例1已知函数fx的图像关于原点对称其中mn为实常数。

例1．已知函数f (x )=))(6(3)4(23R x n mx x m x ∈-+--+的图像关于原点对称，其中m,n 为实常数。 (1) 求m , n 的值；

(2) （2）试用单调性的定义证明：()f x 在区间[2,2]-上是单调函数.

例2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足, 22(25)(21)f a a f a a -+-<++求实数a 的取值范围。

例3．判断下列函数的奇偶性：

10)(1)()()0(0)10)

n x f x f x x n x ⎧>⎪===⎨⎪

<⎩

2(3)()11)f x og =

例4．（1）)(x f 是定义在R 上的奇函数,它的最小正周期为T, 则)2

(T

f -

的值为 （2）定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，(0)0f ≠，

且(1)0f =，则()f x 是以 为一个周期的周期函数.

（3）已知定义在R 上的函数y= f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )=2x －1，

当x ∈[－4，0]时，f (x )的表达式为.___________

练习题 一、选择题 1．若函数1

()21

x f x =

+, 则该函数在(,)-∞+∞上是 A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值 2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 A ．(-∞,2)

B ．(2,+∞)

C ．(-∞,-2)

(2,+∞)

D ． (-2,2)

3．给出下列函数：①3x x y -=，②x x x y cos sin +⋅=，③x x y cos sin ⋅=， ④x

x y -+=22，

其中是偶函数的有 A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

4．函数f (x )、f (x +2)均为偶函数，且当x ∈[0，2 ]时，f (x )是减函数，设),2

1

(log 8f a =b= f (7.5)，c= f (-5), 则a 、b 、c 的大小是

A ．a > c > b

B ．a >b>c

C ．b>a > c

D ．c> a >b

5．若f (x )是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数, 又(3)0f -=，则x ·f (x )＜0的解集是

A ．{x |-3＜x ＜0或x ＞3}

B ．{x |x ＜-3或0＜x ＜3} C. {|33}x x x -<>或 D.{|303}x x x -<<<<或0 6．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上是减函数，那么下述式子中正确的是 A ．)1()4

3

(2

+-≥-a a f f B ．)1()4

3(2

+-≤-a a f f C ．)1()4

3(2

+-=-a a f f D ．以上关系均不确定 7．)(x f 是定义在R 上，以2为周期的偶函数，]0,1[,)(,]3,2[-∈=∈x x x f x 则当时 时,)(x f 的表达式为 A ．4+x B ．x +-2 C ．2|1|++x D ．3|1|++-x

8．对于函数f x ()=1g

x

x

-+11的奇偶数性，下列判断中正确的是 A ．是偶函数 B ．是奇函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 9．奇函数y = f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）= x -1，则函数f （x -1）的图象为

10．设f (x )为奇函数，对任意x ∈R ，均有f (x +4)=f (x )，已知f (-1)=3，则f (-3)等于 A ．3 B ．-3 C ．4 D ．-4 11．设函数f (x )是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝2a －3

a ＋1，则

A ．a ＜23

B ．a ＜23且a ≠-1

C ．a ＞23或a ＜-1

D .-1＜a ＜2

3

12．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 A ．()sin f x x = B ．()1f x x =-+ C ．()1()2x x f x a a -=+ D ．2()ln 2x

f x x

-=+ 二、填空题

13．设偶函数f (x )在),0[+∞上为减函数，则不等式f (x )> f (2x+1) 的解集是 14．若函数f (x )=4x 3－ax +3的单调递减区间是)2

1

,21(-，则实数a 的值为 . 15．若函数)2(log )(22a x x x f a ++

=是奇函数，则a =

16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y=f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_________.

三、解答题

17．已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)

(1

x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论。

18．设函数322()3(1)1f x kx k x k =+--+，

（1）当k 为何值时，函数f (x )单调递减区间是（0，4）； （2）当k 为何值时，函数f (x )在（0，4）内单调递减。

19．已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y = f (x ) (－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在 ［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时函数取得最小值，最小值为－5。 （1）证明：f (1)+f (4)=0；

（2）试求y =f (x )在［1，4］上的解析式； （3）试求y =f (x )在［4，9］上的解析式。

（五）函数的单调性、奇偶性与周期性参考答案

（三）、例题讲评