范式的求法
2、优范式求法
1、展开规则 、
换以p （1）据p ↔ p ∧(q ∨﹁q)，p换以 ∧(q ∨﹁q)； ） ， 换以 ； 换以p∨ （2）据p ↔ p∨(q ∧﹁q)， p换以 ∨(q ∧﹁q)。 ） ∨ ， 换以 。
2、否定号的内移和销去 、
(1) ﹁﹁ 换以 ； ﹁﹁p换以 换以p； （2）﹁（p∨q）换以﹁p ∧ ﹁ q; ） ∨ ）换以﹁ (3) ﹁(p ∧ q)换以﹁p∨﹁ q. 换以﹁ ∨ 换以
3、合取和析取的置换 、
（1）合取和析取的各支可相互交换； ）合取和析取的各支可相互交换； （2）依需要可改变合取和析取支的次序； ）依需要可改变合取和析取支的次序； （3）据分配律 ） p ∨ (q ∧ r)换以（p ∨ q） ∧ （p ∨ r）； 换以（ 换以 ） ）； p ∧ (q ∨r)换以（p ∧ q） ∨ （p ∧ r） 换以（ 换以 ） ）