等式与不等式专题

等式与不等式的性质专题

1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.

2.有关分数的性质

(1)若a>b>0，m>0，则b a b －m a －m

(b －m>0). (2)若ab>0，且a>b ⇔1a <1b

.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )

(2)a ＝b ⇔ac ＝bc.( )

(3)若a b

>1，则a>b.( ) (4)0

.( )

【教材衍化】

2.(必修5P74例1改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )

A.a d ＞b c

B.a d ＜b c

C.a c ＞b d

D.a c ＜b d

3.(必修5P75A2(2)改编)比较两数的大小：7＋10______3＋1

4.

【真题体验】

4.(2018·衡阳联考)若a ，b ，c 为实数，且a

A.ac 2

B.1a <1b

C.b a >a b

D.a 2>ab >b 2

5.(2017·北京卷改编)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则a ＋b >c ”说法不正确的一组整数a ，b ，c 的值依次为________.

6.(2019·运城模拟)若－π2<α<β<π2

，则α－β的取值范围是________.

【考点聚焦】

考点一 比较两个数(式)的大小

【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2

，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A.c ≥b >a

B.a >c ≥b

C.c >b >a

D.a >c >b (2)已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )

A.M

B.M >N

C.M ＝N

D.不确定

(3)(一题多解)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55

，则( ) A.a

B.c

C.c

D.b

【规律方法】

1.作差法一般步骤：

(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.

2.作商法一般步骤：

(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.

3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.

4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.

【训练1】 (1)若a ，b 为正数，且a ≠b ，则a 3＋b 3________a 2b ＋ab 2(用符号>、<、≥、≤填空).

(2)若0

，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________.

考点二 不等式的性质

【例2】 (1)已知a ，b ，c 满足c

A.ab >ac

B.c (b －a )<0

C.cb 2

D.ac (a －c )>0

(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b

；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( )

A.①④

B.②③

C.①③

D.②④

【规律方法】

解决此类题目常用的三种方法：

(1)直接利用不等式的性质逐个验证；

(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.

【训练2】(1)(2019·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：

①c

a

>

c

b

；②a clog a(b－c).

其中所有正确结论的序号是( )

A.①

B.①②

C.②③

D.①②③

考点三不等式及其性质的应用

角度1 不等式在实际问题中的应用

【例3－1】 (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

(1)男学生人数多于女学生人数；

(2)女学生人数多于教师人数；

(3)教师人数的两倍多于男学生人数.

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________.

②该小组人数的最小值为________.